备战2025年中考数学冲刺专项训练（全国）专题09 二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型）（原卷版）

专题09二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型）通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。3.两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。2.韦达定理法:当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。题型01利用二次函数解决单线段的最值问题1．（2024·河南·一模）如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数解析式；(2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值；(3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．2．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？(3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式；(2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值；(3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2024·湖北襄阳·一模）抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当时，求点P的坐标；(3)如图2，点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，过点P作直线轴，交直线BC于点Q．①当时，求线段长度的最大值；②记线段的长度为l，当时，求m的取值范围．5．（2024·山西晋城·二模）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．P是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作轴于点D，交于点E，过点P作直线，交y轴于点F，交于点G，连接，过点C作于点H．(1)求二次函数的表达式，并直接写出直线的函数表达式．(2)求线段的最大值．(3)在点P运动的过程中，是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024·天津南开·一模）抛物线与y轴交于点且过点，其中，连接．(1)当时，求抛物线解析式和其顶点的坐标；(2)当时，若点M为抛物线上位于直线上方的一点，过点M作直线的垂线，垂足为N．求的最大值和此时点M的坐标；(3)已知点，点，若点P在线段上，且，连接，，当的最小值为时，直接写出此时b的值和点P的坐标．7．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024·新疆巴音郭楞·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，并与x轴交于另一点B．(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)求点B坐标；(3)设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M．交直线于点N．①若点P在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；②当点P运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰的面积．9．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024·湖北恩施·一模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接、，判断的形状并说明理由．(3)连接，若点P在第一象限，过点P作于E，求线段长度的最大值；(4)已知，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为D，交直线于点，设点的横坐标为．(1)求该二次函数的表达式；(2)如图2，过点作，垂足为，当为何值时，最大？最大值是多少？(3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．12．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值．13．（2024·天津·一模）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点．(1)若，．①求点和点，的坐标；②当点为直线与抛物线的交点时，求的最小值；(2)若，，且的最小值等于时，求，的值．14．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线的顶点D的坐标为，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标；(2)如图2，连接交y轴于点E，过点E作交x轴于点F，连接交抛物线于点G，试求点G的坐标；(3)如图3，连接，，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作，交于点Q，当的长最大时，求点P的坐标．15．（2024·广东惠州·一模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．(1)求的值及抛物线的解析式．(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．16．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．

(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．17．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．①当取得最大值时，求的值和的最大值；②当是等腰三角形时，求点的坐标．18．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题19．（2024·山东枣庄·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；(3)如图2，动点P在直线下方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．20．（2024·广东广州·一模）如图所示，抛物线与直线交于，两点，点为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点C运动到何处时，线段的长度有最大值；(3)点E为直线上一动点，在（2）的条件下，当有最小值时，点E的坐标为______（直接写出答案）．21．（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，且点在轴上，是轴上一点，连接．(1)求的值；(2)当取得最小值时，求点的坐标；(3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．22．（2024·广东江门·一模）如图，已知抛物线，与轴交于两点，且与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；(3)在以为直径的圆中，直线与相切于点，直线交轴于点，求直线的解析式．23．（2024·重庆·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，，交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点E，过点P作交x轴于点F，求的最大值及此时点P坐标；(3)将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点M，射线交新抛物线于点N，如果请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．24．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．图1

图2

图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标；(2)如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时最小，求出Q点的坐标，并求出此时的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．25．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．26．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线过点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，①当P为抛物线的顶点时，求证：直角三角形；②求出的最大面积及此时点P的坐标；③过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标．27．（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，且，连接，．(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；(3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，的最小值为．28．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．(1)求此抛物线的表达式；(2)连接．①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；②连接，当时，求的最小值．29．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．(1)填空：_________，点的坐标是_________；(2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；(3)在(2)中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2024·天津滨海新·一模）已知抛物线（，为常数，且），与轴交于点，两点，与轴相交于点．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)点为抛物线对称轴上一点，点的纵坐标为，若，求抛物线的解析式：(3)当时，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作直线垂直于轴，垂足为，为直线上一动点，为线段上一动点，当的最小值为时，求的值．31．（2024·山东临沂·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

(1)填空：a＝_____，点B的坐标是______；(2)连接，点M是线段上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；(3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连接，把绕点O顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2024·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为M．(1)直接写出b，c的值；(2)若，求k的值；(3)若D为上的点，F为上的点，，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接，，如图2，当取得最小值时，求点F的坐标．33．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题34．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B．(1)求m的值；(2)求证：；(3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值．35．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时；求点的坐标．(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，求的坐标以及的最大值．题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题36．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2024·天津河北·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，若C点坐标为，对称轴为(1)求抛物线顶点P和点A的坐标；(2)点D为y轴上一点，连接，，若将沿所在直线翻折，点B的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求D点坐标；(3)抛物线上点M在直线上方，过M作的垂线交线段于点N，过N点向y轴作垂线，垂足为Q，求的最小值．38．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C4,−5两点，且与直线(1)求抛物线的解析式：(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题39．（2024·江西·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．(1)在图1中作二次函数图象上的点；(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短．40．（2024·山东济宁·一模）如图，顶点坐标为的抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点是直线上方抛物线上的一个动点，连接交拋物线的对称轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，当的周长最小时，求点的坐标；(3)过点作轴于点，交直线于点，连接．在点运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．41．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．42．（2023·山东济宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于和，与轴交于点，连接，．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求周长的最大值；(3)点为抛物线上的一动点，是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．43．（2024·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值(3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，当m取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．44．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，．(1)求抛物线的解析式．(2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标．(3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．45．（2024·山西晋中·一模）综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点．连接，将沿轴向右平移个单位长度，得到．(1)求抛物线的函数表达式与顶点的坐标．(2)如图，连接，当周长最短时，求的值．(3)如图，设边与边交于点，连接，是否存在，使得与的一边相等?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．46．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过、两点．点为抛物线上一点，且点的横坐标为．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)点为抛物线对称轴上一点，连结，求周长的最小值；(3)已知点，连结，以为对角线作矩形，且矩形各边直于坐标轴．①抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值；②连结，设的中点为，当以为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出的取值范围．47．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出，的值和直线的解析式；(2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．48．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题49．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；(3)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．设点的横坐标为点，请用含的代数式表示矩形的周长，并求矩形周长的最大值．50．（2022·广西柳州·中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．51．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A−1,0，B5,0

(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(4)若点E为抛物线的顶点，点F3,a是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N52．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）二次函数y=ax2+bx+3a≠0的图像与y轴交于点C，与x轴交于点(1)求a、b的值；(2)P是二次函数图像在第一象限部分上一点，且∠PAB=∠OCA，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段EF沿x轴正方向以每秒613个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t53．（2022·安徽六安·校考一模）如图，直线AB∶y=x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线AB交于点N，顶点为C(1)求抛物线的解析式；(2)点M在线段BN上运动，过点M作线段EF平行于y轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作FG⊥CD于点G；①若设E（t，0），试用含t的式子表示DE的长度；②试求四边形EFGD的周长取得最大值．题型07利用二次函数解决线段比最值问题54．（2024·山西太原·三模）综合与探究如图1，经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点．

(1)求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．(2)如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线交直线l于点C，设点M的横坐标为m，求的最大值．(3)如图3，连接，抛物线上是否存在一点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；