《矿物加工数学模型》拟合模型课件

第3章拟合模型第3章

拟合模型3.1原始数据准备 3.2模型形式的确定 3.3用回归分析作模型参数估计3.4用迭代法作模型参数估计3.5正交回归建模 3.1原始数据准备原始数据在建立经验模型中的作用建模初期：为模型形式提示参数估计：计算模型参数的已知数据。模型建立后检验模型效果时：比照和筛选模型的依据3.1原始数据准备原始数据的两种来源生产实际观测或测量数据：数据真实但不一定完全满足建模需要。通过主动实验得到的数据：数据可用性强，其特点是能够通过设计以少量实验获取足够数据，并能简化建模过程，但所建模型不一定能完全适应实际生产的需要。模型建立后检验模型效果时：比照和筛选模型的依据3.1原始数据准备原始数据整理：对收集来的数据进行检查和判别，或舍弃、或修正补偿、或保留，最大限度保证数据的真实性和精密度、正确度、准确度。数据集：原始数据的全体。

一般按自变量的升序进行罗列。3.2模型形式的确定3.2.1确定模型形式的方法 3.2.2常用的一元初等函数模型 3.2.3一元多项式模型次数的确定 3.2.4多元模型的确定3.2模型形式的确定3.2.1确定模型形式的方法 大原则：由简到繁。一元线性

可转化为线性关系的一元非线性函数

一元多项式函数

多元线性函数

多元非线性函数（二次或三次）两变量间的函数关系，可以：1)描散点图。据变化趋势，选择一定形式的拟合模型。2)如非线性明显，则对比常用的一元初等函数，选用某种“可转化为线性关系”的一元非线性函数作为拟合模型。3)如找不到合适的一元初等函数，可以选用一元多项式函数形式的模型。4)对于一组数据集，可分别建立多种模型，再比较筛选。3.2模型形式的确定3.2.2常用的一元初等函数模型列举几种常用的一元初等函数，给出其图形及线性化转换公式。这些非线性初等函数经过简单坐标变换后，能转换为线性函数。之后就能借助线性形式间接计算模型参数，简化建模过程。1)指数函数；

2)幂函数；

3)半对数函数；

4)S型函数；3.2模型形式的确定3.2.3一元多项式模型次数的确定

判别原则：当n阶差分为常数、n+1阶差分为零时，可以确定多项式的次数为n。3.2模型形式的确定3.2.4多元模型的确定优先选择多元线性模型形式。多元非线性模型形式：转化为多元线性模型（逐项变量代换）形式3.2.5矿物加工中常用曲线的拟合模型1)粒度特性曲线和可选性曲线幂函数或指数函数等形式；2)分配曲线选用S型函数；3)速率方程指数函数或对数函数；4)效率曲线选配二次抛物线函数。3.3用回归分析作模型参数估计3.3.1一元线性回归模型1）回归系数的确定直接按（最小二乘法推导出的）公式计算。2）线性假设的显著性检验由相关系数（或F检验）判定自变量x对因变量y是否有影响、并且呈线性。3）回归模型的精度由剩余标准差估计回归方程的预测精度。3.3用回归分析作模型参数估计3.3.2可线性化的一元非线性模型的参数估计1)根据所选模型函数，进行变量的坐标变换，将非线性方程转换成线性方程；2)用线性回归分析方法计算转换后的线性回归方程的回归系数；3)进行反变换，将线性回归方程的回归系数转换成非线性方程的回归系数；4)计算相关系数（或F）、剩余平方和及剩余标准差，评价相关程度和预报精度。注意计算相关系数（或F值）时，要用变换后的实验数据。而计算剩余标准差时，应该用原非线性模型的实验数据得到的回归方程，对原始数据集，不能称为“最优拟合”。最好选配多个类型的模型并确定参数，然后从中选优。3.3用回归分析作模型参数估计3.3.3一元多项式回归模型注：可采用计算机搜索法确定多项式回归模型的。判断多项式阶的次数按最小二乘法构造关于模型参数的方程组用求解线性方程组的数值方法(如,直接法或迭代法)求出模型参数3.3用回归分析作模型参数估计3.3.4多元回归模型3.3.4.1二元线性回归模型

容易推得参数的计算公式。3.3.4.2多元线性回归模型

随模型自变量增多，模型参数的求解方程组变得负责，不妨直接用数值方法求解。

还介绍了：复相关系数法、偏回归平方和、多元模型的回归系数显著性检验。

3.3用回归分析作模型参数估计3.3.4.3逐步回归分析逐步回归分析：据原始数据建立多元“最优”回归方程的一种方法，即经过多次回归计算，最终选定只包含那些“一定显著性水平下影响显著的”重要因素的自变量的回归方程。其主要计算包括求解方程组、对每个过渡回归方程用偏回归平方和进行方差分析和显著性检验。逐步降元回归分析的基本思想：首先建立一个包含全部影响因素的回归方程，对其中每个自变量进行显著性检验，剔除其中最不显著的自变量。然后重新建立余下因素的回归方程，对其中的各个自变量进行显著性检验，直到所有自变量都显著为止。矿物加工过程中，所研究模型的自变量数目一般不会太多，适宜采用逐步降元回归分析。3.3用回归分析作模型参数估计3.3.4.4多元非线性回归分析建模思路：

将多元的非线性多项式回归问题转化为多元线性回归问题，用多元线性回归模型的建模方法计算代换后方程的回归系数，然后再反代换回去，即得原始非线性回归方程的回归系数。3.4用迭代法作模型参数估计引入1：当矿物加工数学模型的形式确定后，将原始模型按最小二乘法转化为“实验值与模型计算值之间的偏差的平方和最小”的问题，也就是一个极小值问题。这时，自然可以采用运筹学和/或数值计算中的最优化技术进行处理。引入2：矿物加工拟合模型中，将建模问题转化为最小值问题后，对非线性单参数模型，可选用一维搜索方法（如，黄金分割法，牛顿法，等）；对非线性多参数模型，可选用无约束多变量寻优方法（如牛顿法等）。3.4用迭代法作模型参数估计3.4.1黄金分割法用于模型参数估计黄金分割法：又称0.618法，是运筹学‘单变量函数寻优’问题的一种迭代解法。即，对于一定范围内只有一个极值的单变量函数，通过迭代寻找极值点。举例：分批浮选速率公式（模型）参数的求取。模型：

转化为以下函数的极小值问题：

再编程求解。3.4用迭代法作模型参数估计3.4.2阻尼最小二乘法1）高斯-牛顿法把非线性模型函数在某初始猜测解内进行泰勒级数展开，作为原函数的线性近似，然后将这个线性近似式代入总偏差平方和函数的表达式中，将对模型参数的非线性最小二乘转换为对模型参数的线性最小二乘，求解后得到猜测值与真实解的差距△，△与初始猜测解相加作为下一次线性近似的出发点（即新的猜测解），继续迭代（逐次逼近）直到△足够小为止。2）阻尼最小二乘法在上述“△与猜测解相加作为下一次线性近似的新的猜测解”中，为△乘以一个阻尼因子（一维搜索得到的最优步长）。从而使在“不好”的初值下也能收敛。是一种改进的高斯-牛顿法。3.5正交回归建模引入：借由“正交”的数据集或“正交多项式替代”

，使的求解模型参数的正规方程组的系数矩阵变为对角矩阵，从而，很大程度上简化计算并消去回归系数的相关性。3.5正交回归建模3.5.1一次正交实验回归建模一次正交实验回归建模的计算过程：(1)确定因子的变化范围(2)对各因子的水平进行编码(3)选择适当的正交表，安排实验并获取实验数据(4)回归系数的计算与