四川省雅安市高中2024-2025学年高二数学下学期期中试题文

PAGEPAGE17四川省雅安市中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题文考试时间：120分钟；留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷选择题（每题5分共60分）1．命题“，x2-2x+12≤0”的否定为A．， B．，x2-2x+12>QUOTE>0C．，x2-2x+12≤0 D．，2．已知命题p:若a>|b|，则a2>b2；命题q:∀x∈R，都有x2+x+1>0.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知函数的图象与直线相切于点，则（）A．2 B．1 C．0 D．4．设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(4，＋∞)C．(1,2]D．(0,3]5．已知函数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，6．函数（）的图象大致形态是（）A． B． C． D．7．复数，|z|＝（）A． B．3 C．4 D．58．已知函数，若，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．9．下列说法中不正确的是（）①不等式的解集是②函数的最小值是2③“，恒成立”的充要条件是“”④命题“，”的否定是“，”A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②10．已知函数，若是奇函数，则曲线在点处的切线方程是A． B． C． D．11．直线的参数方程为(为参数)，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．12．已知函数是定义在R上的可导函数，对于随意的实数x，都有，当时，，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分共20分）13．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．14．已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.15．已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是________．16．已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．三、解答题（17题10分其余大题均12分）17．已知命题p：，命题．(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．18．2024年4月22日，一则“清华高校要求从2024级学生起先，游泳达到肯定标准才能毕业”的消息在体育界和教化界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到许多人的宠爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2025届高三学生的性别和宠爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：宠爱游泳不宠爱游泳总计男生10女生20总计已知在这100人中随机抽取1人，抽到宠爱游泳的学生的概率为.（1）请将上述列联表补充完整；（2）推断是否有99.9%的把握认为宠爱游泳与性别有关．附：x2＝α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82819．设复数满意，．（1）求的值；（2）设复数和在复平面上对应的点分别是和，求的取值范围．20．在直角坐标系中，曲线（为参数），其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求的一般方程和的直角坐标方程；（2）若与相交于点两点，点，求.21．已知函数，.若恒成立，求的取值范围；已知，是函数的两个零点，且，求证：.22.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．半期考试答案解析选择题答案1．A因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为，．故选：A．2．A命题：，平方可得，故为真命题；命题：，恒成立，故为真命题.故选:A.【点睛】本题考查复合命题的真假，关键要推断简洁命题的真假，属于基础题.3．B解：由题意，，又，∴．则．故选：B．4．C解析：选C∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx，∴f′(x)＝x－eq\f(9,x)(x＞0)，由x－eq\f(9,x)≤0，得0＜x≤3，∴f(x)在(0,3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，∴a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2.本题考查的是导数的运算，较简洁.5．A【分析】f（x）＝kx可变形为k，关于x的方程f（x）＝kx的实数根问题转化为直线y＝k与函数g（x）g（x）的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，又x→0+时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0+，g（e），画草图即可得解．【详解】设g（x），又g′（x），当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，又x→0+时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0+，g（e），即直线y＝k与函数g（x）的图象有两个交点时k的取值范围为（0，），故选A．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.6．C【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，解除B、D；x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，解除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．7．D【分析】依据复数的除法运算先把化成的形式，再依据公式求模.【详解】，.故选：.【点睛】8．A【分析】利用导数得出的单调性，利用对数函数和指数函数的性质得出，结合单调性，即可得出的大小关系.【详解】由得，函数在上单调递减，，，且即故选A【点睛】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于中等题.9．D【分析】解不等式可推断①；构造函数并利用单调性求最值可推断②；依据恒成立取出的范围可推断③；依据全称命题的否定是特称命题可推断④.【详解】①由得，解得，所以①错误；②令，则，，设，所以，因为，，所以，，所以在上是单调递增函数，所以，的最小值不是2，所以②错误；③，恒成立，则当时，恒成立；当时，，解得；当时不成立，综上，恒成立的充要条件是“”，所以③正确；④依据全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定是“，”，所以④正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的推断，对于利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简洁发生错误的地方.10．C【详解】试题分析：依据函数是奇函数，所以的图像的对称中心是，故有，所以，即，所以有，，故所求的切线为过点且斜率是的直线，所以方程为，故选C.考点：导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，函数的性质的应用.11．C【分析】由直线的参数方程，消去参数t得直角坐标方程，然后利用斜率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解.【详解】因为直线的参数方程为(为参数)，消去参数t得直角坐标方程为：设直线的倾斜角为，则，因为直线的倾斜角范围是，所以.故选：C【点睛】本题主要考查直线参数方程与直角坐标方程的互化，直线倾斜角的求法以及诱导公式的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.12．B【分析】构造函数，依据题意，可得函数的奇偶性，依据时，对函数求导，可得函数的单调性，将，左右同乘，可得，即，利用的性质，即可求得答案.【详解】∵，∴，令，则，即为偶函数，当时，∴，即函数在上单调递增.依据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，∵，∴，∴，即，解得，，故选：B.【点睛】解题的关键是将题干条件转化为，依据左右相同的形式，构造函数，再依据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于，不符合函数的形式，需左右同乘，方可利用函数的性质求解，属中档题.二、填空题答案13．【分析】由题，“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，可得答案.【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，故答案为.【点睛】14．答案：eq\f(1,4)解析：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)15答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)解析：对f(x)求导可得f′(x)＝2x－5＋eq\f(2,x)＝eq\f(2x2－5x＋2,x)(x>0)．令f′(x)＝eq\f(2x2－5x＋2,x)＝eq\f((2x－1)(x－2),x)>0(x>0)，解得x>2或0<x<eq\f(1,2).综上所述，函数f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)16．【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，导数S′（a）•，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得微小值，且为最小值e．故答案为e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，留意运用直线方程和构造函数法，考查运算实力，属于中档题．解答题答案17．(1)(2)【分析】（1）依据命题为真命题，分类探讨a是否为0；再依据开口及判别式即可求得a的取值范围．（2）依据复合命题的真假关系，得出p,q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解可得范围.【详解】依据复合命题真假，探讨p真q假，p假q真两种状况下a的取值范围．（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，∴①当时，有恒成立；②当时，有，解得：；∴的取值范围为：.（2）∵是真命题，是假命题，∴，中一个为真命题，一个为假命题，由为真时得由，解得，故有：①真假时，有或，解得：；②假真时，有或，解得：；∴的取值范围为：.【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简洁应用，求参数的取值范围，属于基础题．18．（1）表格见解析；（2）有.【分析】（1）依据概率补全列联表即可；（2）计算，再进行推断即可.【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到宠爱游泳的学生的概率为所以宠爱游泳的学生人数为.其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：宠爱游泳不宠爱游泳合计男生401050女生203050合计6040100（2）因为所以有99.9%的把握认为宠爱游泳与性别有关．19．（1）；（2）【分析】(1)设,则,代入题中关系式利用复数相等即可求出进而求出复数;(2)利用(1)的结果,为点()和()之间的距离,利用两点之间距离公式列出等式然后再结合三角函数的学问进行求解范围.【详解】(1)设,则,代入化简得∴由复数相等可得解得∴;(2)由和在复平面内对应的点为Z()和W(),∴=+5=-4+5∵,∴-4+5∴.【点睛】本题考查了复数代数形式的运算法则,共轭复数,相等复数,考查了复数的几何意义,同时还考查了学生的运算实力,是高考中的常考题型.20（1），或；﹒（2）6【分析】（1）由曲线（为参数），消去参数，即可求得曲线一般方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将曲线代入，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线（为参数），可得（为参数）两式相除，可得，整理得曲线的一般方程或；由曲线，两边同乘，可得，又因为，代入可得，即，所以曲线的直角坐标方程为﹒（2）将曲线代入，得，整理得﹐设两点对应的参数为，，则，.【点睛】本题主要考查了参数方程与一般方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的综合应用，着重考察了推理与运算实力.21．（1）（2）见解析【解析】试题分析：构造，求导，算单调性，取最值状况法一：联立方程组求解转化为证明，设，求导证明结论；法二：要证，只需证，由单调性只需证，令证明结论解析：令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则即.方法一：，，，即，欲证：，只需证明，只需证明，只需证明.设，则只需证明，即证：.设，，在单调递减，，，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函数有两个零点，有，则，且，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，只需证，又，即证即证，.令，，有在上单调递