【冲刺985、211之2023届新高考题型模拟训练】36 高考新题型劣构性试题综合问题（新高考）解析版-高考数学备考复习重点资料归纳

【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】

专题36高考新题型劣构性试题综合问题（新高考通用）

1.（2023•云南红河•统考一模）在①一空C—+—^―=1,②ccosCsinA=（»-c）sinCcosA

sinA+sinBa+c

这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.

记AABC的内角4,B,C的对边分别为a,h,c,且.

⑴求NA：

（2）若|C8-CA|=4,cosB+cosC=1,求ZkABC的面积.

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）

【答案】（1）4=1

（2）473

【分析】（1）选①，由正弦定理得到尸+/-/=bc,再由余弦定理得到cosA=；,求出44；

选②，由正弦定理变形得到sinC（sinAcosC+cosAsinC）=2sin8sinCeosA,结合正弦和角

公式，诱导公式求出cosA=；,得到4=^；

⑵由|C8-CA|=4求出c=4,由8SB+COSC=1,结合第•问结论得到sinjc+g]=l,

求出c=W,利用三角形面积公式求出答案.

【详解】（1）选①，由正弦定理17=上=三；，得/7+上=1.

sinAsinBsinea+ba+c

所以c(a+c)+/?(a+b)=(a+/?)(a+c).

化简为。2+/一々2=儿.

,22

由余弦定理口"=与干]_

2

由于Aw（（）,兀）

所以A=].

选②.由正弦定理.')=工=心，

smAsmBsinC

得sinCcosCsinA=(2sinB-sinC)sinCeosA.

化简得sinC(sinAcosC+cosAsinC)=2sinBsinCcosA，

由两角和的正弦公式得sinCsin(A+C)=2sinBsinCcosA.

由诱导公式化简得sinCsin3=2sinBsinCeosA.

因为Ce(O,7t),Be(O,7r),

所以sinCw0,sin8#0,所以cosA=—.

2

由于Ae(0,7t)

所以4=全

(2)\CB-C^=\AB\=4,即C=4.

jr

由(1)知：人二记

所以853+85。=85(事一0+(：05(7=^^5m0+1050=5"0+煮)=1,

因为0<C<”，-<c+-<—,

3666

所以C+台.eg

即AA8c为边长是4的等边三角形.

=-acsinfi=-x4x4x—=473.

222

2.（2023•江苏泰州•统考一模）在①耳,$2,54成等比数歹IJ,②的=2生+2,③S8=S4+S7-2

这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S,,,且满足

（1）求｛%｝的通项公式；

I]

⑵求R

4A+i

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

【答案】⑴选①②，①③或②③均可得见=4"-2

n

(2)4(2/2+1)

【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差,

得到通项公式;

⑵在第一问的基础上，得到利用裂项相消法求利

【详解】（1）若选①②，设公差为d,

则卜i（4q+6d）=（2《+d）2

4+34=2（4+d）+2

解得：《=2/=4,

/.an=2+4（〃-1）=4〃-2；

选①③，设｛4｝公差为d,

4（4《+6d）=（2q+d）2

8q+28d=4q+6d+7q+2Id—2

解得：4=2,d=4,

an=2+4（〃-1）二4〃-2；

选②③，设｛%｝公差为d,

q+3d=2（q+d）+2

<84+28d=44+6d+74+2Id-2'

解得：q=2,d=4,

:.an=2+4（7?-1）=4H-2；

1二1J11______

（2）ana„+l（4n-2）（4«+2）4（2n-l）（2n+l）8（2〃-12n+lJ）

111If,11I11）

aa

ata2a2a3„n+\813352n—\2n+\）

=lfj__1Vn

到2n+\）4（2n+l）,

3.（2022秋•山东聊城•高三山东聊城一中校考期末）记的内角A8,C的对边分别为

a,b,c.已知（c-2切cosA+"cosC=0.

⑴求A；

（2）从下面的三组条件中选择一组作为已知条件，使得一A3C存在且唯一确定，求一A8C的面

积.

①。=2,。=3；②。=2,8=三；③A8边上的高人=百,。=3.

6

【答案】（呜

（2）答案见解析

【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角，再根据三角恒等变换运算求解；（2）若选①：根

据题意结合正弦定理可得sin3=±>l,不成立；若选②：根据题意可判断.ABC存在且

4

唯一确定，结合直角三角形的性质运算求解；若选③：根据题意结合面枳公式可得〃=2,

再利用余弦定理求c=l+6，结合面积公式运算求解.

【详解】(1)己知(。-的cosA+acosC=0,

由正弦定理得(sinC-2sinB)cosA+sinAcosC=0,

化简得2sinBcosA=sin(A+C)=sinB.

因为sin8>0,所以cosA='，因为OvAv兀，所以4=g.

23

(2)若选①：。=2力=3.由正弦定理三=上,可得而8=期4=述>1,无解；

smAsinBa4

若选②：a=2,B屋.已知4=三，则C=5，此时..43C存在且唯一确定，

则6=，-=递，

tanA3

.ABC的面积5—屋=3"=^^；

若选③：AB边上的高〃=6,。=3,可得与csinA=：/rc,解得6=11=2,

22sinA

又.「a=3,由余弦定理可得20c8sA=》2+c?-a?,则c?—2c-5=0,解得c=l+«或c=1—#

(舍去),

此时JIBC存在且唯一确定，

，一ABC的面积S^ABC=-hcsinA=-x2x(l+V6)x—="+30

2222

4.(2023,山东潍坊•统考一模)在①taManC-石tanA=1+6tan。；②

[2c-\/3ajcosB=\[3bcosA；③(〃-6。•耐+底皿仁;如的这三个条件中任选-一个，补充在

下面问题中并作答.

问题：在一他。中，角4民。所对的边分别为。也。，且__________.

⑴求角3的大小；

⑵已知。二人+1,且角A有两解，求力的范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)/?>1

【分析】(1)若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角6的大小；若选②，利用正弦

定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简

即可得出答案.

（2）将c=6+l代入正弦定理可得sinC="L要使角A有两解，即1<sinC<l,解不等

2b2

式即可得出答案.

【详解】（1）若选①：整理得1一1@必1@11。二一6«004+1@11。），因为4+8+。=万，

所以tanB=-tan（A+C）=-taM+tanC=3,因为8«0㈤，所以8=1；

若选②：因为（2C'-G〃）COS8=-JibcosA,

由正弦定理得（2sinC-6sin/4）cosB=GsinBcosA,

所以2sinCcos8=gsin（A+8）=6sinC,sinC>0,所以cos8=3,因为5w（0,4）,所以

B=g

若选③：由正弦定理整理得/+02-62=怎。，所以'+1一”=3,

2ac2

即cosB=#,因为3«0,万），所以8屋：

（2）将c=Hl代入正弦定理上=三，得二="，所以sinC="L

sinnsinesinnsinC2b

jr1

因为8=?，角A的解有两个，所以角C的解也有两个，所以彳<sinC<l,

62

即_1<四<1,又b>0,所以力解得万>1.

22b

5.（2023•辽宁沈阳•统考一模）在一ABC中，角A、B、C的对边分别为〃、b、J已知

sinA+也cos4=0.

（1）求角A的大小；

（2）给出以下三个条件：①q=4后，b=4；@b2-a2+c2+10b=0；③5布=15百.

若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求sin2的值；

（ii）N84C的角平分线交BC于点O,求AO的长.

QTT

【答案】（l）A=y

⑵（i）sinB=—；（ii）AD=—.

144

【分析】（1）由已知条件可得出tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；

（2）由4=与以及①或②或③解三角形，可得出正确的条件.

(i)求出。的值，利用正弦定理可求得sinA的值；(ii)由SASC=SA如+SACD结合三角形

的面积公式可求得的长.

［详解】(1)解:因为sinA+y/icosA=0，若cosA=0,则sinA=0,不满足siMA+cos2A=\,

27c

所以，tanA=—^3»0<A<7t,.0.A=.

2

⑵解：由A吟及①，由余弦定理可得。2=〃+c2-26ccos与，B|JC+4C-32=0，

QoO,解得c=4：

由A=T及②，由余弦定理可得。2+c2-a2=2/?ccosA=-be，

由廿一储+。2+］。力=0可得lOb-bc=0,可得c=10；

由A专及③，由三角形的面积公式可得Sfc=；6csinA=1A=155可得历=60.

经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故。=6,c=10.

(i)将b=6,c=10代入②可得36-/+100+60=0可得a=14.

在_ABC中，由正弦定理人=口=竿'故sin8=上叵.

sinAsin814

I2冗17rljr

(ii)因为SABC=SABO+SACO，即5〃csin彳=50A£)sin§+5/rA£>sin§,

所以，AD=-^=^=^-.

b+c164

6.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)如图在三棱柱4BC-A8C中，。为AC的中点，

AB=BC=2,R4=NB/C.

(1)证明：1AC；

(2)若BBJBC,且满足：,(待她条件).

从下面给出的①②③中选择申个填入待谓条中求二面角B-B.D-C,的正弦值.

①三棱柱ABC-AB£的体积为3百；

②直线与平面8CC内所成的角的正弦值为叵；

13

③二面角-C的大小为60°；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

（2）答案见解析

【分析】（1）通过证明ACJ_平面来证得

（2）先选择条件，然后根据所选条件，利用几何法或向量法求得二面角8-与。-£的正弦

值.

【详解】（1）在三棱柱ABC-中，由题意可得Mi=耳8,A81=BC,

A

/.△A4,42AB、BCnABt=CB、,又：AD=DC,：.£0AC,

同时在中，*.*AB=BC,AD=DC,：.BD1AC,

•：B]DcBD=D,B、D,BDu平面BDBt,

ACJ"平面BDB、,

又•；BAu平面/.ACIBB,.

（2）-：BBtlAC,BB^LBCW_ACBC=C,_L平面ABC,

方案一：选择①③

；Bq_L平面ABC,/.BB,±AB,BB,±BC,

ZABC为二面角A-Bq-C的平面角，即ZABC=60。=AC=2nAO=g,

•'-5AABC=^x2x2xsin60°=^,又：三棱柱ABC-4用G的体积为，；•Bq=3.

法一：取AG的中点为E，连接EB—ED,过E作于点/，连接C7,

VAC1平面BDB],EC,，平面BDEB、,

又；EF1B0,由三垂线定理可得GFLBQ.

:.NEFG为二面角E-B.D-C,的平面角，

其中GE=1,EFqQF=号,则sinNEFG=*3，

由于:面角B-4O-G的平面角与二面角E-BQ-G的平面角互补，

故二面角8-BQ-&的正弦值为名叵.

13

法二：过8作过G作GFLBQ,过产作FG〃BE交B用于点G,连接GG,

.♦.NCEG为二面角B一4D-£的平面角，其中£F=孚，尸G=gBE=gx|=；,CQ=6,

，cosZC,FG=一4?，故二面角B-BQ-£的正弦值为噜.

法三：如图所示，建立空间直角坐标系,

设平面8叫的一个法向量为a=(x,y,z),且期=(3,0,0),8D=jo,-|,孝

'3x=0

mBB,=0

则《=><3x/3..令y=i则x=0,Z=G，故相=(0,1,6b

m-BD=0——yd------z=0

22

4

设平面小的一个法向量为〃=(x,y,z),且G4=(O,2,O),CQ=-3.

2y=0

n-CB=0

则《}]

a1Gz

加CQ=0-3x+—y+——z=0

22

令x=-l,贝I」y=o,z=-26，故〃=(一1,0,—26),

/\mn3>/13,、於

8s〃六UU="-，故二面角B-BXD-CX的正弦值为詈.

方案二：选择①②;

解析：过点A作AOI5c尸点。•平面43cl平面8CG4，AOLBC,

/.AO，平面BCC内，故宜线AB「与平面BCC国所成角为ZABQ,且sinNABQ=叵,

13

Ktsc-Afi.c,=xy=3>j3

.-x=6

设AO=x,BB、=y，xi!|JAO=\[3，BB、=3.

sinNAB。=—y=3

JV+4

余下解法参考方案一.

方案三：选择②③：

•.•8月，平面A8C,/.BBJBC,

/./ABC为二面角A-8片一C的平面角，即NABC=60。=AC=2=>AO=石，

过点A作AOI8C于点。，

•..平面A8C1平面8CG与旦交线为BC,A01BC,AOu平面ABC,

AOL平面BCGq,故直线A及与平面BCG用所成角为ZAB0,且sin乙嵋。=叵.

13

设Bg=y,贝iJsinNA8Q=当=-^==^=>y=3,即BB1=3.

A"I,y~+4iJ

余下解法参考方案

7.（2023春•辽宁•高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知数列｛q｝,也,｝,点

《（〃，《,）分布在一条方向向量为0,2）的直线上，且4=1,4=1.请在①数列｛%。｝的前"

项和为（2〃—3>2"+3；②数列1部的前〃项和为6-若=；③数歹的前〃项和为

〃2+1-2"三个条件中选择一个，解答下列问题.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

⑵求数列｛%。,｝的前〃项和S“.

【答案】（1）%=2〃-1,b„=2n-'

4"1

---+一

321

【分析】（1）根据直线方向向量及所过的点得见=2〃-1,结合所选的条件及a”'关系求｛〃｝

通项公式即可；

（2）由题意、也,,=4“力=23"-2-22"-2,应用分组求和及等比数列前〃项和公式求S”.

【详解】（1）由题设直线斜率为2,且过（1,1）,则。“-1=2（〃-1）,故4=2"-1,

选①：｛4也｝前“项和=（2〃-3）•2"+3,

当〃22,anb„=M,-Mn_｛=(2〃一3)•2”—(2〃-5)•=(2〃-1)-2^,

当〃=1,4々=峪=(2-3)-2+3=1满足上式，

所以"=2"T：

的前“项和N“=6-与二

选②:

4〃+24〃+62n—\

当让2,3=------------=-----

b.2n2〃11

当鹿=1,2=M=6-->=1满足上式，

b、2

所以以=2"\

选③：｛%-"｝的前«项和K“=/+1_2",

当“N2,an-hn=K„-K“T="+1-2"一[(”一1尸+1—2'-']=(2n-l)-2"-',

当〃=1,4_4=(=1+]-2=0满足上式,

所以或=2"3

(2)由(1)知：%1T=(2x2"T—I)""-?=23-2—22-2,

2x(l-8")1-4"23n+,4"1

所以S,="7--T+21

1-81-4

8.（2023•云南昆明•统考一模）如图，直四棱柱A6CQ-A4GA中，一ABC是等边三角形,

AB.LAD

A

4

A

B

（1）从三个条件：①AC_Z8。；②ZA£>C=120。；③80=24）中任选一个作为已知条件,

证明：BCLDC}.

（2）在（1）的前提下，若=g例，P是棱8片的中点，求平面POG与平面尸£>。所成角

的余弦值.

【答案】（1）证明见详解

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明;

（2）建系，利用空间向量求面面夹角.

【详解】（1）对①：设AC与8。的交点为E，

：JU5c是等边三角形，且AC/3D,则E为AC的中点，

可得ZM=£）C,且AB=BC,BD=BD,则=BCD,

故ZBCD=Zfi4£）=90°,即BCLCD,

又CC,±平面ABCD,BCu平面ABCD,

/.BCICC,,且C£>ICC,=C,CD,CC\u平面CDD£,

故3cl平面CORG，

注意到DC,u平面CDD,C,,故BC，；

B

对②：VZADC+ZABC=\80°,则N8CD+NR4Z)=180。,

又：AB_LAO,即/BAD=90°,

可得238=90。，即3C_LCD,

又,.•CC|_L平面ABC。，BCu平面ABC。，

/.BC±CC,,且C£>ICG=C,CD,CGu平面CDD£,

故BC/平面CD£»C，

注意到DC,c平面CDDS,故BC，QG；

对③：VABLAD,即NBA。=90。，

Ani

在RtBM)中，则sinNA8D=——=一，可得NAB£)=30。，

BD2

故ZABD=Z.CBD=30°,AB-BC,BD-BD,则BAD=.BCD.

故NBCD=44£>=90°,即3C_LCO,

又CC}1平面ABCD,BCu平面ABCD,

/.BClCCt,且COICC,=C,CD,CC,u平面CDD£,

故8c上平面CDRG,

注意到£>Gu平面CDD£,故8C，CC1.

(2)如图，建立空间直角坐标系A-孙z,设44,=2,

则0(0,2,0)田(0,2,2),网2百,0,1),G(2后,-2,1),

可得=(0,0,2),DC,=(V3,l,2),r)P=(2A-2,l),

n-DCf=+y+2Z1=0

设平面尸DC,的法向量为“=（玉,乂,zJ,则■

n-DP=2Gxi-2yl+z1=0

令占=5,贝Ijy=36,Z]=,即”=(5,3>/5,-4A/5),

m•DD、=2Z2=0

设平面PDD、的法向量为〃?=(x,y,z),则，

222m-DP=2百/一2y2+z2=0

令々=1,则为=6*2=0,即机=（1,6,。），

5+9_7

2xl0-10,

故平面PDQ与平面PDD,所成角的余弦值为木7.

9.（2023•吉林•统考二模）己知,ABC的三个角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

Z?cosC+ccosB=6.

⑴求边

（2）若...ABC是锐角三角形，且___________,求一抽。的面积S的取值范围.

要求：从①A=J,②b+c=10从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解

4

答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）。=6

（2）答案见解析

【分析】(1)解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角;

(2)若选择①，利用lE弦定理得到。=6及sin3，c=6\/2sinC，WJ5ABC=^bcs\nA,将

其转化为关于5的三角函数，结合一ABC是锐角三角形，求出3范围，再结合正弦函数的性

质求出金ABC的面积的取值范围；

若选择②，依题意可得。=10-力，由三角形一ABC为锐角三角形利用余弦定理求出b的取值

范围,利用余弦定理表示出cosC,即可得到sinC,将S^c转化为关于b的函数，结合二次

函数的性质计算可得.

【详解】(1)解法一：因为Z?cosC+ccos5=6,

由余弦定理，得〃・、+”一一.+c.+厂一♦=〃=6；

lablac

解法二：因为bcosC+ccos8=6,

由正弦定理，得2A(sinBcosC+sinCcosB)=6,

2/?sin(B+C)=6,

2/?sinA=6,即a=6.

(2)选择①：因为sinAsinBsinC-

sin—

所以8=6及sin8,c=6>/2sinC»

所以S&ABC

二18夜sinBcos8+——sinB

2

=18sinBcosB+18sin2B

=9sin2B+9-9cos2B

=9^sin2B--

因为一ABC是锐角三角形，

0<B<-0<B<-

所以2,又C=^-B,所以I22,所以:

八「兀437T7142

0<C<-0A<------BD<—

242

所以一v28—<—,所以<sin(28—«1,

44421

所以9<90sin(28-3W90,

所以18Vs<90+9.

选择②：因为6+c=10,则c=10-6,

b2+c2-a2

cosA=>0

2bc

a2^c2-b2

因为ABC是锐角三角形，所以•cos8=>0,

2ac

a2+b2-c2

cosC=>0

2ab

从+。2-/=从+(10-4-36>0

即<〃2+。2_〃=36+(10-切2-〃>0,

/+/-。2=36+^2-(10-6)2>0

w16,34

所以—<b<,

因为Cose="'"”5力一16

2ah3b

所以g…受巨

所以工…飙-4依严

=4V-/?2+io/?-i6><z?<yJ

由二次函数g(x)=-x2+10x-16=-(x-5)2+9]?<X<弓)的性质可一得,

当X=5时，函数取最大值g(x)nKK=9,当x=?时，g")=黑，又£-5<£-5

所以g(x)e(S，9,即-从+106-16e(嚷,9,所以+10匕-16《£,3,

所以T48<S△丽412.

10.(2023•山西•统考模拟预测)已知数列｛为｝是正项等比数列，且%-4=7,々4=8.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列也,｝的前〃项和S“.

①々=(2〃T)%；②，=(2〃+1)；.*

【答案】⑴",,=2"T

⑵选①，5“=(2〃-3)2+3：选②，S.=肃.

【分析】（1）根据等比数列的性质可得出关于4、%的方程组，解出这两个量的值，可求

得数列｛«„）的公比，进而可求得数列｛4｝的通项公式；

（2）选①，利用错位相减法可求得S“；选②，利用裂项相消法求得S,,.

【详解】（1）解：由等比数列的性质可得4%=%%=8,

%-4=7

：二；，所以，等比数列｛%｝的公比为4=聘=2,

由题意可得=8，解得

q>0,%>°i

所以,"=2。

（2）解：若选①，〃=（2〃—1）q=（2〃—1）21

所以，S„=1-2O+3-2'+5-22++（2/?-1）-2,'-1,①

则2s,=12+3・22++（2”—3）­2"T+（2〃-l）-2",②

=l+2"+i-4-（2〃-1卜2"=（3-2〃）-2"-3,

因此,S„=（2n-3）-2"+3;

若选②b=__?__=__1__=¥」______L.

右地，“（2/7+l）log2a2„（2«+1）（2«-1）2（2〃一12/7+1

11.（2023•安徽•统考一模）在平面直角坐标系。不，中，锐角d户的顶点与坐标原点O重合,

始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的纵坐标为士叵,

7

13

点。的横坐标为

14

⑴求cos（a一#）的值;

（2）记的内角A,8,C的对边分别为“,"c.

请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.

①若C=a-£,且c=2,求,45。周长的最大值.

②若A=a,B=力，且c=ll,求々ABC的面积.

【答案】⑴，

（2）答案见解析

【分析】（1）先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得sina,cos£,cosa,sin£,再利用

余弦的和差公式即可得解;

(2)选①；先结合(1)中条件得到C=g,再利用余弦定理与基本不等式推得a+644,

从而得解；

选②：先结合(1)中条件求得sinC,再利用正弦定理求得a,力，从而利用三角形面积公式

即可得解.

【详解】(1)因为夕是锐角，所以RQ在第一象限，

又因为P,。在单位圆上，点尸的纵坐标为逑，点。的横坐标为与，

714

所以sina=^^,cosP=U,

714

所以cosa=Jl-sin%=；,sin〃=-^1-cos2p=~~，

珈/A,••A113jG3A/31

iucos[a-p]=cosacosp+sinasinp=—x—F---x----=—.

v77147142

(2)选①：

由(1)中结论可得cosC=g,又C«0,兀),.・.C=方，

由余弦定理可得c2=a2+b2-2aAosC,BP4=+b2-ab={a+b)2-3ab.

•»,ab<,:.4>(a+b)2-^(tz+Z?)2=^(a+b)2»

:.a+b<4,当a=h=2时，等号成立，

:.a+b+c<6,

即当ABC为等边三角形时，周长最大，最大值为6.

选②：

由(1)可知sirL4=^^,cosA=L,sin3=^^,cos3=U,

771414

则sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8=,

1798

，二b二98

由正弦定理三二二二.「,可得—法，故。=乎/=3,

sinAsinnsine55

714

1562155G66石

则S=-absinC=—X——X—X------------

ABC2255985

12.(2023嘿龙江•黑龙江实验中学校考一模)在—A8C中，内角A,B,C所对的边分别是a,

b,c,已知2csinB=(2a-c)tanC,角C的内角平分线与边AB交于点E,

(D求角8的大小；

⑵记aBCE,AACE的面积分别为RM，在①C=2,8=G，②=『*="，A>C这

两个条件中任选一个作为已知，求兴的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】(呜

(2)选①：且；选②：-

37

【分析】(1)由2csin3=(2。-c)tanC,结合正弦定理及sinA=sin(B+Q化简得到cos8=：,

即可求解；

(2)选①：由余弦定理列出方程求得。=1,令NACE=NBCE=6,结合三角形的面积公式，

求得则d=[xlxCEsin〃，S2=-x^xC£sin^,即可求得今的值；

选②：由S&BC=¥，求得改=3,利用余弦定理列出方程求得〃+,2=10,联立方程组

求得a=3,c=l,结合面积公式求得E，S2,即可求得率的值.

【详解】(1)因为2csinB=(2a-c)tanC,

由正弦定理可得2sinCsinB=(2sinA-sin,

cosC

艮|J2sinBcosC=2sinA—sinC

又由sinA=sin[n-[B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

可得2cosBsinC=sinC,

因为Ce(0,7t),可得sinC>0,所以cos8=L,

2

又因为Be(0,it),可得B=].

(2)选①：因为c=2,b=6,

2

由余弦定理可得cosB="2+c、，=Y+4-3=,，

2ac4a2

整理得/_2a+l=0,解得"1，

因为CE为ZACB的平分线，令ZACE=NBCE=0,

贝IJS=』8C.CEsinO=LxlxCEsin。，S,=-AC-CEsin0=-xy/3xCEsm0,

12222

所以兴=;=坐，故今的值为包

S,V33S23

选②：5~时=乎，b=币,A>C,

由S“ar='acsin8=」acsin&=,解得ac=3,

杵2234

又由b=币,由余弦定理可得从=〃+°2_2«ccosB,

即7=/+c2-2x3xg,可得/+,2=10，

22

乂因为A>C,可得所以（〃+c）2=a+c+2ac=l0+2x3=l6,即a+c=4,

a+c=4

联立方程组讹=3,解得。=3,c=l,

a>c

由CE为/ACS的平分线，令"CE=ABCE=e,

所以S|=-BCCEsin6i=-x3xCEsin6>,S,=-AC-C£sin6»--xV7xC£sin61,

2222

所以率=；=乎，故冬的值为迈.

S2V77S27

13.（2023•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）在一45c中，角A,B,C所对的边

分别为a,b,c.从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答.①cosA=-l|；

②_AfiC的面积是5亘；③c=3.

5

问题：已知角A为钝角，6=5,.

⑴求..ABC外接圆的面积；

（2）4。为角A的平分线，D在BC上,求AO的长.

【答案】（I）条件选择见解析，&争

84

3

⑵35

【分析】（1）选①②：由cosA=-£求得sinA=再，再结合三角形面积公式可求得c=3,

2525

利用余弦定理求得。，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选①③：利用余弦定理求得。，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选②③：利用三角形面积公式可求得sinA=生且，再求得COS4=-M，利用余弦定理求得

,再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解.

（2）设A=2a,则有sir?。=上等4,求得sina=筌，再利用等面积法可求.

【详解】（1）选①②，

.17一r-----r-4而

cosA——~~,sinA=—cosA=-----,

2525

又QSAABc='%csinA，即拽I=_Lx生&lx5xc，得c=3,

25225

由余弦定理，^a2=h2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x—=—,

255

由正弦定理，得(2/?y=—=名"，&2=鬻，

''sin2A2184

所以，ABC外接圆的面枳为冬守.

84

17

选①③，因为8$/4=-石"，c=3.

17272

所以由余弓玄定理，得/=/+C2_2〃CCOSA=25+9+2X5X3X—=—,

255

由正弦定理，得(2R『=—£一=型，代=鬻，

''sin2A2184

所以，ABC外接圆的面积为当卢.

84

选②③，

由=I_x5x3xsinA,sinA=&^LA为钝角，得cosA=一

522525

由余弦定珅，得/=6+<?-2bccosA=25+9+2x5x3x'=K，

255

由正弦定理，得（2R）2=’J_="，n=鬻，

‘'sin"2184

2125K

所以，一45C外接圆的面积为

84

设A=1a,口£（耳卜

(2)由A。为角A的平分线,

则有sin%=l^=|1,sinV2i

a=---

5

由ABC=—xbxADxs\na+—xex.ADxsina,

A522

即^I=J_x5xAZ）x叵+』x3xAQx叵，解得A£）=」.

525252

3

故AO的长为

14.（2023•云南昭通•统考模拟预测）已知，45C中，角A,5,C所对的边分别为。，h,c,

且满足sinA=GsinB.从①2〃=GC,②^^sinAsinC-cosJBCOSC=；,③C=',这三个

条件中任选一个作为已知条件.

⑴求角A的大小；

（2）点。在线段84的延长线上，且乙4。。=£,若AB=2,求一AC。的面积.

4

【答案】（呜

3+有

-4

【分析】（1）运用正弦定理或余弦定理求解；

（2）根据条件和（1）的结果，运用余弦定理求出,c,再用正弦定理求出ZM,运用面积公

式求解.

【详解】（1）由sinA=石sin8得：a=&）：

_c=2b

若选①24=6C，则有”_折，由余弦定理得

62+《2_42fe2+4Z>2-3fe21▲兀

cosA=—0<A<n,:.A=—；

2bc4b223

若选②且sinAsinC-cos8cosc='，由sinA=esin8代入上式，得: