高三数学章节复习检测题4

第4讲平面向量的应用★知识梳理★利用向量处理几何问题的步骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；SFSFα2.平面向量在物理中的应用如图5-4-3所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cosα.重要不等式：特别提醒：常用于求参数的范围★重难点突破★1.重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向.2.难点：加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力3.重难点：.1熟悉向量的性质及运算律；2能根据向量性质特点构造向量；3熟练平面几何性质在解题中应用；4熟练向量求解的坐标化思路5认识事物之间的内在联系；6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识★热点考点题型探析★考点一：平面向量在平面几何题型1.用向量证明几何题[例1]已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD[解题思路]：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件解析：证法一：∵＝＋，＝－，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝O∴⊥证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2∵＝－＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c2－a2－b2＝O∴⊥即AC⊥BD【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。【新题导练】1．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.[解析]设=b，=a，则=+=b+a,=b+a∵A,G,D共线，B,G,E共线ABCEFDABCEFDG则=λ=λ(b+a)=λb+λa,=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵即：b+(μb+μa)=λb+λa∴(μλ)a+(μλ+)b=0∵a,b不平行，∴2．已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.[解析]由已知得，化简得,这就是动点P的轨迹方程.考点二:平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用题型1:与函数综合题[例2]广东省华南师大附中2009届高三综合测试（数学理）为△的内角A、B、C的对边，，，且与的夹角为，求C；[解题思路]：考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式解析：∵，∴又∴，∴[例3]广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满足,记.求函数的解析式；[解题思路]：A、B、C三点共线，解析：A、B、C三点共线，………3分【名师指引】涉及与三角综合的题目，多数只利用向量的基本运算，把问题转化为三角问题，以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：A、B、C三点共线，【新题导练】3．广东省高明一中2009届高三月考（数学理）已知向量，，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．答案：A解析：又所以选A4．广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量与的夹角为，求角B的大小解：由题意得：，即0<B<………6分考点三:平面向量在物理中的应用题型1:用向量解决物理问题[例4]设炮弹被以初速v0和仰角抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度v0的大小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远.[解题思路]：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把v0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.解析：将v0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v1和v2，则|v1|=|v0|cos,|v2|=|v0|sin,由物理学知识可知，炮弹在水平方向飞行的距离S=|v1|·t=|v0|cos·t（t是飞行时间）①炮弹在垂直方向的位移是0=|v2|·t-gt2（g是重力加速度）②由②得t=,③代入①得=由于|v0|一定，所以当=45°时，S有最大值.故发射角=45°时，炮弹飞行的距离最远.[例5]某人骑车以每小时公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.[解题思路]：利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”PBAOvv2a解析：设表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v，设=，=2∵+=∴=v，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵+=∴=v2，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：PBO=45,PABO,BA=AO从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=即：|v|=∴实际风速是的西北风【名师指引】加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力【新题导练】5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为()A．（－2，4） B（10，－5） C（－30，25） D（5，－10）答案：B解析：5秒后点P的坐标为（－10，10）+5（4，－3）=(10,-5)ABABDC30上游下游答案：船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角，即指向河的上游.★抢分频道★基础巩固训练1.如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（）A．s>|a|B．s<|a|C．s=|a|D．s与|a|不能比大小答案：A2.已知，，，点C在内，且，设，则等于 （） A． B．3 C． D．答案B∵，，∴△ABC为直角三角形，其中∴∴即故本题的答案为B．3.(2008·广东省实验中学高三第三次阶段考)在△ABC中，已知向量，则△ABC为（） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形答案：D[解析]非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC为等边三角形4.在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为.答案:如图，设，则，所以，故当时，取最小值-2.5.一个30º的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大_________力;若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f=___________保持球在斜面上静止不动的推力f′=答案：4.9N,f=p－ω,,f′=－f=ω－p6.（2008·佛山石门中学检测）在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（—3，4），若点C在∠AOB的一平分线上，且，则____________.答案：［解析］∵点C在∠AOB的一平分线上,∴设==又,∴，得,∴综合拔高训练7．广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，.求角A的大小；解:(Ⅰ)=……1分=……2分∵……4分……6分∵……7分.……8分8．已知A、B、C三点的坐标分别为、、（1）若的值；（2）若解：（1），（2）由9．四边形中，（1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。解：,-----------2分（1）,故有---------4分化简得：--------------5分（2）又则--------7分化简有：-----------8分联立解得或----------10