数学必修二球的体积和表面积练习题含答案

数学必修二球的体积和表面积

学校：班级：姓名：考号：

1.已知棱长为2的正方体48。。-431的。1的内切球为球。，P为球。的球面上动点,

DPJ.BC],则点P的轨迹的周长为（）

A.4?rB.57rC.2TTD.3TT

2.如图，网格小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的

表面积为（）

A.120+8V2+8V6B.120+8通C.190+8V2+4V6D.120+16立

3.在空间直角坐标系。一孙z中，四面体S4BC各顶点坐标分别为5（2,2,4）、4（6,6,4）、

B（6,6,0）、C（2,6,4）,则该四面体的外接球的表面积是（）

A.l27rB.l67rC.327rD.487r

4.已知球。的半径为1,△ABC的顶点都在北纬45。的纬线圈上，且4B=BC,乙4BC=

90。，则4,8两点间的球面距离为（）

A.-B.-C.-D.TT

632

5.在平面四边形4BCD中，AB=AD=近,BC=CD=DB=2,现将△ABD沿BD折

起，使三棱锥4-BCD的体积最大.若4B,C,0四点在同一个球的球面上，则该球

的表面积为（)

13厂16TT八u

A.47rBn.-7iC.—D.7TT

33

6.地球半径为R,4B两地均在北纬45。圈上，两地的球面距离为半，则4,B两地的

经度之差的绝对值为（）

7T

AA-

3常

7.在封闭的直三棱柱4BC-4/传1内有一个体积为U的球，若AB1BC,AB=6,

BC=8,A&=3,则U的最大值是（）

A.47rB等C.6nD•等

8.体积为［的三棱锥P-力"的顶点都在球。的球面上P41平面ABC,PA=2,

乙4BC=W，则球。的表面积的最小值为（）

A.87rB.9TTC.127rD.16TT

9.

有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为100cm,现

往里面装直径为10sn的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

（附:V2»1.414,遍71.732,遮a2.236）

A.22个B.24个C.26个D.28个

10.若正三棱柱ABC-A'B'C，存在一个内切球，则该三棱柱内切球与外接球的表面积之

比为（）

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

俯视图

44

A.8一”B.8—3兀C.8+-TTD.8—2n

12.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球。的球面上，且球。

的表面积为20兀，则该正方体的棱长为（）

A.2V5B.5C.2V6D.6

试卷第2页，总31页

13.正四棱柱ABCD-4当6。1的底面边长为2,侧棱长为4,官尸分别为棱3方,。1的的

中点，则四面体FECG的外接球的表面积为.

14.工匠准备将一块棱长为4的正方体木头切削成一个球，则该球的表面积的最大值为

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为；表面积是

正视图倒视图

俯视图

16.若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积

为________

17.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为

正视图侧视图

脩视图

18.如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60。纬线和南纬30。纬线长的比值为

19.地球北纬45°圈上有4,B两地分别在东经80。和170。处，若地球半径为R,则4B

两地的球面距离为.

20.若取地球的半径为6371米，球面上两点4位于东经121°27',北纬31°8',B位于东

经121。27"北纬25。5',则4、B两点的球面距离为千米（结果精确到1千米）.

21.长方体4BCD-4遇16。1的各顶点都在球。的球面上，其中4B:40:44i=

1:1：V2.4B两点的球面距离记为m,A,Ci两点的球面距离记为n,则;的值为

22.已知某实心机械零件的三视图如图所示，若该实心机械零件的表面积为66+4兀,

则a=.

23.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中把"底面为直角三角形的

试卷第4页，总31页

直棱柱”称为堑堵，今有一将堑堵，其高为2,底面直角三角形的斜边长为4,则该堑堵

的外接球的表面积为.

24.三棱锥P-4BC的所有顶点都在球。的表面上，8。，平面248,PA1AB,又P4=

2,AB=1,BC=6,则球。的表面积为.

25.一个几何体的三视图如下图所示(单位：m),

侧视图

俯视图

(1)该几何体是由哪些简单几何体组成的；

(2)求该几何体的表面积和体积.

26.下面一组图是某一四棱锥S-力BCD的侧面和底面，且点C为离点S最远的顶点，

口

aaaa"

(1)画出四棱锥S-力BCD的示意图，并判断是否存在一条侧棱垂直于底面？说明理

由

(2)若E为4B的中点，求点4到平面BDE的距离

(3)若S-4BCD外接于球0,求S、C两点的球面距离.

27.如图，在底面为矩形的四棱锥P-4BC0中，P41平面ABCD,PA=-xAD,E是PD

的中点.

(1)求证：CD1AE；

(2)是否存在正实数x,使得平面POC,平面4EC?若存在，求出x的值.若不存在，请

说明理由；

(3)在(2)的条件下，若力。=48=2,求四棱锥P-ABCD内切球的半径.

28.如图，在四棱锥P-ABCD内，底面4BCD为正方形，PD1.平面4BCD,PD=4。=

2.

(1)求该四棱锥P-ABCD的表面积与体积;

(2)求该四棱锥P-ABCD内切球的表面积.

29.已知一个几何体的三视图如图所示.

(1)求此几何体的表面积;

试卷第6页，总31页

（2）求此几何体的体积.

30.海面上，地球球心角1'所对的大圆的圆弧长为（海里），是多少千米？

（地球的半径为6370km）

31.在北纬30°线上有4,B两地，它们分别在东经50。与东经140。的经线上，又有点C在

东经50。，南纬15。线上，设地球半径为R,求：

（1）A,C两地的球面距离；

（2）A,B两地的球面距离（用R表示）.

32.我国大连与台北可以近似地认为具有相同的经度，从地图上分别查出大连与台北

所在的纬度，再求出这两个城市的球面距离大约为多少千米.

33.已知地球半径约为6371千米.上海的位置约为东经121。、北纬31°,大连的位置约

为东经121。、北纬39。，里斯本的位置约为西经10。、北纬

39°.

（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多

少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？

（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）

34.已知球面上的三点2、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为13,求球

心到平面4BC的距离.

35.如图，在北纬60°线上，有4、B两地，它们分别在东经20。和140。线上，设地球半

径为R,求4、B两地的球面距离.

36.已知球上截得小圆的半径为4cm,截面与球心的距离为3cm,求球的半径、表面积

和体积.

试卷第8页，总31页

参考答案与试题解析

数学必修二球的体积和表面积

一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）

1.

【答案】

C

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

注意到P为球。的球面上动点且。PLBCi，故点P在平面CZM1位与球的交线上，从而求

周长.

【解答】

解：；DP1BClt

点P在过点。且与BG垂直的平面上，

故点P在平面C041B1内，

故点P在平面CD&Bi与球的交线上，

文:平面CD&Bi与球的交线是球的大圆，且内切球的半径为1,

点P的轨迹的周长为27r.

故选C.

2.

【答案】

C

【考点】

由三视图求表面积（切割型）

【解析】

本题主要考查三视图求几何体的表面积.

【解答】

解：如图可知.

SABEA、=-X(44-8)X4=24.

SpcFD、=5x(6+8)x4=28.

5月皿4]=4X8=32.

SBCFE=£x(4+6)x4=20.

SABCD=4X4=16.

S0[E£>I=5x4x4V2—8>/2.

SxD\EF=5X4,V3X2V2—4^6.

・•・S=24+28+32+20+16+8&+4n=120+872+4限

故选C.

3.

【答案】

D

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

由题意，四面体的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，其直径为正方体的对角

线遮，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积.

【解答】

解：由题意计算可得|AB|=4,\AC\=4,\SC\=4,\BC\=4人.

试卷第10页，总31页

AB=(0,0,-4),AC=(-4,0,0),CS=(0,-4,0),

...空9=0,即CS_L平面ABC,

VAC-CS=0.

故四面体S4BC是底面4BC为等腰直角三角形，侧棱SC垂直底面4BC的几何体，

二四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，

其直径为正方体的对角线的长4百，半径为2百，

该四面体外接球的表面积S=47r-(2>/3)2=487r.

故选D.

4.

【答案】

B

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

求出北纬45。圈的小圆半径，然后AB两点的距离，求出球心角，即可求出两点间的

球面距离.

【解答】

解：地球的半径为1,在北纬45。圈纬圆半径为：?；

AB=BC,乙ABC=90°,

AB=1,

所以4、8的球心角为：p

所以两点间的球面距离是：gxl=*

故选B.

5.

【答案】

C

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：

设点4到平面BCD的距离为无，三棱锥的体积为忆则U=：SABCD•h=?九当场最大时，

V最大，此时平面ABC_L平面BCD,如图所示，取B0的中点M,则CMJ.BD,所以

CM_L平面4BD,又M为AABD的外心，所以三棱锥4一BCD的外接球的球心。是△BCD

的中心，则球的半径R=等，所以球。的表面积为4兀x(羊)=芋兀.

故选C.

6.

【答案】

B

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

要求4,B两地的经度之差的绝对值，需要求出过4、B两点的小圆的圆心角的大小，利

用题目条件进行转化，解三角形即可.

【解答】

解：地球半径为R,4、B两地均在北纬45。圈上，

过4、8两点的小圆的半径是：吟

两地的球面距离为争所以4B=R

则4B两地的经度之差的绝对值为：］

故选B.

7.

【答案】

B

【考点】

多面体的内切球问题

球的表面积和体积

【解析】

根据己知可得直三棱柱4BC-&B1C1的内切球半径为|,代入球的体积公式，可得答案.

【解答】

解：；AB1BC,AB=6,BC=8,

AC=10.

故三角形ZBC的内切圆半径8r+6；+1"=等，

可得丁=2,

又由"1=3,

故直三棱柱ABC-4/传1的内切球半径为|,

此时V的最大值0x(|)3=拳

故选B.

试卷第12页，总31页

8.

【答案】

C

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

9.

【答案】

C

【考点】

多面体的内切球问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切,

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正四面体，

易求正四面体相对棱的距离为5夜cm,每装两个球称为"一层"，

这样装n层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为10+5V2(n-l)cm,

若想要盖上盖子，则需要满足10+5&(n-1)W100,

解得nW1+913.726,

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选C.

10.

【答案】

A

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

设正三棱柱底面正三角形的边长为a,当球外切于正三棱柱时，球的半径氏等于正三棱

柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当球外接正三棱柱时，球的圆心

是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，

求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比.

【解答】

解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a,其内切球的半径为R,

当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离,

即/?="£1,到相对棱的距离是fa,

63

又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，

故正三棱柱的高为4a,球外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，

且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，

顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离当a,棱锥的高为fa,

36

22

故正三棱锥外接球的半径满足居=（当a）+（?a）=^a2,

内切球与外接球表面积之比为（4兀/?2）：（47rRg）=R2：瞪=1:5.

故选4

11.

【答案】

A

【考点】

由三视图求体积（切割型）

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由三视图可得该几何体为

棱长为2的正方体挖去:个球得到的，

该球以顶点为球心，2为半径，

所以该几何体的体积为：

14o4

|/=2x2x2--x-7rx23=8--7T.

833

故选4

12.

【答案】

A

【考点】

多面体的内切球问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设球。的半径为R,有4兀/?2=20兀，可得R=V5,

由正方体的中心到多面体的各个顶点的距离都相等，得

球。为该正方体的内切球，

所以正方体的棱长为2R=2V5.

故选A

二、填空题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）

13.

【答案】

17n

【考点】

由三视图求外接球问题

【解析】

主要考查多面体外接球的表积,考查空间想象能力、运算求解能力

【解答】

解：因为球心到四面体各个顶点的距离相等，所以CF的中点即为四面体外接球的球心,

所以r=—==且，所以S=4兀产=177r.

222

故答案为:17加

试卷第14页，总31页

14.

【答案】

167r

【考点】

多面体的内切球问题

球的表面积和体积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意可知可切削的最大的球为该正方体的内切球,

此时该球的半径R=2,表面积S=4TTR2=167r.

故答案为：16兀.

15.

【答案】

5,15+719

【考点】

由三视图求表面积（切割型）

由三视图求体积（切割型）

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：三视图复原的几何体是长方体，

去掉两个三棱锥后的几何体，

如图所示：

去掉的三棱锥的高为3,

底面是等腰直角三角形，直角边长为1,

所求几何体的体积为：

V几何体=2xlx3-2xixixlxlx3=5,

表面积为：S几何体=2x3+2xl+2xixlx3+1x2

1］广|.

x3+-x2xl+2x-xV2x(710)2-(―)2

乙乙,\|乙

=15+回.

故答案为：5；15+V19.

16.

【答案】

【考点】

由三视图求体积（切割型）

球内接多面体

【解析】

由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体.可得此多面体外接球的直径是次

正方体的对角线即可得出.

【解答】

解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色），

多面体的体积为1一4x]x[x1x1x1=1.

此多面体外接球的直径是此正方体的对角线VI

因此其球的表面积是47r•q2=37r.

故答案为：|：37T.

17.

【答案】

V3

7T

【考点】

由三视图求外接球问题（组合型）

由三视图求表面积（组合型）

由三视图求体积

【解析】

几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边

长是1的正方形，四棱锥的高是当，根据求和儿何体的对称性得到几何体的外接球的直

径是夜，求出表面积及球的表面积即可得出比值.

【解答】

解：由三视图知，几何体是一个组合体，

是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，

四棱锥的底面是边长是1的正方形，

四棱锥的高是当，斜高为

试卷第16页，总31页

则这个几何体的表面积为8x卜1x苧=2百，

，根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是企，

,外接球的表面积是4x哈2=2几，

则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为等=

27171

故答案为：丑.

7T

【答案】

V3

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

设出地球的半径，求出北纬60。纬圆和南纬30°纬线长圆的半径，代入圆的周长公式，

计算出北纬60。纬圆和南纬30。纬线长圆的周长，即可求出地球上的北纬60。纬线和南纬

30°纬线长的比值.

【解答】

解：设地球的半径为R,

对应的北纬60。纬线所在的小圆的半径为:R,其周长为兀R

对应的南纬30。纬线所在的小圆的半径为日R,其周长为百TTR

地球上的北纬60。纬线和南纬30°纬线长的比值为兀/?：75兀/?=y

故答案为：号

【答案】

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的弦长，以及

球心角，然后求出球面距离.

【解答】

解：

地球表面上从4地（北纬45。，东经80。）到B地（北纬45°,西经170。）,

A,B两地都在北纬45。上，对应的纬圆半径是三R,经度差是90。.

AB=R,得球心角是半

・•.A,B两地的球面距离是等.

故答案为：^R-

20.

【答案】

673

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

由于4、B两点都在东经121。27),计算它们的纬度差，然后求两地的大圆劣弧的长即

为A、B两点的球面距离.

【解答】

解：4、B两点都在东经121。271纬度差是6。3'

所以4B两地的球面距离为，是过4、B的大圆周长的黑=提，

3607200

B|l-x2兀x6371x673

7200

故答案为:673.

21.

【答案】

1

2

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

设出求出球的半径，解出A、B两点和4、01两点的球心角，分别求出球面距离即

可；

【解答】

解：设4B=a,则4D=a,441=0an球的直径2R=7a2++2a2=2a,即

R=a

则4。48是等边三角形，=m=工•2na--na,

63

在^AODT中，OA=ODr—a,ADr=y/3a/.AOD1=120°=>n=：•271a故?=1

试卷第18页，总31页

22.

【答案】

3

【考点】

由三视图求表面积（组合型）

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：根据三视图分析知，该几何体是四棱柱与两个圆柱体的组合体，

且四棱柱的底面是边长为a的正方形，高为4的直四棱柱，

圆柱体的底面圆直径为2,高为1,

所以2x（axa+ax4+ax4）+27rxlxlx2

=66+4TT,

解得a=-11（舍）或a=3.

故答案为：3.

23.

【答案】

207r

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

由今有一将堑堵，其高为2,底面直角三角形的斜边长为4,求出该堑堵的外接球半径

R=号”=而，由此能求出该堑堵的外接球的表面积.

【解答】

解：；今有一将堑堵，其高为2,底面直角三角形的斜边长为4,

该堑堵的外接球半径R=直/=遮，

该堑堵的外接球的表面积5=4兀/?2=4兀x5=20兀.

故答案为：207r.

24.

【答案】

87r

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

根据题意，PC为三棱锥P-ABC的外接球的直径，求出PC的长度，即可求解球的半径，

从而可求三棱锥P-4BC的外接球的表面积.

【解答】

解：因为BC1平面P4B,所以BC_LPA,

又PA14B,S.ABQBC=B.

则PA_L4BC,所以H4_L4C,

又因为BC1AB,则PC为三棱锥P-4BC的外接球直径，

则PC=y/AB2+BC2+PA2=Vl+3+4=2vL

故球0的半径R=2,表面积S=4TTR2=87r.

三、解答题(本题共计12小题，每题10分，共计120分)

25.

【答案】

解：(1)由三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何

体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切；

(2)易得圆锥的母线长为每汴=V10,

表面积S=S圆锥侧+S长方体-S锥底

=7Tx1xVio+2x(2x3+lx3+lx2)-7rxl2

—(V10—l)?r+22(m2),

体积为V=i7rxl2x3+3x2xl=6+n(m3}.

故所求几何体的表面积是[(VTU-1)7T+22]m2,体积是(6+n)m3.

【考点】

由三视图求表面积(组合型)

由三视图求体积(组合型)

简单组合体的结构特征

【解析】

(1)由三视图知几何体上面是圆锥，下面是长方体由三视图知几何体；

(2)由圆锥的母线长为3,底面圆的半径为1,得：圆锥母线长百E=长方

体的长、宽、高分别为3、2、1；根据表面积S=S倒露颇+S长方体一S府能雇求几何体的

表面积，体积V=V长方体+%雄求几何体的体积.

【解答】

解：(1)由三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何

体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切；

(2)易得圆锥的母线长为次”=V10,

表面积S=S圆锥厕+S长方体-S维底

=兀x1xV10+2x(2x3+lx3+lx2)-7rxi2

=(T10-l)7r+22(m2),

体积为U=|TTX12X3+3X2X1=6+7r(m3).

故所求几何体的表面积是-l)7r+22]m2,体积是(6+7r)m3.

26.

【答案】

试卷第20页，总31页

•••在△S4B中，SAA.AB,在△SAD中，SAA.AD

又rABCtAD=A,S41平面4BCD.

SA1面ABCD

(2)nBD1.SA

BDu面ABCD

又BD_L4C,ACOSA=A

由线面垂直的判定定理，

BD1面S4C,又BDu面SB。

由面面垂直的判定定理平面S4C1平面SB。

设O'为底面中心，则平面SACn平面SBD=SO

过A作AHIS。，，垂足为H,由面面垂直的性质定理，力”1面SBD,

所以4”即为所求，在直角三角形$4。中，SO'2=SA2+A0'2-a2+(^)=|a2

SAxAOr=SOfxAH,：.AH==等

2

(3)SC为S-4BCD外接于球。的直径，则S、C两点的球面距离兀/?=等

【考点】

直线与平面垂直的判定

球面距离及相关计算

球内接多面体

点、线、面间的距离计算

【解析】

(1)由SA1AB,SA14D可得，存在一条侧棱S4垂直于底面.

(2)证明出BDJ•面SAC即可证出平面S4C1平面SBD,由面面垂直的性质定理，由4

向平面SAC与平面SBC的交线作垂线，构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离.

(3)SC为S-ABCD外接于球。的直径，则S、C两点的球面距离为大圆的周长的一半.

【解答】

S

解：(1)存在一条侧棱S4工平面4BCD,如图所示.R

在ASAB中，SA1AB,在△S4D中，SALAD

又ABdAD=A,：.541_平面力BCD.

(SA1面ABCD

(2)1BDISA

{BDu面ABCD

又BCJ.AC,ACCSA=A

由线面垂直的判定定理，

BD1面SAC,又BDu面SB。

由面面垂直的判定定理平面SAC1平面SBD

S

过4作A“1S。'，垂足为"，由面面垂直的性质定理，AHiffiSBD,

所以AH即为所求，在直角三角形S4。中，SO'2=S712+A0'2=a2+(^)=|a2

ax>/2g.-

SAxAOf=SOfxAH,：.AH=—^=—

V6fl3

(3)SC为S-ABCD外接于球。的直径，则S、C两点的球面距离兀/?=等

27.

【答案】

(1)证明：因为PA1平面力BCD,COu平面ABCO,

所以PA1CD.

又底面4BCD是矩形，

所以CD_L4D,

又40n4P=A,

故CD_L平面PAD.

又因为AEu平面P4D,所以CD1AE.

(2)解：存在久=1满足条件.

当x=l时，即24=40,所以4E1P。，

试卷第22页，总31页

又由(1)知CD_L4E,所以AE_L平面PCD.

又4Eu平面4EC,平面PCD，平面4EC.

(3)解:由⑴、(2)可知APAB、APAD、APCD均为直角三角形,

因为PB=2在，BC=2,PC=22+(2V2)2=2V3,

所以△PBC也为直角三角形.

所以Sp/IB=^APAD=2，SAPCD=SAPBC=2V2.

设四棱锥P-/BCD内切球的球心为。，半径为，则由等积法得:

^P-ABCD—^O-ABCD+^O-PAB+

^O-PAD+^O-PCD+%-PBC，

即：|x4x2=-x4xr+-x2xr+"2xr+

33

Ix2V2xr+x2V2xr,

所以「=品=2—a.

【考点】

多面体的内切球问题

直线与平面垂直的性质

平面与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)证明：因为P41平面4BCD,CDu平面4BC0,

所以PA1CD.

又底面4BCD是矩形，

所以CD_L4D,

又4。n”=4

故CD，平面PAD.

又因为4Eu平面PAD,所以CD14E.

(2)解：存在久=1满足条件.

当x=l时，即P4=A0,所以4E1P0,

又由(1)知CD_L4E,所以4E_L平面PCD.

又AEu平面AEC,平面PCD，平面4EC.

(3)解：由(1)、(2)可知APAB、△P4。、△PCD均为直角三角形,

因为PB=2遮，BC=2,PC=J22+(2V2)2=2V3,

所以△PBC也为直角三角形.

===

所以&P/8^APAD2,SAPCD-^APBC2A/2.

设四棱锥P-ABCD内切球的球心为。，半径为r,则由等积法得:

^P-ABCD=^O-ABCD+^O-PAB+

^O-PAD+^O-PCD+力-PBC，

即：ix4x2=ix4xr4--x2xr+-x2xr+

3333

-x2A/2xr4--x2V2xr,

33

所以=2-鱼.

28.

【答案】

解：(1)由已知底面4BCD为正方形，PD_£平面=AD=2,

得PD1AD,PD1AB,AD1AB.

又PDCAD=D,

:.48J_平面PAD,

・••PALAB,

・•・PA=2^2,PB=2V3,

S4PAB—2夜，=2f

同理S“CB=2yn,S“CD=2,

又S正方形ABCD="

AS四棱锥表面积=4A/2+8,

^P-ABCD=gS正方形ABCD.---

(2)设内切球的半径为r,球心为。，

则球心。到平面P4B,平面PZD,

平面PCB,平面PCD,平面ABC。的距离均为r,

由“TBCO=^O-PAB+^O-PAD+^O-PCB

+%-PC。+^O-ABCDf

可得与S正方形ABCD'PD=-r+-SAPAD-r

11

+'r+,r

11

正方形ABCD,R=四棱锥表面积’丫,

S正方形ABCD•PDcw

・・・r=--------------------=2-V2,

S四楂锥表面积

•1•S内切球表面积=4nr2=(24-16V2)TT.

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

多面体的内切球问题

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)由已知底面ABCD为正方形，PD1平面力BCD,PD=2,

试卷第24页，总31页

得PD1AD,PD1AB,AD1AB.

又P。n4D=D,

AB，平面PAD,

•••PA1AB,

PA=2^2,PB=2V3,

SAPAB=2V2,=2,

同理SAPCB=2V2,SAPCD-2,

又S正方形ABCD=生

S四棱锥表面积=4或+8'

18

VP-ABCD=%S正方形ABCD.PD=3

(2)设内切球的半径为r,球心为。，

则球心。到平面P4B,平面PAD,

平面PCB,平面PCD,平面4BCD的距离均为r,

由5-4BCD=^O-PAB+^O-PAD+%-PCB

+%-PCD+^O-ABCD'

可得0正方形ABCD,PD=三SAPAB-R+mSAPAD'r

11

+§SAPCB-r+5sApco'r

+』S正方形ABCD,r=4S四棱锥表面积-T，

S正方形ABCD'PD

•••r=--------------=2—V2,

S四棱锥表面积

2

•1•S内切球表面积=4nr=(24-16&对

29.

【答案】

解：（1）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半

径为2,母线长分别为2或、4,

其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

S圆锥侧=~x2TTx2x2V2=4V2TT；

S圆柱侧=2兀x2x4=16兀；

S圆柱庭=nx22=4兀.

,1,几何体的表面积S=207r+4V27T.

（2）%筋=[x4兀X2=|兀，

V圆柱—4TTx4=16TT,

V=167r4--7T=—71.

33

【考点】

由三视图求表面积（组合型）

由三视图求体积

【解析】

（1）几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，由三视图判断圆锥与圆柱的底面半径与

母线长，根据其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，代

入公式计算；

（2）利用圆柱的侧面展开图，求得EB的长，再利用勾股定理求的圆柱面距离.

【解答】

解：（1）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半

径为2,母线长分别为2/、4,

其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

S圆锥侧=5X2江x2x2A/2=4A/2TT；

S圆柱侧=x2x4=16TT；

S圆柱底="x22=47r.

・.・几何体的表面积S=207r+4V2TT.

1只

（2）曝露=&X4兀X2=,;r,

V圆柱=4TTx4=16TT,

I/=16兀+之兀=?兀.

30.

【答案】

1'=缁），

二lnmi也的长度=在竺=史卫千米.

1801080

故lnm〃e是篙^千米.

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

化分为度，再由弧长公式求解.

【解答】

''】'=（》

的长度=607rx6370二"上千米.

1801080

故是^^千米.

31.

【答案】

试卷第26页，总31页

n

由图可知，乙40c

一4

则4C两地的球面距离为£/?：

4

由已知可得,乙4已0'=60。,则40'=1/?,

同理B0，=当R,而乙4O'B=90°,

AB=—R,

2

在△力0B中，由。A=OB=R,AB*R,

—r,口R2+R2-R21

可得cosZJlOB=------产一=

2"4

则乙4。8=arccos-.

4

A,B两地的球面距离为arccos^R.

4

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

由题意画出图形.

(1)直接求出乙40c的大小，由弧长公式求4C两地的球面距离；

(2)解三角形求得乙40B的大小，再由弧长公式求4,B两地的球面距离.

【解答】

由图可知，^AOC=

4

则4C两地的球面距离为£/?；

4

由已知可得,乙4已。'=60°,则40，=当R,

同理80，=/R,而4aO'B=90°,

AB=—R,

2

在AAOB中，由04=0B=R,AB=^R,

可得cos乙4。8=-------六一1

2R”

则ZJ40B=arccos".

4

A,B两地的球面距离为arccos^R.

4

32.

【答案】

经查地图可知，大连纬度为北纬39。，台北纬度为北纬25。，

则两地的纬度差为14。，则这两个城市的球面距离大约为宵了《1555千米.

180

故大连与台北这两个城市的球面距离大约为1555千米.

【考点】

球面距离及相关计算

【解析】

通过查地图得到大连与台北这两个城市的纬度差，再由弧长公式求解两个城市的球面

距离.

【解答】

经查地图可知，大连纬度为北纬39。，台北纬度为北纬25。，

则两地的纬度差为14。，则这两个城市的球面距离大约为地篙2。1555千米.

故大连与台北这两个城市的球面距离大约为1555千米.

33.

【答案】

解：（1）•；上海与大连在同一经线上，.・.它们在地球的同一个大圆上.

设地球的球心为0,上海、大连分别为点4、B.

由上海、大连的经、纬度知NA0B=8。地球半径rx6371千米

经计算得的弧长：6371X兀x之弓889.56（于狗

180

889.56+720«1.2（小时）

.1,从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）

（2）设里斯本为C,过B作与赤道平面平行的球面的截面，

设其圆心为。'，由己知得

乙BO'C=121°+10°=131°,NOB。'=39°

OB=OC=rO'C=O'B=OBcoscOBO'=rcos39°

由余弦定理可得

BC2=O'B2+O'C2-20'B'0'Ccosl31°=2r2cos239°（l-cosl31°）

试卷第28页，总31页

OB2+OC2-BC22r2-2r2cos239°(l-cosl31°)

cosZ-BOC=------~—------=--------------------------

2-OFOC2r2

X-1.87X10-4

Z.BOCx90.01°

于是大圆的弧长BC为6371x兀x曙«10009(千狗

1