《高等数学》第10章矩阵及其应用教学课件

第10章矩阵及其应用一、矩阵的概念机动目录上页下页返回结束10-1矩阵的概念

矩阵是数（或函数）的矩形阵表.在给出矩阵定义之前，我们结合日常生活和工作中的各种现象，先来看几个例子.

例1某文具车间有三个班组，每天生产铅笔、港币的数量（单位：支）如表10-1-1所示.机动目录上页下页返回结束

如果把表中的数据取出且不改变数据的相关位置，那么就得到一个简明的3行2列矩形阵表：例2在物资调运中，经常需要确定各产地的产品如何供应销地使调运物资的总运费最节省，某调运方案如表10-1-2所示.机动目录上页下页返回结束如果我们用一个三行四列的数表表示该调运方案，可以简记作其中每一行表示产地调往四个销地的调运量，每一列表示三个产地调到该销地的调运量.

例3含有n个未知量m个方程的线性方程组如果把它的系数aij(i=1，2，···，m；j=1,2，···，n)和常数项bi(i=1,2，···，m)按原来顺序写出，就得到一个m行n+1列的矩形阵表这个矩形阵表可以清晰地表达这一线性方程组.一般地，对于不同的问题可以用不同的矩形阵表来表示，数学上吧这种具有一定排列规则的矩形阵表称为矩阵.机动目录上页下页返回结束定义10.1

由m×n个数aij(i=1，2，···，m；j=1,2，···，n)排列成一个m行n列，并括以圆括弧（或方括弧）的数表或称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵.一般地，矩阵用大写字母A,B,C···表示，如上述矩阵可记为A或Am×n，有时也可记为

A=（aij）m×n，其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素.特别地，当m=1或n=1时，矩阵只有一行或只有一列，即

或

机动目录上页下页返回结束分别称之为行矩阵或列矩阵.当m=n时，矩阵的行数与列数相同，即称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵中从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.将矩阵A=（aij）m×n中各个元素变号得到的矩阵，叫做A的负矩阵，记作﹣A.即﹣A=（﹣aij）m×n.例如那么﹣A是A的负矩阵.机动目录上页下页返回结束所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作Om×n或O.例如分别为二阶零矩阵和3×4零矩阵.此外，规定一阶方阵就是一个数，即A=（a11)=a11.机动目录上页下页返回结束二、几种特殊矩阵1.三角形矩阵主对角线下（或上）方元素都是零的n阶矩阵，称为n阶上（或下）三角形矩阵.上、下三角形矩阵统称为三角形矩阵.例如分别为一个三阶上三角形矩阵和一个四阶下三角形矩阵.机动目录上页下页返回结束2.对角矩阵如果一个矩阵既是上三角形矩阵，又是下三角形矩阵，那么称其为n阶对角矩阵，亦即对角矩阵是非零元素只能在主对角线上出现的方阵.如由于由主对角线的元素可以确定对角矩阵，所以经常把对角矩阵记作diag[a1,a2,···an],当然允许主对角线上某些元素为0.机动目录上页下页返回结束3.数量矩阵主对角线上元素都是非零常数a，其余元素全部为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵.例如分别为二阶、三阶数量矩阵.4.单位矩阵主对角线上的元素全部是1，其余元素全部为零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵，记作En或E.例如二阶和三阶单位矩阵分别为由上述可知，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是三角形矩阵，它们既是上三角形矩阵，又是下三角形矩阵.10-2矩阵的运算机动目录上页下页返回结束一、矩阵相等定义10.2若矩阵A=（aij）与矩阵B=（bij）都是m×n阶矩阵，且对应位置上的元素相等，即aij=bij（i=1,2，···，m；j=1.2.···，n），则称矩阵A与矩阵B相等记作A=B.由定义可知，用等式表示两个m×n阶矩阵相等，等价于元素之间有m×n个等式.机动目录上页下页返回结束二、矩阵的加法定义10.3

设矩阵A=（aij）与矩阵B=（bij）都是m×n阶矩阵，规定A+B=（aij+bij）m×n，称矩阵A+B为A与B的和.由定义可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵才能做加法运算.如果矩阵A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们可以定义矩阵的减法：A-B=A+（-B）=（aij）m×n+（-bij）m×n=（aij-bij）m×n称矩阵A-B为A与B的差.机动目录上页下页返回结束三、矩阵的数乘定义10.4

设k是任意一个实数，A=（aij）是一个m×n阶矩阵，规定：kA=（kaij）m×n，称其为数k与矩阵A的数量乘积，或称之为矩阵的数乘.由定义10.4可知，数k乘一个矩阵A，需要用数k去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当k=-1时，kA=-A，得到A的负矩阵.四、矩阵的乘法定义10.5设矩阵A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，称m×n矩阵C=（cij）m×n为矩阵A与B的乘积，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+···+aisbsj=（i=1,2，···，m；j=1.2.···，n）.记作C=AB.由矩阵乘法定义知：（1）只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A与B才能做乘法运算；（2）两个矩阵的乘积C=AB也是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；（3）乘积矩阵C=AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列法则.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束五、矩阵的转置定义10.6将一个m×n矩阵A的行列按顺序互换得到的n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT，即

TAT由定义知，AT第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素.例如则AT机动目录上页下页返回结束矩阵的转置满足下列运算规则：（1）（AT）T=A；（2）（A+B）T=AT+BT；（3）（kA）T=kAT（k为实数）；（4）（AB）T=BTAT.其中规则4可以推广到有限多个矩阵相乘的情况，即（A1A2···Ak）T=AkT···A2TA1T.机动目录上页下页返回结束例6

设矩阵求（AB）T，BTAT.解

机动目录上页下页返回结束定义10.7

如果矩阵A满足AT=A，那么称A是对称矩阵；如果矩阵A满足AT=-A，那么称是反称矩阵.显然，对称矩阵和反称矩阵必然为方阵；对称矩阵以主对角线元素为对称轴的各个元素军饷等；反称矩阵的主对角线元素全为零，以主对角线元素为对称轴的各个元素互为相反数.例如下列矩阵中A，B为对称矩阵，C,D为反称矩阵.10-3矩阵的初等行变换与矩阵的秩机动目录上页下页返回结束一、矩阵的初等行变换定义10.8

对矩阵试行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换：（1）交换矩阵某两行的位置；（2）用某一非零数k乘矩阵的某一行；（3）将矩阵某一行乘常数k加到另一行上.并称（1）为对换变换，（2）为倍乘变换，（3）为倍加变换.若把定义中对矩阵“行”施行变换改为对“列”的三种变换，称为矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.机动目录上页下页返回结束二、阶梯形矩阵定义10.9满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵：（1）矩阵的零行（如果存在的话）在矩阵的最下方；（2）各非零行的首非零元素的列标随行标的增大而严格增大.例如：下列矩阵中，A，B，C,F是阶梯形矩阵，D,E则不是.机动目录上页下页返回结束如果阶梯形矩阵还满足下面两个条件，那么称为行简化阶梯形矩阵：（1）各非零行的首非零元素全为1；（2）各个首非零元素所在列的其余元素都为0.例如，在上面的A，B，C,F四个阶梯形矩阵中，B，F同时又是行简化阶梯形矩阵.定理10.1

任意一个矩阵都可经过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵，并可进一步化为行简化阶梯形矩阵.机动目录上页下页返回结束三、矩阵的秩1.矩阵秩的概念定义10.10

设A是m×n矩阵，在A中位于任意选定的k行k列交点上的k2个元素，按原来次序组成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式，其中k≤min｛m，n｝.例如，矩阵在A的第一、三行与二、四列交点上的4个元素按原来次序组成的行列式为A的一个二阶子式.机动目录上页下页返回结束定义10.11

矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r（A）或秩（A）.我们规定，零矩阵的秩为零，即r（0）=0.由定义知，若r（A）=k，则A中至少有一个k阶子式不为零，而任一k+1阶子式（如果存在的话）的值一定为零.机动目录上页下页返回结束例3

求矩阵的秩.解因为A是一个二阶子式=1≠0，所以A的非零子式的最高阶数至少是2，A一共有四个三阶子式，进一步计算可知即所有三阶子式均为零，故r（A）=2.机动目录上页下页返回结束2.矩阵秩的计算定理10.2

矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩.前面提到，任何矩阵经过初等行变换均可化为阶梯形矩阵，而矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩，那么阶梯形矩阵的秩是否易求呢？例子：A是一个阶梯形矩阵，有三个非零行，其三个非零行以及首非零元素所在的列交点上的元素组成的三阶子式一定不为零，而阶数超过非零行数的子式肯定都为零，所以显然阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数.机动目录上页下页返回结束定理10.3

矩阵A的秩为k的充分必要条件是通过初等行变换能将A化成具有k个非零行的阶梯形矩阵.例4

设矩阵求r（A），r（AT）.机动目录上页下页返回结束解先用初等行变换化矩阵为阶梯形，因为所以，r（A）=3.所以，r（AT）=3.机动目录上页下页返回结束由此例可以猜想，矩阵A的秩与它的转置矩阵AT的秩相等，可以证明这一结论具有一般性。定理10.4

设A为任意一个m×n阶矩阵，则（1）0≤r（A）≤min｛m，n｝；（2）r（A）=r（AT）.3.满秩矩阵定义10.12

设A是n阶矩阵，若r（A）=n，则称A为满秩矩阵，或非奇异的，或非退化的.例如，等都是满秩矩阵.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定理10.5

任何满秩矩阵都能经过初等行变换化为单位矩阵.例5

设矩阵判断A是否为满秩矩阵，若是将其化为单位矩阵.机动目录上页下页返回结束解先将A化为阶梯形矩阵：因为r（A）=3=n，所以A是满秩矩阵.机动目录上页下页返回结束下面对上述阶梯形矩阵进一步进行初等行变换，化为单位矩阵.10-4逆矩阵机动目录上页下页返回结束一、可逆矩阵与逆矩阵定义10.13

设A是一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=E.则称矩阵A为可逆矩阵（简称A可逆）.称矩阵B是A的逆矩阵，记作A-1，即B=A-1.于是，当A为可逆矩阵时，存在矩阵B=A-1，满足AA-1=A-1A=E.由于定义中A,B的地位是相同的，因此也可以说矩阵B是可逆的，B-1=A.根据可逆矩阵的定义以及矩阵的乘法运算规律可知，可逆矩阵一定是方阵；另外，不是所有的方阵均可逆.例如就不是可逆矩阵，因为找不到另一个二阶方阵B，使得AB=BA=E.二、可逆矩阵的判别机动目录上页下页返回结束若A可逆，则存在逆矩阵A-1，且AA-1=E，根据方阵乘积的行列式定理，得∣A∣∣A-1∣=∣AA-1∣=∣E∣=1，所以，∣A∣≠0.由此得到∣A∣≠0是矩阵A可逆的必要条件.若矩阵A满足∣A∣≠0，则称A是非奇异矩阵（或非退化矩阵），否则称A是奇异矩阵（或退化矩阵）.显然，前面提到的满秩矩阵一定是可逆矩阵.机动目录上页下页返回结束定义10.14

设A=（aij）是n阶矩阵，则称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*.其中Aij是行列式∣A∣中aij的代数余子式.例3

求矩阵的伴随矩阵.机动目录上页下页返回结束解所以

机动目录上页下页返回结束利用伴随矩阵还可以进一步证明：若n阶矩阵A满足∣A∣≠0，则矩阵A可逆，且综合起来，有下面的定理：定理10.6n阶矩阵A可逆的充分必要条件是∣A∣≠0，且当A可逆时，上述定理给出了判别矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法.三、初等行变换法求逆矩阵机动目录上页下页返回结束将n阶可逆矩阵A的右边写上同阶的单位矩阵E，构成一个n×2n阶矩阵，然后对其进行一系列的初等行变换，将A化成单位矩阵E，此时，右边的单位矩阵E化成的矩阵就是A-1.这种求逆矩阵的方法，称为初等行变换法.简记为（A,E）→（E,A-1).10-5线性方程组机动目录上页下页返回结束一、线性方程组的基本概念一般地，称由n个未知量、m个方程的线性方程组（10.1）为n元线性方程组.其中xj是未知量（也称为未知数），aij是第i个方程第j个未知量xj的系数，bi是第个方程的常数项（i=1,2，···，m；j=1,2，···，n）.机动目录上页下页返回结束设称A,X,B分别是方程组（10.1）的系数矩阵、未知数列矩阵、常数项列矩阵.此时方程组（10.1）可简记为AX=B.由系数和常数项组成的矩阵机动目录上页下页返回结束称为方程组的增广矩阵.由于线性方程组是由它的系数和常数项确定的，因此增广矩阵可以清楚地表示一个线性方程组.当方程组（10.2）中的常数项b1,b2,···bm不全为零时，称为非齐次线性方程组.当b1,b2,···bm全为零时，即B=0时（10.2）称为齐次线性方程组.同样，方程组（10.2）可简记为AX=0.机动目录上页下页返回结束二、线性方程组的消元法消元法是解二元或三元一次线性方程组常用的方法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的.它的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较少的方程，从而容易判断方程组解的情况或求出方程组的解.例1

解方程组解交换方程组中第一个方程和第三个方程的位置，得把现在的第一个方程的3倍和-2倍分别加到第二个、第三个方程上去，得机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束把现在的第二个方程两端乘以，得将现在的第二个方程的19倍加到第三个方程上去，得机动目录上页下页返回结束将现在的第三个方程两端乘以，得最后将第三个方法依次代入第二个方程和第一个方程，即得方程组的解：x1=1,x2=-2,x3=-3.上例中，我们把方程组逐步变换为一种与原方程组同解的特殊形式的方程组，称为阶梯形方程组，而阶梯形方程组用逐步回代的方法很容易求解.这个过程中我们只是反复用了三种变换：机动目录上页下页返回结束（1）交换两个方程的位置；（2）用一个非零数乘某个方程；（3）把某一个方程的倍数加到另一个方程上.可以证明，这三种变换不改变方程组的解，且任一线性方程组都可经过这三种变换化为阶梯形方程组.由于线性方程组由它的增广矩阵完全确定，对方程组施行的三种变换实质上就是对其增广矩阵施行初等行变换，故线性方程组的求解