2021年中考数学考点06圆压轴题（解析版）

考点06圆压轴题汇总

一、单选题（共14小题）

1.（2021•槐荫区一模）如图，。。的半径是5,点A是圆周上必然点，点2在。。上运动，且N

ABM=30°,ACIBM,垂足为点C,毗邻OC,则OC的最小值是（）

B・亨D・岑H

【解答】解：如图,设8M交。。于T,毗邻。T,OA,过点。作于，，毗邻C”.

•・・/8=30°,

：.ZTOA=60°,

,:OT=OA,

•••△O7M是等边三角形，

:.OT=OA=AT=5,

VOHIAT,

•••岭喈。"而/=巧亭=半,

VAC1BM,

ZACT=90°,

•・•加参

•：OC》OH-CW=-^Z1-2

22

.♦.OC的最小值为=刍返-掾.

22

故选:D.

【常识点】圆周角定理

2.（2021•江北区模拟）如图，RtZiACB中，ZC=90°,AC=6,BC=8,半径为1的。。与AC,BC

相切，当。。沿边CB平移至与AB相切时，则。0平移的间隔为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：•..RtZsACB中，/C=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=10,

设。。与AC相切于D,与BC相切于“，平移后的。0'与A8相切于F,与8c相切于E,

毗邻O”，O'D,则点。在。'£＞上，毗邻。’F,E。’并耽误交48于G,

二四边形CDO”是正方形，四边形OHEO'是矩形，

：.OD=OH=O'E=O'F=CD=CH=\,00'=HE,

:.EGIBC,

VZC=90°,

J.EG//AC,

：.ZFGE=NA,

,：ZGFO'=NC=90°,

.♦.△O'FGsMBCA,

.O7F_QZG

BC=AB'

.1_QZG

-"io-'

：.O'G=—,

•:GE"AC,

，丛BGEs丛BAC,

.BE=EG

"BC-AC'

9_

.BE=7

,,T-T

：.BE=3,

：.OO'=HE=BC-CH-BE=8-1-3=4,

•••OO平移的间隔为4,

故选:B.

G

D

【常识点】切线的性质、平移的性质

3.（2021•武汉模拟）在中内接四边形A5CQ,其中A,。为定点，AC=8,3在。。上运动，BD

1AC,过。作的垂线，若。。的直径为10,则OE的最大值接近于（）

【解答】解：如图，当点B与A重合时，毗邻CD.

VBD±AC,

・・・NDAC=90°,

・・・CD是直径，

*：OELADy

；・AE=ED,

♦：OC=OD、

：.OE=^AC=4,

此时OE的值最大，最大值为4

：.OE的最大值为4,

故选:C.

【常识点】三角形中位线定理、垂径定理、圆周角定理

4.（2021•浙江自主招生）如图，已知。0的半径为10,A、8是。。上的两点，乙4OB=90°,C

是射线。B上一个动点，连结AC并耽误交。。于点。，过点。作。交。8的耽误线于点E.当

)

.100K50打兀兀l

A.-^—257r3B.—c-6^4--1673lD.-5^0--2573

Oo

S小80=120以;102-lx1OX5«=^TT-2573,

obU2o

当N4=60。时，

过点。作D'FlOA于F,毗邻OZA

ZD'OF=60°,。尸=5依，

S皿M>'=60.鼠I。2,li0X5V3=-yn-25a.

x

.•.5=^^-25晶-（当r-25遥）=当口

oOO

故选：B.

【常识点】圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理

5.（2021•岳麓区校级模拟）如图，AABC是等腰直角三角形，AC=BC=2,以斜边A8上的点。为圆

心的圆分别与AC、BC相切于点E、F,与AB分别订交于点G、H,且E"的耽误线与CB的耽

误线交于点D,则C。的长为（）

A.2V2-1B.2V2C.V2+1D.2&弓

【解答】解：如右图所示，毗邻OE、OF,

；0O与AC、BC切于点E、F,

：.ZOEC=ZOFC=90°,OE=OF,

又•••△A8c是等腰直角三角形，

，NC=90°,

四边形CEO尸是正方形，

J.OE//BC,

又；以斜边48上的点。为圆心的圆分别与AC、8c相切于点E、F,OE=OF,

在/ACB的角平分线上，

'：AC=BC,

是48中点，

：.AE^CE,

又；AC=2,

：.AE=CE=\,

：.OE=OF=CE=\,

：.OH=1,

\'OE//CD,

:AOEHsABDH,

.0EDB

**0H=BH'

又；3〃C2+BC2=2M，

：.OB=y/2,

._1=DB

丁衣五，

:.BD=42-1,_

:.CD=2+BD=®+\,

故选:c.

【常识点】等腰直角三角形、切线的性质

6.（2021•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点。顺时针旋转i个

45°,得到正六边形O45G。闵，则正六边形OA而GO£（i=2021）的极点G的坐标是（）

A.（1,-V3）B.（1,V3）c.（1,-2）D.（2,1）

【解答】解：由题意旋转8次应该循环，

：2021+8=252…4,

，Ci的坐标与C4的坐标一样，

VC（-1,V3）,点C1与C4关于原点对称，

（1,-V3）,

；・极点G的坐标是（1■V3）.

故选:A.

【常识点】坐标与图形转变-旋转、正多边形和圆

7.（2021秋•北暗区校级月考）如图AB是。。的直径，CD为。。的弦，且C£>_LAB于点E,点F

为圆上一点，若AE=BF,ATl=CF,OE=l,则BC的长为（）

A.276B.3A/2C.4D.5

【解答】解：岳如图，毗邻OC交AF于J,设BC交AF于7,过点7作7HLAB于从

VAB±CD,

•*-AD=AC,

vAD=S,

・•・AC=CF,

：.OC±AF,

：.ZAJO=ZCEO=90°,

■:ZAOJ=/COE,OA=OC,

：./XAJO^/\CEO(AAS),

:・OJ=OE,

:・AE=CJ,

丁AB是直径，

：.ZF=ZCJT=90°,

■:AE=BF,

：.BF=CJ,

♦：NCTJ=NBTF,

：・4CTJ出丛BTFCAAS),

:.CT=BT、

■:THLAB,CD±AB,

：.TH//CE,

:・EH=BH,

・・・CF=AC,

:・NTBF=NTBH,

•：/F=/THB=90；BT=BT,

：.4BTFm/XBTH(AAS),

：.BF=BH,

•:AE=BF，

；・AE=BH,

•：OA=OB、

：.OE=OH=1,

:・EH=BH=2,

；・AE=BH=2,

：.AB=69OC=OB=3,

£C=22

VOC-OE=62_]2=2&,

=22

BCVEC+BE=V(2V2)2+42=2^

故选:A.

【常识点】圆心角、弧、弦的关系、勾股定理、垂径定理

8.（2021秋•无锡期中）如图，A8为半圆O的直径，M,C是半圆上的三等分点，A8=8,BD与

半圆。相切于点8.点尸为AM上一动点（不与点A,M重合），直线PC交8。于点O,BELOC

于点E,耽误BE交PC于点F,则下列结论对的是：①PB=PD；②标的长为氏；③4DBE=45°；

④当P为菽中点时，EC=EF；⑤其中对的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解:①毗邻AC,并耽误AC,与8Z)的耽误线交于点H,如图，

•.•何，C是半圆上的三等分点，

；.NBAH=30°,

与半圆。相切于点8.

：.ZABD^90°,

.*.Z/7=60°,

N4CP=NABP,/ACP=ZDCH,

：.NPDB=ZH+ZDCH=NA8P+60°,

•/NPBD=90°-NABP,

若NPDB=NPBD,贝lJ/A8P+60°=90°-AABP,

：.ZABP=15°,

点为赢的中点，这与P为篇I：的一动点不完全吻合,

二ZPDB不必然等于NA8D

:.PB不必然等于PD,

故①错误；

②C是半圆上的三等分点，

AZBOC=-X180°=60°,

3

•.•直径AB=8,

：.OB^OC=4,

.•.合BC的",长以•度曲=一』6°”打-,4=子4

故②正确；

(3)VZBOC=60°,OB=OC,

：.ZABC=60°,OB=OC=BC,

VBE±OC,

；・NOBE=NCBE=30°,

VZABD=90°,

AZDBE=60°,

故③错误；

@VAP=PM.

ZABP=\5°,

VZABD=90°,ZDBE=60°,

；.NPBF=15：

VZBPC=30°,

NCFE=NFPb+NFBP=45；

•.,/FEC=90°,

：.ZEFC=ZECF=45°,

：.EC=EF,故④正确，

⑤•：NCBF=NCPB=30。,NDFB=NFBP+NBPF,ZCBP=ZFBP+ZCBF,

NDFB=NCBP,故⑤正确，

故选:C.

【常识点】垂径定理、勾股定理、弧长的计算、圆周角定理、切线的性质

9.（2021秋•交城县期中）如图，48是。。的直径，AB=AC且/BAC=45°,交BC于点。，交

AC于点E,。尸与。。相切，OD与BE订交于点、H.下列结论错误的是（）

A.BD=CDB.四边形为矩形

C.AE=2DED.BC=2CE

【解答】解：如图，毗邻AD

•：AB是。。的直径,

：.AD±BC,

'：AB=AC,

：.BD=CD,

故A正确；

,:DF与。。相切,

二OD1DF,

〈AB是。0的直径，

Z.ZAEB=90°,

'：AO=BO,BD=CD、

：.OD//AC.

；.NEHD=90；

・••四边形。HE/为矩形,

故3正确；

YA8是。。的直径，

：.ZAEB=90°,

VZBAC=45°,

.\ZABE=45°,

；・AE=BE,

•:NBAD=/CAD,

AE=BE.

VBD=DE.

••AE=2DE.

故C正确；

；/84C=45°,AB^AC,

：.ZABC=ZACB=67.5°,

即NBCE=67.5°,

/.ZfBC=22.5°,

EC1

；.sin/E8C=sin22.5°.

BC2

:.BC/2CE,

故D错误.

故选:D.

【常识点】垂径定理、圆周角定理、矩形的判断、切线的性质

10.（2021•武昌区模拟）如图，8c是。。的直径，48切。0于点B,AB=BC=8,点。在。。上，

£>EJ_A。交BC于E,BE=3CE,则4。的长是（）

DC

AD

AB

A•誓B.誓C.汨

D.3^/10

与O。相切于点3,

：.ZABC=90°,

；2C=8,BE=3CE,

：.CE=2,BE=6,

：AB=8,

；•由勾股定理得：45=后定=10,

。是直径，

；.NBDC=90°,

VZADE=90°,

，NABD=NCDE,

'：ZABD+ZDBC^90Q,NDCE+/DBC=9Q：

：.NABD=NDCE,

:.△DCEs^DAB,

.理=%=2=1

**ADAB8"W，

：.AD^4DE,

在RT/^ADE4',AE1=AD2+DE2,

.•.102=(4。乃2+DE2,

：.DE=—.^..

17

.AD=40V17

17

故选:A.

【常识点】切线的性质

11.（2021秋•泗阳县期末）如图，在AABC中，NABC=90°,AB=8,点尸是AB边上的一个动点,

以BP为直径的圆交CP于点Q,若线段AQ长度的最小值是4,则4ABC的面积为（）

【解答】解：如图，取8C的中点丁，毗邻A7；QT.

,:PB是。。的直径，

.../尸。8=/（?。8=90°,

.•.QT=*8C=定值，A7是定值，

\'AQ^AT-TQ,

.•.当A,Q,T共线时，AQ的值最小，设87=7Q=x,

在RlZXABT中，则有（4+x）2=?+82,

解得x=6,

.,.8C=2x=12,

♦•♦SAABC=A.AB.8C=*X8X12=48,

故选:D.

【常识点】圆周角定理、勾股定理

12.（2021秋•萧山区期末）如图，在。。中，直径C。垂直弦AB于点E,且OE=£>E.点P为标上一

点（点P不与点&C重合），连结AP,BP,CP,AC,3c.过点C作CF,8P于点F.给出下列

结论:①AABC是等边三角形；②在点P从B-C的运动过程中，渭后的值始终等于亨•则下

列说法对的是（）

A.①，②都对B.①对，②错C.①错，②对D.①，②者B错

【解答】解：如图，作CM_LA尸于M,Mt令BAD.

VAE1OD,OE=DE,

：.AO=AD,

•：OA=OD,

：.AO=AD=ODy

•••△4OQ是等边三角形，

/.ZD=ZABC=60°,

9：CDLAB.

:.AE=EB,

:・CA=CB,

•••△ABC是等边三角形，故①正确，

VZCB4=ZABC=60°,NAP3=NAC5=60°,

AZCPF=180°-60°-60°=60°,

VZCPM=ZCPF=60°,CFtPF,CMLPA,

・・・CF=CM,

■:PC=PC,ZCFP=ZCMP,

：.RtACPF^RtACPM(HL),

:,PF=PM,

•：AC=BC,CM=CF,ZAMC=ZCFB=90°,

ARtAAA/C^RtABFC(HL),

；.AM=BF,

：.AP-PB=PM+AM-{BF-PF)=2PM=2PF,

.PF_1

••PA-PB_2，

在RtZ\CPF中，；NCPF=60°,/CFP=90°,

/.CF=PF*tan60°

CF_V3

故②正确,

PA-PB2

故选:A.

【常识点】垂径定理、等边三角形的判断与性质

13.（2021•温州模拟）如图，△ABC,4c=3,8c=4如，NAC8=60°,过点A作BC的平行线/,P

为直线/上一动点，。。为△APC的外接圆，直线BP交。。于E点，则AE的最小值为（）

A.VS-1B.7-473C.V3D.1

【解答】解：如图，毗邻CE.

'：AP//BC,

：.ZPAC=ZACB=60°,

.../CEP=/CA尸=60°,

.'.ZBEC=120°,

.•.点E在以O为圆心，OB为半径的BC±运动，

毗邻O'A交前于E',此时AE'的值最小.此时与。0'交点为E.

•.,/BEC=120°

...前所对圆周角为60°,

，NBOC=2X60°=120°,

•..△BO'C是等腰三角形，BC=4A/3,

：.O'B=O'C=4,

VZACB=60°,NBCO'=30°,

-。,=90°

•<-0，A=VozC2+AC2=A/42+32=5,

：.AE'^O'A-O'E'=5-4=1.

故选：D.

【常识点】勾股定理、三角形的外接圆与外心

14.（2021•吴兴区校级一模）如图，△ABC内切圆是00,折叠矩形ABCD,使点。、O重合，FG是折

痕，点尸在上，G在A8C上，连结OG,DG,若OG垂直OG,且。。的半径为1,则下

列结论不成立的是（）

A.CD+DF=4B.CD-DF=2M-3c.BC+AB=2y[3+4D.BC-AB=2

【解答】解：如图，

设。。与8c的切点为M,毗邻MO并耽误MO交AD于点N,

•••将矩形A8CD按如图所示的方式折叠，使点。与点O重合，折痕为尸G,

：.OG=DG,

'：OG1DG,

：.ZMGO+ZDGC=90a,

；/MOG+/MGO=90",

NMOG=ZDGa

，ZOMG=ZDCG=90°

在△OMG和△GCD中，＜NMOG=/DGC,

OG=DG

.•.△OMGdGC。，

：.OM=GC=\,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

,:AB=CD,

：.BC-AB=2.

设AB=a,BC=b,AC=c,。0的半径为r,

。。是RtzMBC的内切圆可得r=*（a+b-c）,

**.c=a+b-2.

在RlZXABC中，由勾股定理可得/+〃=（a+h-2）2,

整理得2ab-4a-4—

又：8C-A8=2即b=2+a,代入可得2"（2+a）-4〃-4（2+a）+4=0,

解得。=1+遂或。=1-、后（不合题意舍去），

：.BC+AB=2y[3+4.

再设DF=x,在卬△ONF中，FN=3+炳,OF=x,ON=\+M，

由勾股定理可得（2+F-x）2+（V3）2=/,

解得x-4-V3,

二CD-DF=®CD+DF=y/3-

综上只有选项A错误，

故选:A.

【常识点】圆周角定理、三角形的内切圆与内心、翻折变换（折叠问题）、矩形的性质

二、填空题（共10小题）

15.（2021秋•宝应县期中）如图，直线/与。0相切于点。，点P是。O上的一个动点，设PQ=x,点

P到直线/的间隔为y.若。。的半径为2,设S=x-y,则S的最大值是—.

【解答】解：如图，作直径QC,毗邻CP,

BO

•.NCPQ=90",

是切线，

,.CQ上QB,

JPBLI,

'.QC//PB,

\NCQP=/QPB,

,.XQPCsXPBQ、

•QP=PB

,QLPQ.

:PQ=x,PH=y,0Q=2,

\QC=4,

•三=工

4x

.*.x-y=x--x2=--xi+x=-—(x-2)2+l,

444

当x=2时，x-y有最大值是1,

故答案为：1.

【常识点】切线的性质

16.(2021秋•高新区期中)如图，在平面直角坐标系中，已知C(6,8),以点C为圆心的圆与y

轴相切.点A、B在无轴上，且04=08.点P为(DC上的动点，ZAPB=9Q°,则AB长度的最

大值为—.

【解答】解：毗邻OC并耽误，交0C上一点尸，以。为圆心，以OP为半径作O。，交x轴于A、B,

此时A8的长度最大，

VC(6,8),

AOC=V6W=,0'

:以点C为圆心的圆与y轴相切.

.••0C的半径为6,

.•.OP=OA=O8=16,

「AB是直径，

/.ZAPB=90°,

长度的最大值为32,

故答案为32.

【常识点】切线的性质、圆周角定理、坐标与图形性质

17.（2021秋•东海县期中）如图，在RtZiABC中，NACB=90°,AC=8,点力在8c上，且CD=

2,点尸是线段4c上一个动点，以PD为直径作。0,点Q为直径P。上方半圆的中点，毗邻

AQ,则AQ的最小值为

【解答】解：如图，毗邻O。，CQ,过点A作ATLC。交C。的耽误线于T.

：.OQLPD,

.../QOO=90°,

AZQCD=^ZQOD^45°,

"：ZACB=90°,

.•./ACT=45°,

".'ATLCT,

.••ZA7'C=90°,

：AC=8,

；.4T=AC・sin45°=4®

"."AQ^AT,

.•.4Q24&,_

：.AQ的最小值为4加，

故答案为4圾.

【常识点】圆周角定理、三角形中位线定理、垂线段最短

18.（2021秋•北培区校级月考）如图，扇形AOB的圆心角是90°,半径为4cm,分别以。4OB为直

径画圆，则图中阴影部分的面积为

【解答】解：如图，毗邻AB,0C,过点C作CEYOA,

VOB=OA,ZAOB=90°,

.♦.△408是等腰直角三角形，

•；0A是直径，

-0=90°,

...△A0C是等腰直角三角形，

,JCEV0A,

：.OE=AE,0C=AC,

：.RtAOCE^RtA/lCE(HL),

"•"SlUiOEC=SHiifiAEC,

...羽与弦OC围成的弓形的面积等于血与弦AC所围成的弓形面积,

同理可得，0C与弦。C围成的弓形的面积等于BC与弦BC所围成的弓形面积,

阴影4X4=8(cm2).

故答案为8cm2.

【常识点】扇形面积的计算

19.(2021•陕西模拟)在等边三角形A8C中，D,E分别为AC,8c上的点，AE与8。订交于点尸.若

△BC。的面积是1273,BE=6,/APB=120°,则4AB尸的外接圆的半径长为.

D

【解答】解：如图以A8为边向外作等边三角形A8K,作△48K的外接圆。。毗邻OA,0B,过点。

作OJ1AB于J,过点B作BHLAC于H.

是等边三角形，

・・・NK=60°,

VZAPB=120°,

・・・NK+N4PB=18()Q,

・・・A,K,B,尸四点共圆，

:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZBAC=ZC=60°,

VZAPB=120",

：.ZPAB+ZABP=ZPAB+ZCAE=60Q,

AZCAE=NABD,

：./\BAD^/\ACE(ASA),

:・AD=EC,

•；AC=BC,

；・BE=CD=6,

•：SMCD=^.CD。BH=12册,

:.BH=AM，

BH

：.AB=.O=8,

sin60

・：OA=OB、0J1.AB,

.♦.AJ=JB=4,

VZOAB=30°,

OA=-4L__=sVs,

cos303

...△4PB的外接圆的半径为返.

3

故答案为名反.

3

【常识点】全等三角形的判断与性质、等边三角形的性质、三角形的外接圆与外心

20.（2021•鄂州）如图，半径为2c〃z的。0与边长为2。"的正方形ABCD的边AB相切于E,点F为

正方形的中间，直线OE过尸点.当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2-73）cm的速度向左运动

秒时，。。与正方形重叠部分的面积为cm2.

【解答】解：如图I中，当点48落在。0上时，由题意，△AOB是等边三角形，。。与正方形重

叠部分的面积为（胃口-V3）cm-

此时，运动时间片（2-V3）+（2-遍）=1（秒）

如图2中，当点C,。落在。0上时，由题意，△OCZ）是等边三角形，OO与正方形重

叠部分的面积为（争-f）cm2

0

图2

此时，运动时间r=[4+2-（2-V3）产（2-V3）=（H+6V3）（秒），

综上所述，满足前提的f的值为1秒或（11+6力）秒.

故答案为1或（11+6遥）.

【常识点】正方形的性质、扇形面积的计算、切线的性质

21.（2021•宁波模拟）如图，正五边形ABCQE内接于半径为4的圆O,作。FLBC交。。于点F,连

结FA,FB,则FA-FB的值为

D

【解答】解：毗邻OA,0B,08交4尸于J.

，BF=CF,

•.,五边形48CDE是正五边形，

...NAOB=72°,ZB0F=36°,

；./4。尸=108°,

"：OA=OF,

：.ZOAF=ZOFA=ZFOJ=36°,

：.0J=JF,

'：A0=AJ,OB=OF,N0AJ=NF0B,

：./\AOJ^/\OFB(SAS),

：.0J=BF,

,/ZOFJ=ZAFO,ZFOJ=ZOAF,

.•.△ra/s△90,

•FO=IJ

“FAOF'

:.OF2=FJ-FA,

"：FJ=OJ=FB,

...欣•FB=O产=16.

故答案为16.

【常识点】垂径定理、勾股定理、正多边形和圆、圆周角定理

22.(2021•涪城区模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴相切的0M与x轴交于A、8两点，AC

为0M直径，AC=10,AB=6,连结BC,点P为劣弧标上点，点。为线段4B上点，且

LMQ,MP与BC交于点N.则当NQ平分NMNB时，点P坐标是.

【解答】解：设OM与y轴相切于E,

毗邻EM并耽误交BC于H,过户作PFLx轴于F,耽误FP交EH于D,

为。例直径，

.'.BCLAB,

；4C=10,48=6,

，8C=8,

•••OM与)，轴相切，

：.EM±y^,

...四边形。ED尸是矩形，

：.OE=BH=DF,ED=OF,ED//OF,

'：AM=CM,

：.MH=^AB^3,BH=DF=4,

'：MP±MQ,NQ平分/MNB,

：.MN=BN,

设MN=BN=x,

:.NH=4-x,

,：MH2+HN2=MN2,

/.^=32+(4-x)2,

解得：x=孕，

o

:.MN=BN=冬,

8

7

...HN=京，

'CHN//PD,

：.△MHNS△MDP,

.MH_HN_Mhf

*'MD=PD"MP'

7_25_

・3—百

,•MDPD"5~'

247

：.MD=—,PD=—,

55

4913

:・DE=EM+MD=4,PF=DF-尸。=丹

一5’一5

•••点P坐标是（弓.-y）

坐标与图形性质、垂径定理

23.（2021•浙江自主招生）如图所示，RtZ\A8C两直角边的边长为AC=1,BC=2.P是这个RtZ\A8C

上和其内部的动点,以点P为圆心的OP与RtZXABC的两条边相切.则（DP的面积S的最大值

为

【解答】解:①当OP与Rt^ABC的边AB和8c相切时，由角平分线的性质可知，动点P是NABC的

平分线BM上的点，

在N4BC的平分线上随意率性确定点Pi（不为/48C的极点）

'：OX=BOsinZABM.P\Z=BPstnZABM,当BP\>BO时，P\Z>OX即P与8的间隔越大,

BP长度最大的点；

"：ZBPA>90°,过点P作PE_LAB,垂足为E,则E在边48匕，

二以P为圆心、PC为半径作圆，则OP与CB相切于C,与边48相切于E,即这时OP

是吻合题意的圆，这时。尸的面积就是S的最大值，

'：AC=\,BC=2,：.AB=45,

设PC=x,则PA=AC-PC=1-x,

在RtAsAPE中，PA2=PE2+AE1,

（1-x）2=f+（V5-2）2,

：.x=2娓-生

同理可得：当OP与RtZUSC的边A8和AC相切时，设PC=y,则（2-y）2=内（泥-

I）2,

.•.），=代T，

2

同理可得，当OP与RtZUBC的边8C和4c相切时，设尸尸=z,

,/△APFsMBE,：.PF:BE=AF:PE,

・z—l~z

2-zz

.2

由①、②、③可知,■!>近二>2在-4,

S2

.*.z>y>x,

・・・OP的面积S的最大值为职

故答案为：

y

【常识点】切线的性质

24.（2021•铁东区一模）如图，必、PB切。0于A、B两点，毗邻OP交AB于点C,交弧AB于点Q,Z

APB=7。：点。为优弧A,他上一点，OQ〃PB,则NOQA的大小为.

【解答】解：如图，毗邻04

ZOPB=ZOPA=-^ZAPB=35°,PALOA,

：.ZOAP=90°,

：.ZPOA=90°-35°=55°,

'.'0Q//PB,

...NPOQ=180°-N0PB=145°,

."00=360°-145°-55°=160°,

'：OQ=OA,

：.ZOQA=ZOAQ=^(180°-ZAOQ)=10°,

故答案为10°.

【常识点】切线的性质、圆周角定理

三、解答题(共6小题)

25.(2021秋•鼓楼区校级期中)如图，/XABC内接于。0,AB是00的直径，AC=6,C8=8,

CE平分N4C8交。。于E,交AB于点。，过点E作MN〃AB分别交CA、CB耽误线于MN.

(1)补全图形，并证明MN是。。的切线.

(2)分别求MN、C£＞的长.

c

【解答】证明：(I)补全图形如图所示，毗邻0E,

是OO的直径，

：.ZACB=90°,

乂平分/4CB,

：.ZACE=ZBCE=-^ZACB=45°,

：.ZAOE=2ZACE=90°,

J.OELAB,

又,：MN〃AB,

：.OE±MN,

...A/N是OO的切线；

(2)过点C作CQ_LMN,垂足为。，交AB于点P,则CQL4B,

在RtZ\A8C中，

"：AC=6,8c=8,

•'MB=VAC2+BC2=V62+82=1°

:.OE=PQ=OA=OB=5,

由三角形的面积公式得，

.•.6X8=10CP,

CP=4.8,

，CQ=4.8+5=9.8,

'：AB//MN,

：./\CABs/\CMN,

.AB_CPo10_4.8

..----=----,即n----=------.

MNCQMN9.8

12

毗邻BE,贝ijBE=AE,在RtZXABE中,

AE=BE=显义AB=5近,

2

；EN是OO的切线，

NBEN=NBCE=NACE,

,：ACBE^O。的内接四边形,

ZEBN=ZCAB,

△AECS/XBNE,

•AC=AE

,,BE-BN

6=诉

即

572BN

BN送

'：NACE=ZECN,ZCAE=ZCEN,

:ACAESACEN,

.CA=CEHn_6__CE

"CE-CN，,25'