中考数学真题分项汇编（四川专用）专题13 解直角三角形（解析版）

专题13解直角三角形一、选择题1．（2023·四川乐山·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得，则，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函数的定义计算求解即可．【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，∴大正方形的边长，小正方形的边长，

∵，∴，在中，，∴，解得（负值舍去）∴．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理、弦图及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键．2.（2023·四川南充·统考中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，，米.，米.故选：B.【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解．【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，则的横坐标为，纵坐标为，∴，取点，则是的中位线，∴，∵，∴点在半径为的上运动，∵是的中位线，∴，∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，在中，，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则∵与相切，∴，∴，∴，∴，∴设，,则∴∴∴解得：∴∴的最大值为，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键．4．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（

）

A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．【详解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,过点D作于点E，如图，

∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．5．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有，，，∴，∴是直角三角形，且，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．6．（2021·四川巴中·统考中考真题）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（）A．sinBB．sinCC．tanBD．sin2B+sin2C＝1【答案】A【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．【详解】解：由勾股定理得：,∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴，，，，只有A错误．故选择：A．【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．7．（2021·四川巴中·统考中考真题）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：，∴，设，则在直角三角形ADE中：，∴，解得，∴，∵∠DEB=90°，∴，故选D.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.二、填空题8．（2023·四川·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为_____．

【答案】【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．【详解】解：∵点，点，∴，，∵，∴，过点作于点，

∵，是的角平分线，∴∵∴设，则，∴解得：或（舍去）∴故答案为：．【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．9．（2022·四川巴中·统考中考真题）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）【答案】50【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，∴，∴BP=，故答案为：50．【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．10．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_________海里（计算结果不取近似值）．【答案】/【分析】过点D作DE上AB，垂足为E，根据题意求得，进而求得90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC=52海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】如图：过点D作DE上AB，垂足为E，依题意得，，，=90°，在中，，设海里，在中，海里，，，在中，海里，海里，海里，海里，海里，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．【答案】【分析】取AB中点D，由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂径定理得OD⊥AB，则OB=，cos∠DOB=，再证∠ACB=∠DOB，即可解．【详解】解：取AB中点D，如图，由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴OB=，cos∠DOB=，∵OA=OB，∴∠BOD=∠AOB，∵∠ACB=∠AOB，∴∠ACB=∠DOB，∴cos∠ACB=cos∠DOB=，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB中点D，得Rt△ODB是解题的关键．12．（2021·四川绵阳·统考中考真题）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．【答案】【分析】CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出，再根据锐角三角函数和勾股定理得到，求出的值即可．【详解】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∴DE＝DF，，又，∴四边形CEDF为正方形，，，在中，，∵，，，，，，即，又，，∵在中，，∴，∵在中，，∴，，，，即（舍负），故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．13．（2021·四川乐山·统考中考真题）在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________．【答案】或或2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．【详解】解：情形1：，则，，∵，∴，∴是等边三角形，∴；情形2：，则，，，∵，∴，∴，解得；情形3：，则，，，∵，∴；故答案为：或或2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．14．（2023·四川眉山·统考中考真题）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是____________海里．

【答案】/【分析】过点作交于点，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答．【详解】解：如图，过点作交于点，

由题意可知,，设为x，，，根据，可得方程，解得，渔船与灯塔C的最短距离是海里，故答案为：．【点睛】本题考查解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键．三、解答题15．（2023·四川达州·统考中考真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度为．【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，∴，，∵秋千链子的长度为，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∴座板距地面的最大高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．16．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【答案】古树的高度为【分析】延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可．【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：

则，∵斜面的坡度为，∴设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，负值舍去，即，∵为水平方向，为竖直方向，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，∵，∴在中，，∵，∴在中，，∴．答：古树的高度为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义．17．（2023·四川广安·统考中考真题）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．

(1)求步道的长度．(2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：）【答案】(1)200米(2)这条路较近，理由见解析【分析】（1）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案．（2）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出和的长度，比较和即可求出答案．【详解】（1）解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示，

点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，，，，，为矩形..米，米.在中，米.故答案为：200米.（2）解：这条路较近，理由如下：，，.米，，在中，米.米.为矩形，米，米.在中，米.米.结果精确到个位，米.米..从这条路较近.故答案为：这条路较近.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容

测量湖边A、B两处的距离成员

组长：×××

组员：××××××××××××测量工具

测角仪，皮尺等测量示意图

说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．测量数据角的度数边的长度米米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）【答案】米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米【分析】填入数据米．作于点D，在和中，解直角三角形即可求解．【详解】（1）当填入米时：已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．解：作于点D，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴(米)，答：线段的约长为77米．（2）当填入米时：已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．解：作于点D，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴(米)，答：线段的约长为77米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-其他问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19．（2023·四川自贡·统考中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）【答案】(1)；(2)山高为69米；(3)山高的高为米．．【分析】（1）利用互余的性质即可求解；（2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解．【详解】（1）解：由题意得，

∴；（2）解：在中，．

∴，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，∴山高(米)，答：山高为69米；（3）解：如图，由题意得，，

设山高，则，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，即，解得，山高答：山高的高为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．20．（2023·四川凉山·统考中考真题）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．

(1)求两点之间的距离（结果精确到）；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：）【答案】(1)(2)小型汽车从点行驶到点没有超速．【分析】（1）证明四边形为矩形，可得，结合，，，可得，，再利用线段的和差关系可得答案；（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可．【详解】（1）解：∵点、点到的距离分别为，∴，，而，∴，∴四边形为矩形，∴，由题意可得：，，，∴，，∴（2）∵小型汽车从点行驶到点所用时间为．∴汽车速度为，∵该隧道限速80千米/小时，∴，∵，∴小型汽车从点行驶到点没有超速．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键．21．（2023·四川成都·统考中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

【答案】米【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意，，（米）在中，（米），（米），则（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．（2023·四川内江·统考中考真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．

【答案】的长为米【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论．【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，

∵在中，，，，∴，∵四边形为矩形，∴，由题意，，，，，∴为等腰直角三角形，，设，则，在中，，∴，即：，解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意，∴，∴，∴的长为米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．23．（2023·四川·统考中考真题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．

(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；(2)求风叶的长度．【答案】(1)(2)风叶的长度为米【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．【详解】（1）解：由题意可得：，∴；（2）解：过点A作，连接，，如图所示，

由题意得：米，，∴米，，∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴，又∵，∴，∴，∴米，∵，，∴，由（1）得：，∴米，∴米，∵，，，∴四边形是矩形，∴米，∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴，∴米，∴风叶的长度为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．24．（2023·四川宜宾·统考中考真题）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求的长度．（结果精确到米．参考数据：，）

【答案】的长度米【分析】上截取，使得，设，在中，，，则，进而即可求解．【详解】解：如图所示，上截取，使得，

∴，∵∴，设，在中，，∴又∴∴即米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．25．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道的长度．（结果保留根号）【答案】(1)点D与点A的距离为300米(2)隧道的长为米【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解；（2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长【详解】（1）由题意可知：，在中，∴（米）答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作于点E．∵是东西走向∴在中，∴在中，∴∴（米）答：隧道的长为米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．26．（2022·四川广安·统考中考真题）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】菜园与果园之间的距离为630米【分析】过点作，交于点，则，四边形是矩形，在中，求得，CF=240，进而求得AE=210，在中，利用正切进行求解即可．【详解】解：如图，过点作，交于点，则，∵∠B=90°，四边形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=AB-BE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜园与果园之间的距离630米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．27．（2022·四川内江·统考中考真题）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．(1)求河的宽度；(2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【答案】(1)（30+30）米；(2)20米．【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB．【详解】（1）解：过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题．28．（2022·四川宜宾·统考中考真题）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）【答案】米【分析】根据，米，设，则，根据勾股定理求得，又设米，则米，米，求出DE，根据列出方程，解方程进而根据即可求解．【详解】解：在中，，米，设，则，由，得，解得：，∴米，米又设米，则米，米在中，，则，∴（米），在中，，则，∴，∴，解得：，∴（米）．∴东楼的高度约为40米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．29．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．【答案】隧道EF的长度米．【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有，最后问题可求解．【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示：由题意得：，∴△EAD是等腰直角三角形，∴AG=EG=DG，设AG=EG=DG=x，∴，∴，解得：，∴，∴；答：隧道EF的长度米．【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．30．（2022·四川眉山·中考真题）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）【答案】82米【分析】设的长为，可以得出BD的长也为，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【详解】解：设为，∵，∠CDB=90°，∴，∴，在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，即，∴∴．答：此建筑物的高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确的找准每一个直角三角形中边的关系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解题的关键．31．（2022·四川达州·统考中考真题）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，）【答案】遮阳篷的长度约为3.4米【分析】过点作于点，则四边形是矩形，则，设，则，，解直角三角形求得，进而求得，解，求得，进而求得的长，根据即可求解．【详解】如图，过点作于点，则四边形是矩形，设，则，，在中，，，在中，，，解得：，经检验，x是方程的解，且符合题意，，，．答：遮阳篷的长度约为3.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键．32．（2022·四川凉山·统考中考真题）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．【答案】米【分析】过点作于点，在和中，分别解直角三角形求出的长，由此即可得．【详解】解：如图，过点作于点，由题意得：米，，，，在中，米，米，在中，米，米，则（米），答：压折前该输电铁塔的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．33．（2022·四川成都·统考中考真题）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）【答案】约为【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△中，根据正弦函数求得的值．【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=，在Rt△中，，cm，∴cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．34．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【答案】B，D间的距离为14nmile．【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．再根据锐角三角函数即可求出B，D间的距离．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．在Rt△ABC中，AC=BC=8，∴AB=BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10nmile，∠EAD=60°，∴DE=AD•sin60°=10×=(nmile)，AE=AD=5(nmile)，∴BE=AB-AE=11(nmile)，∴BD=14(nmile)，答：B，D间的距离为14nmile．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．35．（2022·四川遂宁·统考中考真题）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：，，，）【答案】塔顶到地面的高度EF约为47米【分析】延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，设，则，根据解直角三角形建立方程求解即可．【详解】如图，延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，∴，．由，可设，则，由可得，解得或（舍去），∴，，设米，米，在中，即，则①在中，，即②由①②得，．答：塔顶到地面的高度EF约为47米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．36．（2022·四川自贡·统考中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点（在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点到地面的距离均为1.5米；求（用表示）．【答案】(1)证明见解析(2)10.2米(3)米【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、m的式子表示出PH．【详解】（1）证明：∵∴∴（2）由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，在Rt△POQ中tan∠POQ=∴∴（米）故答案为：10.2米．（3）由题意得：，由图得：，∴∴∴∴米故答案为：米【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．37．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）【答案】该岛礁的高AB为300米．【分析】根据斜坡AC的坡度i＝，可设AB＝5x米，BC＝6x米，继而表示出BD的长度，再由tan30.96°≈0.60，可得关于x的方程，解出即可得出答案．【详解】解：∵斜坡AC的坡度i＝，∴AB：BC＝5：6，故可设AB＝5x米，BC＝6x米，在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，∴tan30.96°＝＝0.60，解得：x＝60（米），经检验，x＝60是方程的解，∴5x＝300（米），答：该岛礁的高AB为300米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构建直角三角形是解题的关键．38．（2021·四川内江·统考中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】解：作于点，设米，在中，，则（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，则米．答：的高度是米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．39．（2021·四川巴中·统考中考真题）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．【答案】（1）12m；（2）25.6m【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．【详解】解：（1）延长BA交CG于点E，则BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC•cosα=12×=（m），在Rt△BCE中，∠BCE=60°，∴BE=CE•tan∠BCE==18（m），∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°，∴DE=≈36（m），∴CD=DE-CE=≈25.6（m）．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．40．（2021·四川宜宾·统考中考真题）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）【答案】35【分析】设塔高AB=x米，利用仰角定义得到∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，先利用∠C＝45°得到BC＝BA＝x米，再利用正切定义得到BD＝，所以＋15＝x，然后解方程即可．【详解】解：设塔高AB＝x米，根据题意得∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，CD＝15米，∵在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴BC＝BA＝x米，∵在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴BD==，∵BD＋CD＝BC，∴＋15＝x，解得x=（米）．答：白塔的高度AB为35米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．41．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）【答案】（1）米；（2）秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，接着求出∠GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可．【详解】解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，可知四边形EHBC为矩形，∴EH=CB，CE=HB，∵无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DM∥AB，∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，∴∠CDE=∠ECD=45°，∴CE=DE，设CE=DE=HB=x，∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+，在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=，即，解得：x=30，∴DH=∴此时无人机的高度为米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米），∴；∵，∴∵DF∥AB，∴∠DFA=∠CAB=30°，∴,∴,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为（秒）；所以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．42．（2021·四川达州·统考中考真题）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，）【答案】桥墩AB的高约为72.4米．【分析】延长DC交AB于点E，利用直角三角形BCE计算出BE，利用直角三角形ADE计算出AE，从而AB可求．【详解】解：如图所示，延长DC交AB于点E，则ED∥BM．∴∠AED=∠ABM=90°，∠ECB=∠CBM=30°．在中，∵∠ECB=30°，BC=48米，∴（米）．（米）．∴（米）．在中，∵，∴（米）．∴（米）．答：桥墩AB的高约为72.4米．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键．43．（2021·四川广安·统考中考真题）如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，踏板长为，与地面的夹角，支架长为，，求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离．（结果精确到.参考数据：，，，）【答案】1.3m【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．【详解】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，∴∠CAF=60°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF=m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE=1.5·sin15°，∴FG=FC+CG=+1.5·sin15°≈1.3m．故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．44．（2021·四川眉山·统考中考真题）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从处测得该建筑物顶端的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达处，测得顶端的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：，，）【答案】【分析】和中有公共直角边CE，根据等腰直角三角形以及锐角三角函数的边角关系解出CE的长度，再用无人机的飞行高度减去CE即可．【详解】解：过点C作交AB的延长线于点C，作于点F，如图所示：在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴【点睛】本题主要考查锐角三角函数解直角三角形，熟练应用锐角三角函数中边与角的关系列出比例是解决本题的关键45．（2021·四川成都·统考中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）【答案】8米【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB=x+3.5，由tan∠MBF=，解得米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．【详解】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，∴MF=EF=x,∴FB=FE+EB=x+3.5，∴tan∠MBF=，∴解得米，