2024-2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数单元测试卷一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第四章对数运算与对数函数第四章单元测试卷第Ⅰ部分选择题(共40分)一、选择题(5分×8=40分)1.☉%@0￥8￥34#%☉(2024·广州二中高一期中)下列函数中,既是奇函数,又在定义域上是增函数的是()。A.y=exB.y=lnxC.y=ex-1exD.y=ex答案：C解析：y=ex,y=lnx,y=ex+1ex不是定义域上的奇函数,而y=ex-1ex是定义域上的奇函数,且在(-∞,+∞)上,y1=ex,y2=-1ex是增函数,所以y=ex-1ex是2.☉%5@5@@2@3%☉(2024·北京检测)假如log12x<log12y<0,那么A.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x答案：D解析：对数函数y=log12x在(0,+∞)上单调递减,则由log12x<log12y<0=log121,3.☉%￥*#8046#%☉(2024·南充一中高一月考)已知函数f(x)=2log12x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是(A.22,C.12,2D.-∞,2答案：A解析：由已知得-12≤log12x≤12,1212≤x≤12-14.☉%@*574#@6%☉(2024·黄冈中学月考)已知函数f(x)=12x,则函数f(x+1)的反函数的图像可能是(图4-8答案：D解析：函数f(x)=12x的图像恒过点(0,1),则函数f(x+1)的图像恒过点(-1,1),则其反函数的图像恒过点(1,-1)。而选项A,B,C中的图像明显不过点(1,-1),故解除。所以正确选项为D。故选5.☉%3￥￥*8#31%☉(2024·合肥一中月考)已知f(x)=(a-2)x,x≥2,1A.(-∞,2)B.-C.(0,2)D.13答案：B解析：由题意得,函数f(x)=(a-2)x,x≥2,12x-6.☉%055#1#*@%☉(2024·九江一中月考)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数。记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()。A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a答案：B解析：由f(x)=2|x-m|-1是偶函数,得m=0,则f(x)=2|x|-1。当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-1单调递增,又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),c=f(0),且0<log23<log25,则f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b。故选B。7.☉%07@@63￥@%☉(2024·黄石二中月考)当0<x≤12时,4x<logax,则a的取值范围是()A.0,22C.(1,2)D.(2,2)答案：B解析：当0<x≤12时,1<4x≤2。要使4x<logax,则由对数函数的性质可得0<a<1。数形结合可知只需2<logax,所以0<a<1,logaa2<logax,即0<a<8.☉%#6￥￥239@%☉(2024·芜湖中学检测)已知函数f(x)=|lgx|。若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是()。A.(22,+∞)B.[22,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案：C解析：因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|。又b>a>0,则lga<0,即a<1,lgb>0,即b>1,所以0<a<1<b,|lga|=-lga,|lgb|=lgb,即lga+lgb=lg(ab)=0,所以b=1a,则a+2b=a+2a。令g(x)=x+2x,由对勾函数的性质知函数g(x)在(0,1)上为减函数,所以g(a)>g(1)=1+21=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞第Ⅱ部分非选择题(共60分)二、填空题(5分×3=15分)9.☉%￥@69#3#0%☉(2024·乐山一中检测)已知125x=12.5y=1000,则y-xxy=答案：13解析：因为125x=12.5y=1000,所以x=log1251000,y=log12.51000,y-xxy=1x-1y=log1000125-log100012.5=log100012510.☉%@￥4￥*038%☉(2024·衡水中学高一月考)已知奇函数y=f(x)(x∈R且x≠0),当x>0时,f(x)=-x2+2x+2,则f(x)的单调增区间为。

答案：[-1,0),(0,1]解析：若x<0,则-x>0,当x>0时,f(x)=-x2+2x+2,所以当-x>0时,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+2=-x2-2x+2。因为函数f(x)是定义域上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x+2,所以f(x)=x2+2x-2,x<0。当x>0时,f(x)=-x2+2x+2,此时函数的递增区间为(0,1],当x<0时,f(x)=x2+2x-2,此时函数的递增区间为[-1,0),综上,函数的递增区间为[-1,0),(0,1]。11.☉%*@￥307*1%☉(2024·石嘴山第三中学高一上期末)给出下列四个结论:①函数y=12-x②已知函数y=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数,则a的取值范围是(1,2];③在同一坐标系中,函数y=log2x与y=log12x的图像关于y④在同一坐标系中,函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称。其中正确结论的序号是。答案：②④解析：①应是最小值为12,③应关于x三、解答题(共45分)12.(10分)☉%7###￥532%☉(2024·黄石二中月考)计算:(1)12-1-350答案：解:原式=2+1-1+23+e-2=23(2)lg500+lg85-12lg64+50×(lg2+lg5)答案：原式=lg5+lg102+lg23-lg5-12lg26+50×(lg10)2=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+50=5213.(10分)☉%2@12#4@*%☉(2024·大冶一中检测)已知函数f(x)=log12(x2-2ax(1)若函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;答案：解:由题意,知x2-2ax+3>0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞),故a=2。(2)若函数的值域为(-∞,-1],求实数a的值。答案：若函数的值域为(-∞,-1],即f(x)=log12(x2-2ax+3)≤-1,且-1能取到,故x2-2ax+3≥故a2-1=0,即a=1或a=-1。14.(12分)☉%4327￥*@￥%☉(2024·启东高级中学月考)已知定义域为R的函数f(x)=b-(1)求a,b的值;答案：解:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,b=1。又f(-1)=-f(1),得a=1。经检验a=1,b=1符合题意。(2)证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;答案：证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1-2x12x1因为x1<x2,所以2x2-2又(2x1+1)(2x2+1)>0,所以f(x1)>f(所以f(x)为R上的减函数。(3)若对于随意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围。答案：解:因为t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,所以f(t2-2t)<-f(2t2-k)。因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2)。因为f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立。而3t2-2t=3t-132-13≥-13故k的取值范围为-∞15.(13分)☉%1@8#1￥3*%☉(2024·山西高校附属中学高一下学期2月模块诊断)已知函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的图像过点P(0,1)。(1)求k的值并求函数f(x)的值域;答案：解:因为函数f(x)的图像过点P(0,1),所以log2(20+k)=1,解得k=1。则f(x)=log2(2x+1),因为2x+1>1,所以f(x)=log2(2x+1)>0,所以函数f(x)的值域为(0,+∞)。(2)若关于x的方程f(x)=x+m,x∈[0,1]有实根,求实数m的取值范围。答案：方程有实根,即m=f(x)-x有实根,构造函数h(x)=f(x)-x=log2(2x+1)-x,则h(x)=log2(2x+1)-log22x=log22x+12x