2018届高考数学知识点复习训练题2

题组层级快练(四十九)1．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为()A．x2＋y2－2x－1＝0 B．x2＋y2－2x－3＝0C．x2＋y2＋2x－1＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0答案B解析∵抛物线y2＝4x的焦点是(1，0)，∴圆的标准方程是(x－1)2＋y2＝4，展开得x2＋y2－2x－3＝0.2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案A解析设该直径的两个端点分别为P(a，0)，Q(0，b)，则A(2，－3)是线段PQ的中点，所以P(4，0)，Q(0，－6)，圆的半径r＝|PA|＝eq\r(（4－2）2＋32)＝eq\r(13).故圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.3．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案C解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.∴a＝1，b＝1.∴r＝2.∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.4．(2016·四川成都外国语学校)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1答案B解析C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1，1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.5．过点P(0，1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是()A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0答案C解析依题意得所求直线是经过点P(0，1)及圆心(1，0)的直线，因此所求直线方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，选C.6．(2016·山东青岛一模)若过点P(1，eq\r(3))作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(2) D．4答案A解析如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，∴OA⊥AP.∵P(1，eq\r(3))，O(0，0)，∴|OP|＝eq\r(1＋3)＝2.又∵|OA|＝1，∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝eq\f(1,2).∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝eq\r(3).7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5eq\r(2) B．10eq\r(2)C．15eq\r(2) D．20eq\r(2)答案B解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝eq\r(10)，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2eq\r(10)，|BD|＝2eq\r(10－5)＝2eq\r(5)，所以四边形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).8．已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是()A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0答案B解析设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简，得x2＋y2＋y－1＝0.9．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为()A．6 B.eq\f(11,2)C．8 D.eq\f(21,2)答案B解析如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝eq\f(|3×0－4×1－12|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(16,5)，∴△ABP的面积的最小值为eq\f(1,2)×5×(eq\f(16,5)－1)＝eq\f(11,2).10．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圆，则m的取值范围是________；当半径最大时，答案2<m<4(x－1)2＋(y＋3)2＝1解析∵原方程可化为(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，∴2<m<4.当m＝3时，r最大为1，圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1.11．(2016·吉林长春一调)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值为________．答案4解析圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心坐标为C(－1，2)代入直线2ax＋by＋6＝0，得－2a＋2b＋6＝0即点(a，b)在直线x－y－3＝0上．过C(－1，2)作l的垂线，垂足设为D，过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长|DE|最短，于是有|CE|＝eq\r(2)，|CD|＝eq\f(|6|,\r(2))＝3eq\r(2)，∴切线长|DE|＝eq\r(|CD|2－r2)＝4.12．从原点O向圆C：x2＋y2－6x＋eq\f(27,4)＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为________．答案π解析如图，圆C：(x－3)2＋y2＝eq\f(9,4)，所以圆心C(3，0)，半径r＝eq\f(3,2).在Rt△POC中，∠POC＝eq\f(π,6).则劣弧PQ所对圆心角为eq\f(2π,3).弧长为eq\f(2,3)π×eq\f(3,2)＝π.13．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________．答案(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8解析由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.14．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，求此圆的方程．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋12)).∴有d2＋(eq\r(7))2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为eq\f(|a－b|,\r(2)).∴r2＝(eq\f(|a－b|,\r(2)))2＋(eq\r(7))2.即2r2＝(a－b)2＋14. ①由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2. ②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0. ③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F. ④又圆心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))到直线x－y＝0的距离为eq\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2))，由已知，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ⑤又圆心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0. ⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3).(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．答案(1)y2－x2＝1(2)x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3解析(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)．由已知得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,y02－x02＝1.))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,y02－x02＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,y02－x02＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1.))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.16．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0.(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．答案(1)1－eq\r(5)≤2x＋y≤1＋eq\r(5)(2)c≥eq\r(2)－1解析(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ，))∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1.∵－eq\r(5)≤2cosθ＋sinθ≤eq\r(5)，∴1－eq\r(5)≤2x＋y≤eq\r(5)＋1.方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时eq\f(|2×0＋1－b|,\r(5))＝1.∴b＝1±eq\r(5)，∴1－eq\r(5)≤2x＋y≤1＋eq\r(5).(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))＋1，∴x＋y＋c的最小值为1－eq\r(2)＋c.∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－eq\r(2)＋c≥0.∴c的取值范围为c≥eq\r(2)－1.1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案C解析因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2．设A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是()A．(－8，6) B．(8，－6)C．(4，－6) D．(4，－3)答案B解析线段AB的垂直平分线x＋y－1＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D的坐标为(8，－6)．3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－eq\f(7,3))2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－eq\f(3,2))2＋(y－1)2＝1答案B解析设圆心为(a，1)，由已知得d＝eq\f(|4a－3|,5)＝1，∴a＝2(舍－eq\f(1,2))．4．圆心在抛物线x2＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是()A．x2＋y2－x－2y－eq\f(1,4)＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－2x－y＋eq\f(1,4)＝0答案D解析∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a，eq\f(a2,2))．∴圆的方程为(x－a)2＋(y－eq\f(a2,2))2＝r2.∴x2＋y2－2ax－a2y＋a2＋eq\f(a4,4)－r2＝0.对比A，B，C，D项，仅D项x，y前系数符合条件．5．若圆C的半径为1，点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，则圆C的标准方程为()A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案A解析因为点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，故由中点坐标公式可得C(0，0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.6．若直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.∴△AOB的内切圆半径r＝eq\f(3＋4－5,2)＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.7．已知圆C的方程为x2＋y2－mx－2my＝0(m≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C必定经过坐标原点；②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限；③y轴被圆C所截得的弦长为2m；④直线y＝x与y轴的夹角的平分线必过圆心．答案①②8．(2016·西安五校联考)若过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的切线，切点为A，B，则△APB的外接圆方程为________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析连接OA，OB，由平面几何知识可知O，A，P，B四点共圆，故△APB的外接圆即为以OP为直径的圆，即圆心为C(2，1)，半径r＝eq\f(1,2)|OP|＝|OC|＝eq\r(5)，故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.9．在直角坐标系xOy中，以M(－1，0)为圆心的圆与直线x－eq\r(3)y－3＝0相切．(