2017届高考数学第一轮考点复习题组训练8

备战2017高考十年高考文数分项版（天津版）第九章圆锥曲线一．基础题组1.【2005天津，文6】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）（A）2（B）（C）（D）【答案】C2.【2006天津，文8】椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是() （A）（B） （C）（D）【答案】D【解析】椭圆的中心为点它的一个焦点为∴半焦距，相应于焦点F的准线方程为∴，，则这个椭圆的方程是，选D.3.【2007天津，文7】设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】D 4.【2008天津，文7】设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．5.【2009天津，文4】设双曲线(a＞0,b＞0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为()A.B.y＝±2xC.D.【答案】C【解析】由题意知:2b＝2,,则可求得,则双曲线方程为:,故其渐近线方程为.6.【2010天津，文13】已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】解析：由条件知双曲线的焦点为(±4,0)，所以解得a＝2，b＝2，故双曲线方程为7.【2011天津，文6】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A.B.C.D.【答案】B8.【2012天津，文11】已知双曲线C1：(a＞0，b＞0)与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝__________，b＝__________．【答案】12【解析】∵C1与C2的渐近线相同，∴．又C1的右焦点为F(，0)，∴，即a2＋b2＝5．∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b＝2．9.【2013天津，文11】已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．答案【解析】抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为.10.【2014天津，文6】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）B.C.D.【答案】A考点：双曲线的渐近线11.【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.12.【2016高考天津文数】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A.【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：(1)确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．二．能力题组1.【2011天津，文18】18.（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.（Ⅰ）求椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.【答案】(1)(2)12.【2012天津，文19】已知椭圆a＞b＞0)，点P(，)在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】解：(1)因为点P(，)在椭圆上，故，可得．于是，所以椭圆的离心率．由(1)知，故(1＋k2)2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．所以直线OQ的斜率．3.【2013天津，文18】设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】解：(1)设F(－c,0)，由，知.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，于是，解得b＝，又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为.因为A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝.由已知得＝8，解得k＝.4.【2014天津，文18】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)求椭圆离心率，就是列出关于a,b,c的一个等量关系.由，可得，又，则所以椭圆离心率为(2)由(1)知所以求椭圆方程只需再确定一个独立条件即可.由切线长=可列出所需的等量关系.先确定圆心：设，由，有由已知，有即，故有，因为点P在椭圆上，故，消可得，而点P不是椭圆的顶点，故，即点P的坐标为设圆的圆心为，则再由得，即所以所求椭圆的方程为考点：椭圆离心率，椭圆方程三．拔高题组1.【2005天津，文22】抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点（三点互不相同），且满足．（=1\*ROMANI）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（=2\*ROMANII）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；（=3\*ROMANIII）当时，若点的坐标为（1，－1），求为钝角时点的纵坐标的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.【解析】证明：（I）由于函数定义，对任意整数，有（II）证明：由函数的图象和函数的图象知，对于任意整数，在开区间（，）内方程只有一个根，当时，，当时，而在区间（，）内，要么恒正，要么恒负因此时的符号与时的符号相反综合以上，得：的每一个根都是的极值点③由得，当时，，即对于时，④综合③、④：对于任意，由：和，得：⑤又：，但时，⑥综合⑤、⑥得：2.【2006天津，文22】如图，双曲线的离心率为、分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 （I）求双曲线的方程； （II）设和是轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于轴。【答案】（I）（II）详见解析【解析】（I）解：根据题设条件， 设点则、满足 因解得，故 利用得于是因此，所求双曲线方程为 （II）解：设点则直线的方程为 于是、两点坐标满足 将①代入②得 由已知，显然于是因为得 同理，、两点坐标满足 可解得 所以，故直线DE垂直于轴3.【2007天津，文22】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即．（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解．当时，由①式得代入②式，得，即，于是，．若，则．所以，．由，得．在区间内此方程的解为．当时，必有，同理求得在区间内的解为．另一方面，当时，可推出，从而．综上所述，使得所述命题成立．4.【2008天津，文22】已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．【答案】（I），（II）．【解析】（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得解得所以双曲线的方程为．（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得．此方程有两个不等实根，于是，且．整理得．③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，．从而线段的垂直平分线的方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．将上式代入③式得，整理得，．解得或．所以的取值范围是．5.【2009天津，文22】已知椭圆(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)(c＞0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|＝2|F2B|.(1)求椭圆的离心率;(2)求直线AB的斜率;(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求的值.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.满分14分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】(1)解:由F1A∥F2B且|F1A|＝2|F2B|,得,从而.整理,得a2＝3c2.故离心率.(2)解:由(1),得b2＝a2－c2＝2c2.所以椭圆的方程可写为2x2+3y2＝6c2.设直线AB的方程为,即y＝k(x－3c).由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),则它们的坐标满足方程组消去y并整理,得(2+3k2)x2－18k2cx+27k2c2－6c2依题意,Δ＝48c2(1－3k2)＞0,得.而①.②由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c＝2x2.③联立①③解得,.将x1,x2代入②中,解得.由m≠0,解得.故.当时,同理可得.解法二:由(2)可知x1＝0,.当时,得A(0,),由已知得C(0,).由椭圆的对称性知B,F2,C三点共线.因为点H(m,n)在△AF1C的外接圆上,且F1A∥F2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形由直线F2B的方程为,知点H的坐标为(m,).因为|AH|＝|CF1|,所以,解得m＝c(舍),或.则.所以.当时,同理可得.6.【2010天津，文21】已知椭圆(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)文设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a,0)．①若|AB|＝，求直线l的倾斜角；②若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4.求y0的值．【答案】(1)＋y2＝1.(2)①或.②y0＝±2或y0＝±.【解析】解：(1)由e＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(文)①由(1)可知点A的坐标是(－2,0)．设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由－2x1＝，得x1＝.从而y1＝.所以|AB|＝.由|AB|＝，得＝.整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0.解得c＝±1.所以直线l的倾斜角为或.②设线段AB的中点为M，由①得M的坐标为(－)．以下分两种情况：(ⅰ)当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.(ⅱ)当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－．令x＝0，解得y0＝－.由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，·＝－2x1－y0(y1－y0)＝＝＝4，整理得7k2＝2.故k＝±，所以y0＝±.综上，y0＝±2或y0＝±.7.【2015高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为,（=1\*ROMANI）求直线BF的斜率;（=2\*ROMANII）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M,.（=1\*romani）求的值;（=2\*romanii）若,求椭圆的方程.【答案】（=1\*ROMANI）2;（=2\*ROMANII）（=1\*romani）;（=2\*romanii）【解析】（=1\*ROMANI）先由及得,直线BF的斜率;（=2\*ROMANII）先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得（=2\*romanii）先由得=,由此求出c=1,故椭圆方程为试题解析:（=1\*ROMANI）设,由已知及可得,又因为,,故直线BF的斜率.（=2\*romanii）由（=1\*romani）得,所以,即,又因为,所以=.又因为,所以,因此所以椭圆方程为【考点定位】本题主要考查直线与椭圆等基础知识.考查运算求解能力及用方程思想和化归思想解决问题的能力.8.【2016高考天