重难点04 三角恒等变换十一大题型-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】（解析版）

重难点04三角恒等变换十一大题型汇总

期末题型解读

题型6平方关系的运用

满分技巧

技巧一.求值中主要有三类求值问题：

(1)"给角求值"：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角

总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而

得解.

(2)"给值求值"：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角"，

使其角相同或具有某种关系。

(3厂给值求角”：实质是转化为"给值求值"，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的

函数值结合该函数的单调区间求得角.

技巧二.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：

(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幕降导法，和积互化法，辅助元素法，"1"的代

换法等.

(2)常用的拆角、拼角技巧如:2a=(a+p)+(a-p),a=(a+p)-p,a=(a-p)+0等.

(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为

单项式，化无理式为有理式.

(4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面

的差异.

技巧三.两角和的正切公式的常见四种变形：

T(a+⑸：

①tana+tan£=tan(a+⑸Q-tanatari佻;

②tana+tan/?+tanatangtan(a+£)=tan(a+£);

tana+tan0

③④tanatan0=1-7----------

tana+0

tana+tan0

01-tanatanB-------------;

tana”

T(a-©:

①tanaltan£=tan(al回(1+tanatari©;

②tana-tang-tanatan力tan(a-0=tan(a-@;

③④tanatan£=皿的。-1

(3)l+tanatanp=-----------------

技巧四.倍角公式应用求值的思路

(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式.

(2)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，

将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.

技巧五.常见辅助角结论

(l)sinx±cosx=V2sin(x±：);(2)sinx±V3cosx=2sin(x±，

(3)cosx±sinx=V2cos(x+^);(4)cosx+V3sinx=2cos(x+)；

题型1公式的简单应用

【例题1]（2023秋•陕西西安・高一长安一中校考期末）若tan£7=-2,则sin2£7=（）

A.-|B.TC.|D.

【答案】B

【分析】根据二倍角公式和同角三角函数的关系，sin2Z7=黑普，再进行"弦化切"即可代值求解.

r；羊繇1cin7n_2sinac°s〃_2tan£7_2x(_2)__4

【评舲】Sin2”.阳+/〃—嬴京一行河一一g，

故选：B.

【变式1-1]（2021春•河南商丘•高一校考期末）若tan0=3,则噌=_______

2COS/U

【答案】5

【分析】利用二倍角的正弦公式计算可得答案.

sin2£72sinZZfcosZ7

【详解】=2tanZZ7=5.

cos2£7cos2ZZ7

故答案为：5.

【变式1-2X2022秋河南;累河•高一校考期末脱角三角形的内角A,B,C满足cosOsin2£7=cosBna,

则有（）

A.sin2Z7-cosL7=0B.sin2Z7+cos£7=0

C.sin2Z7-sin0=0D.sin2£7+sinZ7=0

【答案】C

【分析】由三角恒等变换化简可得□=O,得出D=n-2O,再由诱导公式即可得解.

【详解】因为cos£fein20=cos£fein£7,

所以2cosZZfeinZDbosZZ7=cosZZfeinZZZ,

又0<□<，所以cosO#0,

所以2cosZZfein£7=sin£7=sin(Z7+ZZ7)=sinOD0s£7+cosZZfeinZZ7r

即sin(O-。=0,又□%锐角，

所以。=D,故□=*-2□,

所以sinZZ7=sin(n-2/7)=sin2ZZ7,cosZZ7=cos(n-2/J)=-cos2Z7,

故sin2ZZ7-sinZL7=0,

故选：C

【变式l-3】(2022秋•浙江杭州•高一杭州市长河高级中学校考期末)已知口e(0,，,2sin2〃=cos2D+1,

贝(JtanZ7=()

A1B」C-D逋

A-3D*2Ju-5

【答案】B

【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.

【详解】因为2sin2ZZ7=cos2£7+1,则4sinbosO=2cos277,且Z7w(°胃)；则。。$〃工。，

1

2sin£7=cos£7ntan£7=-

故选:B

【变式1-4](多选)(2022秋•浙江杭州•高一杭师大附中校考期末)已知tan〃=3,则()

A.sin£7=^2B.sin2O=^

105

C.cos2£7=-|D.tan^+£7)=-^

【答案】BCD

【分析】A选项，利用同角三角函数关系，求出正弦值；BC选项，利用倍角公式，化弦为切，代入求值；

D选项，利用诱导公式计算即可.

【详解】A选项，因为tan£7=3,所以半=3,即cosO=华,

COSLJ3

因为sin2£Z7+cos2£7=1,所以粤包=1，解得sinO=土察,A错误；

y1u

2sinZZfcos£72tanZZ76

B选项，sin2£7=2sinZJtos£7=1B正确；

sin2ZZ7+cos2IJtan2ZZZ+19+10

222

22cos£7-sinC71-tanZ71-9

C选项,cos2Z7=cos£7-sinZZ7=-5---------------=——5---------='C正确;

sin2ZZ7+cos2£7tar/£7+19+1

sinG+q

cos£71

D选项，tan%。5,D正确.

-sin£7tan/Z7

cos信+£7

故选：BCD

题型2公式的逆用

【例题2](2022春•云南•高一统考期末)sin20-cos250+cos20°sin25°=()

A]B.fC4D，4

【答案】B

【分析】根据两角和的正弦公式可求出结果.

【详解】sin20°cos250+cos20°sin25°=sin(20°+25°)=sin45°=y.

故选：B

【变式2-1](2023春•四川成都•高一成都实外校考期末)下列化简不正确的是()

A.cos82°sin520+sin82°cos128°=-^B.sin15°sin30°sin75°=:

28

「2o-2^r-oactan480+tan72°>—

C.cos4d15c—sin15=—-D.----------------=V3

21-tan480tan72°

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.

【详解】A选项，cos82°sin52°+sin82°cos128°

=cos82°sin520+sin82°cos(180°-52°)

=cos82°sin52°-sin82°cos52°

=sin(52°-82°)=-sin30°=一，所以A选项正确.

B选项,sin15°sin30°sin75°

=isin15°sin(90°-15°)=^sin15°cos150=Jsin30°=，B选项正确.

C选项，cos215°-sin215°=cos30°=y,C选项正确.

D选项，tan48"tan72。=+72»\=fag20°=-V3,D选项错误.

1-tan480tan72°\)

故选：D

【变式2-2](2023秋•云南昆明•高一统考期末)计算下列各式的值：

(l)cos215°-sin215°;

...1+tan15°

(2)--------；；

1-tan15°

(3)sin210°+COS2550+V2sin10°cos55°.

【答案】(琦

⑵我

⑶：

【分析】(1)利用二倍角公式求得正确答案.

(2)利用两角和的正切公式求得正确答案.

(3)利用两角和的余弦公式、二倍角公式、降次公式、诱导公式等知识求得正确答案.

【详解】(1)cos215°-sin215°=cos30°=y

/_、1+tan150tan450+tan15°/._._\区

(2)---------=-----------------=taxn45°o+15°o)=V3.

1-tan1501-tan450tan150\)

(3)sin210°+COS255°+V2sin10°cos55°

,1+cos110°=/\

=sin210°+---------------+V2sin10°cos(45。+10。)

=sin210°+1但+V2sin10°(cos45°cos10°-sin45°sin10°)

=sin210°++V2sin10°(ycos10°-ysin10°)

ni—sin20°o

=sin210°+—-—+sin10°cos10°-sin210°

【变式2-3](2023秋•云南保山•高一统考期末)在仆O0O中，若tanO+tan£7+V3tanGtanO=V3,H

sin2〃=当则口=()

A.60°B.45°C.30°D.15°

【答案】C

【分析】根据tan/Z7+tanO+V5tanOtanZ7=V5,利用两角和的正切公式可得Z7+£7=60°,即可得£7=

120°,根据sin2O=当即中)范围可得口=30°,进而可求得£7=30°.

【详解】解:因为tanZ7+tanZ7+V3tanRanZ7=V5,

^rUAtan£7+tanZ7=V3(1-tanOanZT),

即tan(〃+U)=更:竺/=如

1-tanOan£7

因为B,C为4OOE)内角，所以O+□=60°,即。=120°,

所以0°<U<60°,0o<2Z7<120°,因为sin2O=:所以20=60°,

即0=30°,所以0=30°.

故选:C

【变式2-4](2021・浙江•高一期末)观察下列各等式：

tan10°tan20°+tan20°tan600+tan60°tan10°=1,

tan20°tan300+tan30°tan400+tan40°tan200=1,

tan33°tan44°+tan440tan13°+tan33°tan13°=1.

(1)尝试再写出一个相同规律的式子；

(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明.

【答案】(I)tan11°tan440+tan44°tan35°+tan11°tan35°=1

⑵若£7+£7+Z7=g,则tan£Aan£7+tandan£7+tanRan£7=1;证明见解析

【分析】（1）根据已知的3个例子即可发现规律求解，

（2）根据已知式子发现规律，利用弦切互化以及正切的和角关系公式即可求解.

【详解】(1)tan11°tan44°4-tan44°tan35°4-tan11°tan35°=1.

(2)若Z7+□+□=，JJlJtanOanU+tanOanLJ+tanOanU=1.

sin得㈤_

证明:tan(Z712)_cos£71

Znsin。tan£7

cosf2-^1

又因为tan(Z7+D)=tan

所以tan(£7+。•tan〃=察笔笔•tanO=1,

1-tanZ_AanL/

1-t^#tanOanZ7+ianUtan/J+tan/Jtan/7=1.

【变式2-5]（2023秋•河南洛阳•高一统考期末）如图，在正方形ABCD中，M,N分别为BC,CD上的

动点,其中NMAB=£7>0,ZMAN=£7>0,zNAD=60.

⑴若M为BC的中点，DN=^DC,求口

(2)求证:tanOan£7+tanOan/J+tanOan/Z7=1.

【答案】（1）0=3；

（2）证明见解析.

【分析】（1）由题可得tanO,tanaRtan（Z7+口,又0+口+口=/即可得O；

（2）由0+0+0=]=>0+。=]一tan（O+£7）=tang一0），整理后可证明结论.

【详解】（1）由题意得12回=袈=；.回=携=1

L—11—1NL_/L-iJ

j1

故tan（。+D）=:吸罂=卒=1,由题可得〃，侬为锐角，则O+口=[.

1-tanZ-Janui--x-4

23

又0+77+0=2,则。=彳；

(2)证明：因O+O+O=T,则£7+£7=三一O,

+4,zr-7।r-i\*(nr-X，，心一勾cos£71

故tan(ZZ7+ZJ)=tan--Z7=-5——三=—==—,

V)cos”)s,nDtanD

即,tan=曹叱=,则(tan£7+tan£7)tan£7=1-tan£ZAan£7,

1-tan/jtanOtan。'

故tanZJtan£7+tan£Aan£7+tanCAanZZ7=1.

题型3三角恒等变换的实际应用

【例题3］（2022春•宁夏银川・高一银川二中校考期末）我国古代数学家僧一行应用"九服号影算法”在《大

衍历》中建立了唇影长I与太阳天顶距。（0°<口<90。）的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切

函数表.根据三角学知识可知，号影长度I等于表高h与太阳天顶距DEE切值的乘积，即口=Ntan〃，对

同一"表高"两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为口口，若第一次的“号影长"是"表高"的3

倍,且tan（O-。［则第二次“暑影长"是"表高"的（）倍.

25

A1BC

3-2-D-1

【答案】A

【分析】由题意可得tanZ7=3,tan（£7-。=J再根据tan/7=tan［。-（口-结合两角差的正切公

式即可得解.

【详解】由题意可得tan£7=3,tan（口一。，

所以tanO=tan［£7-（^7-切=黑就穿=急=1，

即第二次的“号影长"是"表高"的1倍.

故选：A.

【变式3-1］（2022秋•黑龙江牡丹江•高一校考期末）某港口的水深y（米）随着时间t（时）呈现周期性

变化，经研究可用。=KingD+Ucos之□+行描述,若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，

0O

求口+。的取值范围.

【答案】卜竽，啕

【分析】利用辅助角公式可得2后Q=3,进而利用基本不等式求出结果.

【详解】由题意可知。=Ufein,。+0cosI£7+口=43+小爬□+臼+0（。为辅助角），

由题意可得+厅+D-（-收+行+。=2）仃+d=3,

故4+仃=，

由d+422口〃，得（竽＜之乌=|,

解得一竽WC+DW苧.

故a+b的取值范围为卜竽,竽].

【变式3-2]（2023秋・云南・高一云南师大附中校考期末）数学与音乐之间有着密切联系,如在一首乐曲中

常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律，从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可

以用三角函数来表示.某乐曲的一个音量y（单位：分贝）关于时间x（单位：秒）的函数模型为0=

40sin£7.1ZJ+40sinD2U,它可以看做是由纯音口=40sin/7if7^Z7=40sin4。^•成的.

Q）已知在一个周期内，正的最强音出现一次.若。1=n,&=2n，则在三分钟内出现了几次正的最强音？

（2）当弹奏两个频率很接近的纯音时，合成出来的音听上去时有时无，好像某人在以一个固定的频率调大和

调小音量这种现象叫做差拍我们可以利用三角函数中的和差化积公式解释它,40sinaZ7+40sinaZZ7=

80sin（辛D）cos（%且D）,由此我们可以认为是对声音。=40sin（半O）的周期性放缩，故缩倍

数为口（口=2cos（0/d）若口=1秒时放缩倍数与0=2秒时放缩倍数相同假设放缩倍数为正数）,

4=g,0＜&＜?则£7=2秒时音量为多少分贝?

【答案】（1）90次

⑵40g分贝

【分析】（1）根据2为函数0=40sirmO的一个周期，1为函数Z7=40sin2n怵一个周期,可得2为函

数口=40sirmD+40sin2TTOB勺Y周期，再设T是函数的一个周期，0＜。＜2,从而可求得口，进而

可得出答案；

(2)由题意，£7(1)=0(2),设cos尹)=D,求出O,从而可求得4，从而可得出答案.

【详解】(1)因为2为函数Z7=40sinn。的一个周期，1为函数。=40sin2nO的一个周期，

所以2为函数£7=40sinn£7+40sin2nZDfi<]一个周期，

令口(口)=40sinnZZ7+40sin2nZZ7z设T是0(。的一个周期,0<LJ<2,

皿小□(口=0(0)J40sinnn+40sin2nO=0

历⑷+1)=。(1),%_40sirm，+40sin2n£7=。'

故sirm£7=0,解得£7=1,

但口(口+1)=-40sinn^7+40sin2nK7^口⑪,故。=1不是口(。)的周期，

所以2是0(。的最小正周期，

由于在一个周期内，正的最强音出现一次，等=90,

所以在三分钟内出现了90次正的最强音；

(2)由题意,0(1)=0(2),故2cos(^^)=2cos(&-&),

所以cos(号)=2cos2(竽)—1,

设cos(^f^)=。,苧<。式1,

故2行-0-1=0,解得£7=1,ZZ7=-；(舍)，

所以cos(%R)=1,因为&=90<4,

故色/=o,所以々，

40(sing+sin=40V5,

则O=2秒时音量为40g分贝.

【变式3-3](2023秋•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中校考期末)本市某路口的转弯处受地域限制，设计了

一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图

为矩形口口□口，它的宽口R2.4米车厢的左侧直线与中间车道的分界线相交于D记乙□□□=

（1）若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好心=,且口、。也都在中间车道的直线上，直线口口也恰好

过路口边界。，求此大卡车的车长.

（2）若大卡车在里侧车道转弯时对任意口，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值.

（3）若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆/km），统计如下：

时间7:007:157:307:458:00

里侧车道通行密度110120110100110

外侧车道通行密度110117.5125117.5110

现给出两种函数模型：①口（。=Z^in£7O+口（口>0,□>0）

②口（口=口口-N口,请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点

以后的平均道路通行密度（单位：辆/km）与时间。（单位：分）的关系（其中％7:00后所经过的时间，

例如7:30即£7=30分），并根据表中数据求出相应函数的解析式.

【答案】（1）8-黑

（2）8五-当

⑶。=10sinZ7）+110；口（口=一；|£7-30|+125

【分析】（1）通过解直角三角形，分别求出口口口□,口口,□口,即可求得本题答案；

(2)用。表示口口，利用换元法并结合函数的单调性，求出口2勺最小值，即可得到大卡车车长的最大值；

(3)先判断里外车道对应的模型，分别求出相应的解析式即可.

【详解】(1)悴口□，口□,垂足为。，作OO_L□口,垂足为口,

因为乙□□□=1,所以立□□□=乙□□□=£□□□=[,

66

在Rt△nou^,£70=2.4xtan：="，在Rt△口口仔,□□=丝=塔

65n5

tan-

o

在Rt△口口中,no=—=挚，在Rt△口口出,□□=—=8.

n3TT

cos-sm-

ob

所以口口=□口=当+3-当-卓=3-洛

35515

(2)因为4口□口=口，所以。口=二，口口=J,£7£7=2.4tan£7,口口2.4

cosLJsmZ_7tan£7

所以£70=□□=□□+□□一OO=壶+福一2.4tano-磊

22一

4sin/Z7+4cos/Z7-2.4sin£7-2.4cosZZ74(sinZZ7+cosD)2.4,0<〃<g

sinODOSZZ7sin/jbosZZ7

TT3n

令sin£7+cosZZ7=U,贝！JO=V2sin(Z27+,v0<ZZ7<，.•・O+；£

4,~4

所以1<□WV2,sin£7cos£7=与^

所以3==甸，

2

设。=£7-式：<OW夜一力则O=Z7+1

O\O0/D

所以号=/

易知£7(。=口一怒+拒单调递增，且0(。)>0,

l-lOOO

所以□□=7篝7=六丁在(|，代—|］单调递减，

S目Tn~25D+5

所以，当。=鱼-）即。=夜时，£7侬最小值8晚-誓,

所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意。，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为8立-

24

（3）由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，适用模型。=次inOZZ7+□（口＞0,。＞0）,

易得口=60,所以D=g屋，又O=资产=10,0=出了=110,所以0（。=10sin缁）+110;

而夕M则车道通行密度关于。=30对称，左侧递增，右侧递减，适用模型。=D\U-U\+U,

易知。=30，代入（0,110）,（30,125），得〃=125,0=一3，

所以£7（。=W10-301+125.

【点睛】方法点睛：对于含有sin/J+cosOfflsinOcosB）三角函数值域问题，可以通过换元转化为熟悉的

函数，如二次函数，分式函数来解答.

【变式3-4]（2023秋・云南楚雄・高一统考期末）某地区组织的贸易会现场有一个边长为1的正方形展厅

□□□□,口，U分别在0次口£74边上，图中△口口。区域为休息区，△□□□,△。匚7。区

域为展览区.

（1）若4口。。的周长为2,求的大小；

（2）若,请给出具体的修建方案，使得展览区的面积遍大，并求出最大值.

0

【答案】⑴m

（2）当/。。口二时，展览区的面积交大，最大值为|

【分析】（1）设口口=口,□□=□,根据△勺周长为2可得04茜足的关系式，利用两角和差正

切公式可求得tan（NO〃〃+N£7。。），进而确定NOO为勺值；

1

（2）设^□□口=口,利用事示出,并结合三角恒等变换知识将化简为

2sin^2£7+gj+1

根据正弦型函数的最值可确定（么〃g）min及此时N0OOB勺取值，由此可得展览区面积最大值.

【详解】（1）设口口=口,口□=口,则tan/OOO=1-口,tan乙口□□=1-D,

又4DDOfi勺周长为2,：.口+口+J!+支=2,

则4+厅=4-4（0+。）+（。+D）2,整理可得：DD=2（D+[J）-2,

tan"□□□+4="□+”口=23+0=―妇马旦-=1

I。、。———丁-―）1-（1-O（1-OD+U-DDZ7+£7-2（£7+£7）+2'

因为0<乙□□□+乙□□□<p

：“□□□+乙□□□/，:•乙□□口=V.

44

（2）设z口口口=口（0<〃<9,则-D,口口=$,□□=「、,

\3）38s口8S”）

在^中,£7。边上的高为。次in■=-7--,

0/n\

2COS（3-0）

,□nnn=____-____=_______-______=______-______=______-_____=_________

"_4cosObos（；-£7）-4g0（刎£7+枭时—2cos2£7+2GsinOcos〃-Osin2D+8s2D+1-242*户'

则当20+&=T,即〃=g时，2sin（20+*+1取得最大值3,

此时£7/7/27取得最小值?（

则当zz7oo=热，展览区的面积a最大，最大值为1V=|.

【变式3-5]（2023秋・云南昆明•高一统考期末）乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音

的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之

一部分也在震动.某乐音的函数是=sinO+gsin2D,该函数我们可以看作是函数O=sin。与。=

*in2O®加，利用这两个函数的性质，我们可以探究0（。的函数性质.

(1)求出的最小正周期并写出口(。的所有对称中心；

(2)求使。(。>0成立的x的取值集合；

⑶判断Oe卜2n,2n],函数0(。=-:零点的个数，并说明理由.

【答案】⑴最小正周期为2n;所有对称中心为(。&0),OeZ

(2)^£7|2ZZ7n<ZZ7<n+2/Tn],ZZ7eZ

(3)零点的个数为4,理由见解析

【分析】(1)结合图象以及三角函数的周期性、对称中心等知识求得正确答案.

(2)解三角不等式求得正确答案.

(3)根据图象，结合三角函数的单调性、周期性、对称性等知识求得正确答案.

【详解】(1)因为。=sin最小正周期为2n,口=；sin2B]最小正周期为n,

□(口=sinZ7+；sin2O,2n)=sin(£7+2TT)+；sin(2£7+4TT)=sin£7+gsin2£7=£7(Z7),

而O(£7+TT)=sin(£7+TT)+：sin(2Z7+2TT)=-sin£7+；sin2£7,Z7(/Z7),

所以口(。的最小正周期为2Tl.

由图象可知，函数。=5皿3£7=3m2遁象关于点(0,0)，80)对称，而函数0(。是奇函数，

ZZ7(2TT-£7)+Z7(£7)=sin(2TT-Z27)+；sin(4TT-2£7)+sin£7+gsin2Z7=0,因止匕(0,0),(TT,O)是£7(。

图象的对称中心，

所以。(。的对称中心为(口。,0)，口WZ.

(2)要使£7(。)>0,即sinZZ7+gsin2£7=sin£7(1+cosZZZ)>0,又因为1+cos£7>。恒成立，

故0(0>。成立的中)取值集合与sin020成立的j勺取值集合一致,

故。（。20成立的中取值集合为{a2〃TT4Own+2〃n},£7eZ.

（3）观察给定的图象，可以判断0（。图象在［0,川上先增后减，且O（0max>1,

由（2）知当。e［0,n］时，£7（£7）>0,

故在［0,n］上函数0=0（。与函数。=博两个交点.

因为。（。的最小正周期为2n,

故在［-上函数。=0（。与函数也有两个交点.

又因为函数0（。为奇函数，图象关于原点对称，

故在［--0］,上函数0=0（。与函数图象无交点.

综上所述，［-2n,2n］,函数。（。=零点的个数为4.

【点睛】思路点睛：求解函数周期性有关的问题，可利用周期函数的定义来判断，即：O（O+D）=£7（£7）,

则0（。）是周期为中周期函数.求解三角函数对称中心有关问题，可利用0（。）=0来进行求解.

题型4化简求值题

【例题4］（2021春•陕西西安・高一统考期末）8s2。。（倔an201）=.

2sin10°

【答案】-1

【分析】根据切化弦及两角差正弦公式的逆用即可得解.

…(­sin20°\

cos20I\3----------1]

\cos200)V3sin200-cos20°_2sin(20o-30°)

【详解】原式=

2sin1002sin1002sin10°

-2sin10°

2sin100

故答案为：-1

【变式4-1】（2022秋云南昆明•高一统考期末）若的仁+=巳。是第三象限角，则*1=_______.

25

\）1+tany

【答案】-2

【分析】先化简cos（g+臼=I,得到sin。=,再利用同角三角函数的基本关系求得cos。，再把所求

的式子切化弦，利用二倍角公式，求得结果.

【详解】因为COS信+£7）=3所以一sin/7=sin£7=,

\zlb□o

因为。是第三象限角，所以cosO=-Vl-sin2O=一）

D

000

1--cs-^

以

所tan22sl-

0。

1+-s20n

tan2co+si2

cos2-sin勺(cosZ+sin的cos2-^-sin2-^cosU-g

/n/~N2n,.2□、c口.口1+sinZZZd3

(cos^+sin•cos9乏+sin彳+2cos个巾彳1

故答案为：-2

【变式4-2]（2023秋・浙江杭州•高一杭州市长河高级中学校考期末）黑黑箸

【答案】-4

【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.

'后sin10。-cos10。2sin(10°-30°)_-2sin200

【详解】-4.

cos10°sin10°河200别20°

故答案为：-4.

【变式4-3]（2021春・陕西汉中•高一统考期末）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值

等于较小部分与较大部分的比值，该比值为口=与«0.618,这是公认的最能引起美感的比例.黄金分割

比的值还可以近似地表示为2SE8。，则胃萨的近似值等于

【答案】1

【分析】由题可得。=2sin18。，利用sin18。=sin（3。。-12。）展开化简可得署==喘=1.

【详解】由题可得O=2sin18°,

.V5sin12°+O_V5sin12°+2sin18°_百sin120+2sin(30°-12°)

•,cos120cos1208s12°

_\Z3sin120+2sin30ocos12o-2cos30asin12°_cos120_.

cos120cos120'

故答案为：1.

【变式4-4]（2023秋•安徽芜湖•高一安徽师范大学附属中学校考期末）[2sin500+sin100（1+

V3tan10°)]cos10°=.

【答案】V3

【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、辅助角公式以及三角恒等变换的知识求得正确答案.

【详解】[2sin500+sin10°(1+V3tan10°)]cos10°

VSsinlO。

2sin50°+sin10°1+cos10°

cos10°

cos10°+V3sin10°

2sin50°+sin10°cos10°

cos10°

「。。

=2Csm-5u0c4,-sm•1.C0x—2sin(10口+30)]cos10

Lcos10J

=[2sin500+sin10ex1^]cos10-

sin50°cos10°+sin40°sin10°

=2乂----------------------------------------xcos10°

sin50°cos100+cos50°sin10°

2xcosierxcos10°

=2xsin(50°+10°)

=2sin60°=禽.

故答案为：V3

【变式4-5】(2023秋•陕西西安・高一校考期末)(1)化简：铲4；

语Tany

(2)求值：sin50°(1+V3tan10°).

【答案】(l)Jsin2£7;(2)1

【分析】(1)化切为弦，结合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案；

(2)化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解.

COS2£7_

【详解】=；sinO30sz7=：sin2O;

(1)-?~2口.2。二

2SinZ_7

SinyCOSY

(2)sin50°(1+V3tan10°)=sin50°(1+四呼)=sin50°^sin1Q+cos1°

'，\cos10°)cos100

.Lc02sin4002sin50°cos500sin1000sin(10°+90°)cos10°

—»s।n50____—_________-..........------------------------[

cos10°cos100cos100cos100cos10°

题型5凑角求(角)值型

【例题5]（2023秋•吉林辽源•高一校联考期末）若tanD=-1,tan£7=2,则tan（0-/J）=（）

A.-1B.0C.2D.3

【答案】D

【分析】直接利用和差公式计算得到答案.

tan£7-tan£7__1一2

【详解】tan⑷-D）=

1+tanZZAan£71-2

故选：D

【变式5-1]（多选）（2023秋河南郑州•高一统考期末旧知cos（D+。）=，cos2〃=一，，其中

%锐角，则以下命题正确的是（）

A.sin2£7=jB.cos（£7-D）=-^V5

525

C.cos£7cos/7=WD.tanOan/Z7=\

103

【答案】AC

【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.

【详解】因为cos(。+口=一fcos20=Y(a口为锐角)，

故sin2ZZ7=Vl-cos22£7=故A正确；

因为sin(D+O=等，

D

所以cos(ZZ7-D)=cos[2/7-(Z7+D)]

=cos2ZZfcos(ZZ7+LJ)+sin2ZZfein(/Z7+D)

=(-9X(-T)+1XH=1^

故B错误；

由cos(£7-D)=cosUcos/J4-sinZZfeinZZ7=|V5,

cos(£7+D)=cosZZfcosZZZ-sinLfeinZZ7=-y,

故cosDeosD=I[cos(£7+D)+cos(Z7-^01=K-T+V)=

故C正确;

且sin%n〃=；［cos(Z7-D)-cos(£7+；］等一(一到=卷低

所以tanDtanU=3,

故D错误.

故选AC.

【变式5-2］(2023秋•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考期末)已知cos(口+，=*，0+g为第四象

限角.求

(l)sinZ7;

(2)cos(20+".

【答案】Q)m岁

px119-120^

【分析】(1)先算出sin(0+，，然后利用sinZ7=sin(。+胃一?，即可算出本题答案；

(2)先算出cos2(D+》和sin2(O+》，然后利用cos(2〃+》=cos2(。+》-g，即可算出本题答案.

【详解】(1)因为cos缶+?)=生且洋+为第四象限角,

所以sin(D+扪一J—cos?(0+J

=_Ci)2=-3

所以sin£7=sin[(0+g)-g=sin(23n\n/_n\.n

+-COST-cossin-

3J313/3

=_AX1_12XV3=-5712V3

13213226,

(2)由(1)得，cos2(ZZ7+g)=2cos2(o+｝一1=2x(^)2-1=^1,

、

sin2(£7+g)=2sin(ZZ7+g)cos(/Z7+》=二2Cx(/一行5)x存12二一丽120，

所以cos(2Z7+》=cos2(Z7+》-g=cos2(ZZ7+g)cosg+sin2(ZZ7+》sing

__1191f120、x/3_119-120V3

-169*2+(169)*2—3380

【变式5-3](2023秋河北邯郸高一校考期末)已知第三象限角。曲足4sin(2022TT-0)=3cos(2021n

+0,且cos，=1,。为第三象限角，求下列各式的值.

sin(n-£7)+3sin信+£7)

Q)求/、''的值;

4sin(TI+ZZ7)+cos(-