高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第三册 样本相关系数

样本相关系数同步练习

一、单选题

1.对两个变量X、y进行线性相关检验，得线性相关系数4=0.7859,对两

个变量〃、v进行线性相关检验，得线性相关系数弓=-09568,则下列判断

正确的是（）

A.变量％与>正相关，变量“与v负相关，变量x与y的线性相关性较强

B.变量％与y负相关，变量“与v正相关，变量*与y的线性相关性较强

c.变量x与y正相关，变量”与v负相关，变量〃与v的线性相关性较强

D.变量X与y负相关，变量”与V正相关，变量〃与V的线性相关性较强

2.两个变量X与y的回归模型中，分别选择了四个不同的模型来拟合>与X之

间的关系，它们的相关系数，•如下，其中拟合效果最好的模型是（）

模型1234

r0.980.800.500.25

A.模型1B.模型2C.模型3D.模型4

3.下面的散点图与相关系数「一定不符合的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

4.下列说法中正确的是（）

2

A.若一组数据1,a,3的平均数是2,则该组数据的方差是§

B.线性回归直线不一定过样本中心点丘J）

C.若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数厂的值越接近于1

D.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000,再从编号为1到50的50

名学生中随机抽取1名学生，其编号为加，然后抽取编号为加+50,加+100,

〃?+150,……的学生，这样的抽样方法是分层抽样

5.在一组样本数据（不另）,（9,必）产,，（当，”）（心2,玉,马，…，毛不全相等）

的散点图中，若所有样本点（4丫）（，=1,2,…,〃）都在直线y=?+l上，则这

组样本数据的样本相关系数为（）

A.—1B.1C.—D.—

55

6.两个变量y与X的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指

数H如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A.模型1的相关指数R=0.15B.模型2的相关指数R=0.85

C.模型3的相关指数R=0.25D.模型4的相关指数R=0.95

7.在一组样本数据（X],y）,（w,%），…，（七，V"）（〃-2,西,々X”不全相等）

的散点图中，若所有样本点（4》）«=1，2,-、〃）都在直线丁=0.以+1上，则这组

样本数据的样本相关系数为（）

A.-1B.0.4C.0.5D.1

8.在线性回归模型中，分别选择了甲，乙，丙，丁四个不同的模型，它们

的相关指数R2分别为046,0.85,0.72,0.93,其中回归效果最好的模型

是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

9.红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集

了7组观侧数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行

残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型

是（）

3156

TTT'…工……；一一…上……£…一一号-50"•；

-100-----------

模型-的残鳏模型二的残差图

残差残差

模型三的残差图模型四的残差图

A.模型一B.模型二C.模型三D.模型四

10.已知变量X、y相对应的一组数据为（10,1.5）,（11,3.2）,（11,8.3）,

（12.5,14）,（13,5）,变量V、相对应的一组数据为（10,5）,（11.3,

试卷第2页，总10页

4）,（11.8,3）,（12.5,2）,（13,1）,用片表示变量x与y之间的线性相关

系数，用弓表示变量V之间的线性相关系数，则有（）

A.弓<(<0B.0<4<彳C.与<0<(D./〈弓<0

11.某种产品的广告费支出无（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之

间的关系如表：

X24568

y3040605070

若已知丁与x的线性回归方程为9=6.5X+17.5,那么当广告费支出为6万元

时，随机误差的效应（残差）为（）万元，（残差=1真实值-预测值I）

A.17.5B.6.5C.24.5D.56.5

12.在两个变量y与3的回归模型中,选择了4个不同模型相关指数如下，

其中拟合效果最好的模型是（）

A.R2=0.32B.R2=0.81C.R2=0.50D.收=0.95

二、填空题

13.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去

掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点

是.

14.在两个变量＞与8的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的R2

如下，①模型一的R2为0.98,②模型二的R2为0.80,③模型三的R2为0.50,

④模型四的R2为0.25,其中拟合效果最好的模型是.

15.x与y的数据关系为下表:

X24568

y3040605070

为了对x,丁两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型：甲：

y=6.5x+17.5，乙：9=7x+17，分别计算出甲模型的相关指数为吊=8845,

乙模型的相关指数为后=0.82,则(填“甲”或“乙”)模型拟合

的效果更好.

16.下列关于回归分析的说法中错误的序号为

(1)残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度

越高.

(2)回归直线一定过样本中心点

(3)两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.

(4)甲、乙两个模型的心分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更

好.

参考答案：

1、【答案】C

【分析】

根据相关系数的符号决定两个变量的正相关、负相关，以及相关系数绝对值

越大，两个变量的线性相关性越强，进而可得出结论.

【详解】

由线性相关系数彳=0.7859>0知x与>正相关，

由线性相关系数弓=-0.9568<0知〃与v负相关，

又用<同，所以，变量“与v的线性相关性比%与丁的线性相关

性强，

故选：C.

2、【答案】A

【分析】

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根据相关系数I川越接近于1,模型的拟合效果越好，结合表格中的数据，即

可求解.

【详解】

两个变量X与y的回归模型中，它们的相关系数1，1越接近于1,这个模型的

拟合效果越好，在所给的四个相关系数中0.98的绝对值最接近1,所以拟合

效果最好的模型是模型1.

故选：A.

3、【答案】C

【分析】

根据散点图与相关系数直接的关系，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，故①错；

②中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，且相关系数可能是r=0.75：

③中，若相关系数厂=-1,则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然

不符合，故③错；

④中，若相关系数r=1,则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不

符合，故④错；

故选：C.

4、【答案】A

【分析】

A.利用平均数和方差公式判断；B.根据线性回归直线一定过样本中心点

丘,亍）判断；C.根据相关系数「的绝对值与相关程度的关系判断；D.由系统抽

样的特点判断.

【详解】

A.若一组数据1,a,3的平均数是2,则a=2,该组数据的方差是

s=如-+（2-2）2+（3-2）2]=],故正确；

B.线性回归直线一定过样本中心点丘三）,故错误；

C.若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数，的绝对值越接近于1,故

错误；

D.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000,再从编号为1到50的50

名学生中随机抽取1名学生，其编号为加，然后抽取编号为"2+50,加+100,

m+150,……的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故错误；

故选:A

5、【答案】B

【分析】

根据样本数据的所有样本点都在--条直线上，得出这组样本数据完全相关，

再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可.

【详解】

解：••・这组样本数据的所有样本点a，y)(i=l,2,…川都在直线y=?+l上,

,这组样本数据完全相关，

即说明这组数据的样本完全正相关，其相关系数是1.

故选：B.

【点睛】

本题考查变量的正负相减，一般在散点图中，所有点都在一条斜率为正的直

线，则这两个变量正相关，如果所有点在一条斜率为负的直线附近，则这两

个变量呈负相关.

6、【答案】D

【分析】

根据相关指数越大，拟合效果越好即可判断.

【详解】

两个变量y与x的回归模型中，

相关指数R越大，拟合效果越好，

故选：D

【点睛】

本题考查了相关指数的意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

7、【答案】D

【分析】

根据样本数据所有点都在一条直线上，得出这组数据完全相关，再根据直线

的斜率得出正相关还是负相关即可.

【详解】

因为所有样本点(匕,y)(i=1,2,…,〃)都在直线y=0.4x+1上，

所以这组数据完全相关，

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即说明这组数据完全正相关，相关系数为1.

故选：D

【点睛】

本题主要考查相关系数以及正相关和负相关的应用问题，属于基础题.

8、【答案】D

【分析】

根据两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数越接近于1,这个模型

的拟合效果越好判断.

【详解】

因为两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数越接近于1,这个模型

的拟合效果越好，

而丁的相关指数0.93最大，

所以回归效果最好的模型是丁，

故选：D

【点睛】

本题主要考查回归分析中相关系数的含义，属于基础题.

9、【答案】D

【分析】

利用残差点分布的带状区域越窄，拟合精度越好，拟合效果越好即可选出答

案.

【详解】

当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，

这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，

对比4个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了回归分析中的误差分析，要注意残差图的含义，属于基础题.

10、【答案】C

【分析】

在回归线性方程应用中易知回归系数厂=从节（力为回归方程的斜率，s：、

分别为变量X、y的方差），从二组数据中看出数4>0,3<0,故4〉0,

1<。最终得到答案.

【详解】

..•从第一组数据中看出数6>0,故6>0；

从第二组数据中看出数A<0,故4<0;

于是有4<°<4，

.,.弓<0<4.

故选：C.

【点睛】

命题人通过给出的两组数据为依托，考查考生对数据的观察和分析能力，然

而作出变量相关关系判断，这体现了考生对数学的应用，数学推理的核心素

养，难度中等.

11、【答案】B

【分析】

将x=6代入回归直线方程求出估计值，然后将真实值与估计值作差即可求

解.

【详解】

取x=6,得9=6.5x6+17.5=56.5,

...当广告费支出为6万元时，随机误差的效应(残差)为|5()-56.5|=6.5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了回归直线方程、残差，属于基础题.

12、【答案】D

【分析】

相关指数后越大，拟合效果越好.

【详解】

相关指数配越大，拟合效果越好，

店=0.95在四个选项中最大,

,其拟合效果越好.

故选：D

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【点睛】

本题考查了对相关指数的理解，需熟记相关指数收越大，拟合效果越好，属

于基础题.

13、【答案】E.

【解析】

分析：由于点越靠近回归直线，则相关性越强，相关系数越大，又由于点E

到回归直线的距离最大，所以要去掉点E.

详解：由于点E到回归直线的距离最大，所以去掉点E后，剩下的5

个点对应的相关系数会最大.

点睛：（1）本题主要考查回归直线方程和相关系数，意在考查学生对这些基

础知识的掌握水平.（2）两个变量之间线性相关关系的强弱用相关系数「来

工（七-砧丫-y）

衡量.相关系数，=I,产_,_r>0,表示两个变量正相关；

\f（%T）2f（/一》

Vz=l/=1

r<0,表示两个变量负相关；厂的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相

关性越强.厂的绝对值越接近0,表明两个变量之间几