安徽省2024中考数学第4章三角形第2节三角形及其性质含特殊三角形试题

Page1其次节三角形及其性质(含特殊三角形)考点帮易错自纠易错点1已知等腰三角形一个角的度数,求顶角(或底角)的度数时忽视分类探讨1.若等腰三角形的一个内角为50°,则该三角形顶角的度数是50°或80°.

易错点2已知等腰三角形两边长求第三边长时忽视三角形的三边关系2.[2024贵州黔南州]已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为(D)A.9 B.17或22 C.17 D.22易错点3已知三角形两边与第三边上的高(未给出图形)求第三边长时忽视分类探讨3.在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长为4或14.

方法帮提分特训1.[2024浙江绍兴]长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为(B)A.4 B.5 C.6 D.72.[2024北京]如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是(A)

A.∠1=∠2 B.∠2=∠3C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠53.[2024内蒙古赤峰]如图,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为(B)

A.65° B.70° C.75° D.85°4.[2024陕西]如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为(D)

A.101313 B.91313 C.5.[2024湖北黄石]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点H,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若EF+CH=8,则CH的值为(B)

A.3 B.4 C.5 D.66.[2024福建]如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于(B)

A.10 B.5C.4 D.37.[2024青海]等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是(D)A.55°,55° B.70°,40°或70°,55°C.70°,40° D.55°,55°或70°,40°8.[2024河南]如图,在△ABC中,AB=BC=3,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为(D)A.63 B.9 C.6 D.339.[2024湖北黄冈]已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD=40度.

10.[2024浙江绍兴]如图(1),直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图(2)的方式放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图(2)中阴影部分面积为45.

图(1)图(2)11.[2024贵州安顺]如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为45.

真题帮【考法速览】考法1三角形中的重要线段(必考)考法2与直角三角形有关的计算(10年9考)考法3等腰三角形的判定与性质(10年7考)考法1三角形中的重要线段1.[2011安徽,6]如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是(D)A.7 B.10C.9 D.11考法2与直角三角形有关的计算2.[2012安徽,10]在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是(C)A.10 B.45C.10或45 D.10或217考法3等腰三角形的判定与性质3.链接第三章第一节真题帮第1题作业帮基础分点练(建议用时:60分钟)考点1三角形及其边、角关系1.[2024广西百色]三角形的内角和等于(B)A.90° B.180° C.270° D.360°2.[2024贵州毕节]在下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是(C)A.2cm,3cm,4cm B.3cm,6cm,6cmC.2cm,2cm,6cm D.5cm,6cm,7cm3.[2024湖南湘潭]如图,∠ACD是△ABC的外角,若∠ACD=110°,∠B=50°,则∠A=(D)

A.40° B.50°C.55° D.60°4.[2024浙江杭州]在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则(D)A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°5.[2024马鞍山二中一模]将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,则∠1的度数是(C)

A.95° B.100°C.105° D.110°6.当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“标准三角形”,其中α为“标准角”.假如一个“标准三角形”的“标准角”为100°,那么这个“标准三角形”的最小内角度数为30°.

考点2三角形中的重要线段7.[2024亳州模拟]下列说法不正确的是(A)A.三角形的三条高线交于一点B.直角三角形有三条高C.三角形的三条角平分线交于一点D.三角形的三条中线交于一点8.[2024四川宜宾]如图,点M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B=(D)

A.20° B.45° C.65° D.70°9.[2024辽宁锦州]如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是(C)

A.80° B.90° C.100° D.110°10.[2024山东济宁]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是(B)

A.43 B.23C.2 D.411.[2024北京]如图所示的网格是由大小相同的小正方形组成的,A,B,C,D是网格线的交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC=S△ABD(填“>”“=”或“<”).

12.[2024黑龙江大庆]一个周长为16cm的三角形,由它的三条中位线构成的三角形的周长为8cm.

13.如图,学校有一块三角形空地(△ABC),现打算将它分成面积相等的两块地,栽种不同的花草,请你把它分出来.(作图要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)解:如图所示,AD将空地分成了面积相等的两块地.14.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N.

求证:∠BME=∠CNE.证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如图.∵E,F分别是BC,AD的中点,∴FH,EH分别是△ABD,△BCD的中位线,∴FH∥BM,FH=12AB,EH∥CN,EH=1∴∠BME=∠HFE,∠CNE=∠HEF.∵AB=CD,∴FH=EH,∴∠HFE=∠HEF,∴∠BME=∠CNE.考点3等腰三角形的判定与性质15.[2024贵州毕节]已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为(B)A.13 B.17 C.13或17 D.13或1016.[2024四川自贡]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为(D)A.50° B.40° C.30° D.20°17.[2024四川南充]如图,在等腰三角形ABC中,BD平分∠ABC,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=(C)

A.a+b2 B.a-18.[2024湖北荆门]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=23,D为BC的中点,AE=14AB,则△EBD的面积为(B)A.334 B.33819.[2024浙江绍兴]如图,已知边长为2的等边三角形ABC中,分别以点A,C为圆心,m为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD的长为23,则m的值为2或27.

20.[2024江苏常州]如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=30°.

21.[2024广东]如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.

证明:在△BDF与△CEF中,∠ABE=∠ACD∴△BDF≌△CEF,∴BF=CF,∴∠FBC=∠FCB,∴∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.22.[2024浙江绍兴]问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思索:(1)假如把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会变更吗?说明理由;(2)假如把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.

解:(1)∠DAC的度数不会变更.理由:∵EA=EC,∴∠AED=2∠C,∠EAC=∠C.又∵∠BAE=90°,∴∠BAD=12∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠C=45°.(2)设∠B=m°,则∠BAD=12(180°-m°)=90°-1∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+12又∵EA=EC,∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n°-∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+12m°+90°-12n°-12考点4直角三角形的判定与性质23.[2024合肥蜀山区期末]下列各组数中,是勾股数的为(D)A.13,14,C.1,2,3 D.9,40,4124.[2024湖北仙桃]将一副三角尺如图摆放,点E在AC上,点D在BC的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是(A)

A.15° B.20° C.25° D.30°25.[2024四川德阳]已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满意PC=2,则PM的最小值为(B)A.2 B.22-2C.22+2 D.2226.[2024浙江宁波]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为(B)

A.2 B.2.5 C.3 D.427.[2024河北]如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图所示的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是(B)A.1,4,5 B.2,3,5C.3,4,5 D.2,2,428.[2024湖南岳阳]如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD=70°.

29.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=3,CE=5,求CD的长.

解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,CE=5,∴AE=CE=5.∵AD=3,∴DE=5-3=2.在Rt△CDE中,依据勾股定理得CD=CE2-DE30.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD于点F,交CB于点E,且∠EAB=∠DCB.

(1)求∠B的度数;(2)求证:BC=3CE.(1)解:∵AE⊥CD,∴∠AFC=∠ACB=90°,∴∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠ECF=90°,∴∠ECF=∠CAF.又∵∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=2∠DCB.∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=BD,∴∠B=∠DCB,∴∠CAB=2∠B.又∵∠B+∠CAB=90°,∴∠B=30°.(2)证明:∵∠B=∠BAE=∠CAE=30°,∴AE=BE,CE=12∴BC=3CE.综合提升练(建议用时:30分钟)1.[2024江苏无锡中考改编]如图,等边三角形ABC的边长为3,点D在边AC上,AD=12,线段PQ在边BA上运动,PQ=12,则四边形PCDQ周长的最小值为A.2+372 B.3+C.2+392 D.3+2.[2024湖北黄石]如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD的平分线和∠BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,且CD=CF,则∠ACD+∠CED=(C)

A.125° B.145° C.175° D.190°3.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=32,∠BCD=75°.连接AC,点M,N是AC的三等分点,点P是四边形ABCD边上的动点,若△PMN的周长为7,则点P的位置有(C)A.8处 B.7处 C.6处 D.2处4.[2024黑龙江哈尔滨]如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则BC的长为27.

5.[2024山西]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为点D,点E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为

54856.如图,BD⊥AC,垂足为E,△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G,∠B=∠C.(1)求证:EG是△CDE的高.(2)若EG是△CDE的中线,探究△ABE的形态(请写出完整过程).(1)证明:∵BD⊥AC,EF是△ABE的中线,∴EF=BF=12∴∠B=∠BEF,∠BEF+∠CEG=90°.∵∠B=∠C,∴∠C=∠BEF,∴∠C+∠CEG=90°,∴∠EGC=90°,∴EG是△CDE的高.(2)∵EG是△CDE的中线,EG⊥CD,∴直线EG是线段CD的垂直平分线,∴DE=CE,∴∠D=∠C,∴∠B=∠C=∠D=45°,∴∠A=45°,∴AE=BE,∴△ABE是等腰直角三角形.全国视野创新练操作型[2024浙江绍兴]将两条邻边长分别为2,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,腰长可以是下列数中的①②③④(填序号).

①2,②1,③2-1,④32,⑤3参考答案【易错自纠】1.50°或80°分两种状况探讨:①顶角为50°;②当底角为50°时,顶角为180°-2×50°=80°.2.D分两种状况探讨:①当腰长为4时,4+4<9,所以不能构成三角形;②当腰长为9时,9+9>4,9-9<4,所以能构成三角形.故此三角形的周长是9+9+4=22.3.4或14分两种状况探讨.(1)当AD在△ABC内部时,如图(1),∵AB=13,AC=15,AD=12,∴在Rt△ABD和Rt△ACD中,依据勾股定理,得BD=5,CD=9,∴BC=5+9=14.(2)当AD在△ABC外部时,如图(2),依据勾股定理,得CD=9,BD=5,∴BC=9-5=4.图(1)图(2)提分特训1.B三角形有三条边,故有两根细木棒连接成一根新的细木棒.①若长度为2,3的两根细木棒连接,则三边长分别为5,3,4,符合三角形三边关系,围成的三角形的最长边为5;②若长度为2,4的两根细木棒连接,则三边长分别为3,3,6,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形;③若长度为3,3的两根细木棒连接,三边长分别为2,4,6,不符合三角形三边关系,不能围成三角形;④若长度为3,4的两根细木棒连接,三边长分别为2,3,7,不符合三角形三边关系,不能围成三角形.综上所述,得到的三角形的最长边长为5.故选B.2.A由对顶角相等可知A正确;由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可知∠2>∠3,∠1=∠4+∠5,∠2>∠5.故选A.3.B∵DE⊥AB,∠A=35°,∴∠CFD=∠AFE=90°-35°=55°,∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°.故选B.4.D由题意可知AC=22+32=13,S△ABC=12BD×AC=3×3-12×1×2-125.B∵∠ACB=90°,点H是边AB的中点,∴AB=2CH.∵点E,F分别是边BC,CA的中点,∴AB=2EF,∴CH=EF.又∵EF+CH=8,∴CH=4.故选B.6.B∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,∴CD=BD=5.7.D分状况探讨.若等腰三角形的顶角为70°,则底角为(180°-70°)÷2=55°.若等腰三角形的底角为70°,则顶角为180°-70°-70°=40°.8.D连接BD,由作图步骤可知DA=DC=AC,∴△ADC是等边三角形,∴∠ADC=∠DAC=60°.∵DA=DC,AB=BC,∴直线BD是线段AC的垂直平分线,∴∠ADB=∠CDB=30°.∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°,∴AD=3AB=3,∴S△DAB=12×3×3=332.易知四边形ABCD关于直线BD对称,∴S四边形ABCD=2S△DAB9.40∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=35°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70°,∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°.10.45由题意可知直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,故另一条直角边长为32-22=5,故阴影部分的面积是11.45如图,在BD上取一点F,连接FC,使FC=FB,过点C作CM∥AB交BD的延长线于点M.设∠CBE=α,则∠A=2∠CBE=2α.又∵EA=EB,∴∠ABE=∠A=2α.∵FC=FB,∴∠FCB=∠FBC=α,∴∠CFM=∠CBF+∠BCF=2α.∵CM∥AB,∴∠M=∠ABE=∠A=∠ECM=2α=∠CFM,∴CM=CF,EC=EM.又∵CD⊥FM,EB=EA,∴DF=DM,BM=AC=11,∴DF=MD=BM-BD=11-8=3,∴FC=FB=BD-DF=8-3=5,∴CD=52-32=4,∴BC=821.D在Rt△BCD中,BD=4,CD=3,依据勾股定理可得BC=5.∵H,G两点分别是BD,CD两边的中点,∴HG=12BC=52.同理可得EF=12BC=52.C本题分为两种状况.(1)如图(1),∵DE是Rt△ABC的中位线,∴AE=4.又∵DE=3,∴AD=AE2+DE2=42+32图(1)图(2)基础分点练1.B2.CA中,2+3>4,能组成三角形;B中,3+6>6,能组成三角形;C中,2+2<6,不能组成三角形;D中,5+6>7,能组成三角形.故选C.3.D∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠B+∠A,∴∠A=∠ACD-∠B=110°-50°=60°.4.D不妨设∠A=∠B-∠C,则∠A+∠C=∠B,又∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠B=180°,∴∠B=90°,故必有一个内角等于90°.故选D.5.C如图,易得∠1=∠4+∠2.又∠4=90°-30°=60°,∠2=∠3=90°-45°=45°,∴∠1=∠4+∠2=60°+45°=105°.6.30°由题意得α=2β,α=100°,则β=50°,故最小的内角度数为180°-100°-50°=30°.7.A8.D∵∠A=65°,∠ANM=45°,∴∠AMN=180°-∠A-∠ANM=70°.∵点M,N分别是AB,AC的中点,∴MN是△ABC的中位线,∴MN∥BC,∴∠B=∠AMN=70°.故选D.9.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-30°-50°=100°.∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=12∠ACB=110.B如图,过点B作BE⊥CD,垂足为点E.∵点D是△ABC的内心,∴BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠BDC=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=180°-60°=120°.在Rt△BDE中,∠BDE=60°,BD=4,∴BE=32BD=23,∴S△DBC=12×CD×BE=12×2×2311.=连接CD,易知CD∥AB,∴S△ABC=S△ABD.12.8如图,△ABC的周长为16cm,DE,DF,EF是△ABC的中位线,∴DE=12BC,DF=12AC,EF=12AB,∴DE+DF+EF=12(BC+AC+AB)=113.略14.略15.B当腰长是3,底边是7时,3+3<7,不满意三角形的三边关系.当底边是3,腰长是7时,能构成三角形,其周长为3+7+7=17.故选B.16.D∵∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=40°.∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC=180°-∠B217.C∵AB=AC=a,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=72°.又BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=118.B连接AD,如图.∵AB=AC,∠BAC=120°,BC=23,且D为BC中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60°,BD=DC=3,∴Rt△ABD中,AB=2,AD=1.∵AE=14AB,∴BE=34AB,∴S△BDE=34S△ABD=34×12×1×19.2或27连接AD,由作图知,点D在AC的垂直平分线上.∵△ABC是等边三角形,∴AB=CB,∴直线BD垂直平分AC,设垂足为E,∵AC=AB=2,∴AE=1,BE=3.如图(1),当点D,B在AC的两侧时,∵BD=23,∴DE=3,∴AD=2,∴m=2.如图(2),当点D,B在AC的同侧时,∵BD=23,∴DE=DB+BE=33.在Rt△ADE中,AD=DE2+AE2=(33)2图(1)图(2)20.30∵EF垂直平分线段BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF.∵△ACF为等边三角形,∴∠AFC=60°,∴∠B=∠BCF=30°.21.略22.略23.D13,14,15,0.6,0.8均不是正整数,故A,B中的数据不是勾股数.∵1+2=3,∴长为1,2,3的三条线段不能构成三角形.∵92+40224.A由三角板的特点可知∠ACB=45°,∠DEF=30°.∵EF∥BC,∴∠CEF=∠ACB=45°,∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°.故选A.25.B∵等腰直角三角形ABC的腰长为4,∴斜边AB=42.易知点P在以点C为圆心,PC为半径的圆上,当点P在斜边AB的中线上,且点M为AB的中点时,PM的值最小.连接CM,∵△ABC是等腰直角三角形,∴CM=12AB=22.∵PC=2,∴PMmin=CM-CP=2226.B在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=827.B设选取的三块纸片的面积分别为a,b,c(a≤b<c),则三块纸片的边长分别为a,b,c,所围成的三角形的面积S=12a·b=12ab.依据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片有6种情形:①a=b=1,c=2,此时S=12;②a=1,b=2,c=3,此时S=22;③a=1,b=3,c=4,此时S=32;④a=1,b=4,c=5,此时S=1;⑤a=2,b=2,c=4,此时S=1;⑥a=2,b=3,c=5,此时S=62.∵28.70∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=1229.略30.略综合提升练1.D如图(1),作▱PQDM,则DM∥PQ,DM=PQ=12,QD=PM,∴四边形PCDQ的周长为PQ+QD+CD+CP=3+PM+PC,∴求四边形PCDQ周长的最小值,只需求PM+PC的最小值.如图(2),分别过点D,M作AB的垂线DT,MO,垂足分别为点T,O,则四边形TDMO是矩形.延长MO至点M',使OM'=OM,连接CM'交AB于点P,此时PM+PC的值最小,最小值为CM'的长.过点C作CI⊥AB于点I,过点M'作M'N⊥CI交CI的延长线于点N.易得AT=14,NI=M'O=OM=TD=34,∴CN=332+34=734,NM'=OI=32-14-

图(1)图(2)2.C∵CD⊥AB,∴∠ADC=