专题12函数的应用（一）（1个知识点4种题型）（原卷版）

专题12函数的应用（一）（1个知识点4种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点解决函数应用问题的基本步骤【方法二】实例探索法题型1.一次函数的应用题型2.二次函数的应用【方法三】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点解决函数应用问题的基本步骤常见的数学模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.解答函数实际应用问题时,一般要分四步进行第一步:分析、联想、转化、抽象;第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;第三步:解答数学问题,求得结果;第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.【方法二】实例探索法题型1.一次函数的应用【例1】某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套【变式】.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途所需要付的费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：①通话2分钟，需要付费________元；②通话5分钟，需要付费________元；③如果t≥3，则费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．【例2】某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？【变式】在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【例3】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【变式】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.题型2.二次函数的应用【例4】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【变式】A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λA城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．【例5】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－eq\f(1,2)t2(万元)．(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？【变式1】已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．【变式2】大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求a、x、y间的函数关系式；(2)问当地表的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？【例6】经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t（0≤t≤10），,25－\f(1,2)t（10<t≤20）))(元).(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.【变式】某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：t/天5102030Q/件35302010(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).与二次函数的应用【例7】(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【变式】据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？【方法三】成果评定法一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第秒 D．第3秒2．（2023秋·辽宁大连·高一校联考阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（

）A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元4．（2023·全国·高一专题练习）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：可享受折扣优惠的金额折扣率不超过400元部分超过400元部分若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元5．（2023·全国·高一专题练习）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（

）每户每月用水量水价不超过的部分3元超过但不超过的部分6元超过的部分9元A． B． C． D．6.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟C.4.00分钟7.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码实际标准(mm)220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(号)34353637383940414243习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米()A.150 B.200C.1808.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A.2800元 B.3000元C.3800元 D.3818元二、多选题9．（2023秋·全国·高一随堂练习）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（

）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点10．（2023·全国·高一专题练习）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（

）A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本11．（2023秋·全国·高一随堂练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（

）A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润12．（2023·全国·高一专题练习）用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（

）A． B．为奇函数C．，使得 D．方程所有根的和为三、填空题13.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.14.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.15.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.16.用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.四、解答题17.某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100eq\r(6t)(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.18.某市居民生活用水收费标准如下：用水量x/t每吨收费标准/元不超过2t部分m超过2t不超过4t部分3超过4t部分n已知某用户1月份用水量为8t，缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.19.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15000元.(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？20.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋eq\f(1,t)(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100t（1≤t≤7，t∈N*），,130－t（7<t≤30，t∈N*）.))(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式；(2)求该商场日收益的最小值(千元).21.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购