高三数学开学摸底考02（新考法新高考七省地区专用）-2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考试卷含答案

2024届高三下学期开学摸底考（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点且与直线垂直的直线方程是（

）A． B．C． D．2．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（

）A．4 B．5 C．6 D．73．设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（

）A．的值等于1 B．C．的值等于2 D．5．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A．240种 B．188种 C．156种 D．120种7．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设z，，是复数，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．已知，则（

）A．，使得B．若，则C．若，则D．若，，则的最大值为11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数值域为B．函数是增函数C．不等式的解集为D．12．在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（

）A．⊥ B．C． D．点O不可能在平面内第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合，，则.14．已知向量的夹角为，，则，．15．已知，数列为，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，则数列的前30项和为．16．若存在正实数满足，则的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记的内角的对边分别为，已知，．(1)求的值；(2)边的垂直平分线交边于点，若，求的面积．18．（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求；(2)证明：.（12分）如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.

(1)证明：平面平面；(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.20．（12分）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.(1)求的标准方程；(2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.（12分）已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.(1)当，时，写出的所有可能值；(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.2024届高三下学期开学摸底考全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点且与直线垂直的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，所以，过点且与直线垂直的直线方程是，即.故选：C.2．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.【详解】由题意该组数据共7个数，,故第60百分位数为从小到大第5个数，又众数为4，故，故该组数据的平均数为，故选：B3．设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果.【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列.由，可设，则，于是依次为，所以，所以.故选：B4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（

）A．的值等于1 B．C．的值等于2 D．【答案】D【分析】设圆锥形容器的底面积为S，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于的方程，解之即可求解.【详解】设圆锥形容器的底面积为S，未倒置前液面的面积为，则，所以，则水的体积为；设倒置后液面面积为，则，则水的体积为，解得.故选：D.5．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.【详解】设，则由，得到，整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点，又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，解得，故选：D.6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A．240种 B．188种 C．156种 D．120种【答案】D【详解】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.7．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；【详解】当时，因为，则，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则．当时，；当时，；当时，．又因为2，因此的取值范围是．故选：C．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.8．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则时，取得最小值；或4时，取得最大值.即有，得.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式；②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设z，，是复数，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BC【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.【详解】若，设，所以，则不一定为，故A错误；若，设，所以，则不一定为，故B正确；若，设，，则，，故C正确；若，设，，，，所以，即，不一定为，故D错误；故选：BC.10．已知，则（

）A．，使得B．若，则C．若，则D．若，，则的最大值为【答案】BD【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简，结合基本不等式，可判定D正确.【详解】对于A中，若，可得因为，可得，解得，又因为时，，所以方程无解，所以A错误；对于B中，因为，可得，所以，又因为，所以，则，所以B正确；对于C中，由，则，所以C错误；对于D中，因为，可得，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以D正确.故选：BD.11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数值域为B．函数是增函数C．不等式的解集为D．【答案】ACD【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解.【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；对于C，因为的定义域为，且,，所以为奇函数，且在上为减函数，不等式等价于即，等价于，解得，故C正确；对于D，因为且，所以，故D正确.故选：ACD.12．在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（

）A．⊥ B．C． D．点O不可能在平面内【答案】AC【分析】A选项，推出四点共面，结合得到⊥；B选项，若四边形为正方形，此时；C选项，得到球心在的垂直平分线上，故到平面距离为到平面距离的一半，C正确；D选项，举出实例，D错误.【详解】A选项，四棱锥的外接球为为顶点的球，而四点共面，故这四点必共圆，又，故为直径，⊥，A正确：B选项，由A可知，四点共圆，又，为直径，若四边形为正方形，此时，，B错误；C选项，因为平面，所以球心到两点的距离相等，即球心在的垂直平分线上，故到平面距离为到平面距离的一半，故，C正确；D选项，当四边形为正方形时，连接，相交于点，则⊥平面，结合球心在的垂直平分线上，此时为中点，点O在平面上，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合，，则.【答案】【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合，，用列举法表示集合，再结合补集的定义，即得解【详解】由题意，，又又由于，又故故答案为：14．已知向量的夹角为，，则，．【答案】2【分析】根据向量垂直的表示得，利用数量积的运算性质计算可得；根据与，结合数量积的运算性质求解可得出.【详解】由向量的夹角为，且，得，所以．因为，，所以．故答案为：2，.15．已知，数列为，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，则数列的前30项和为．【答案】829【分析】因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，根据题意，得到数列的前30项中含有的前7项，含有的前23项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】因为，所以为等比数列，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，由于，，，，因此数列的前30项中含有的前7项，含有的前23项，所以所求和为．故答案为：829.16．若存在正实数满足，则的最大值为．【答案】/【分析】不等式变形，换元后得到，令，则，再令，求导得到其单调性，得到，从而，解得，得到故，，求导，得到单调性和最值，求出答案.【详解】存在正实数满足，不等式两边同除以得，令，则，即，令，则，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极大值，也是最大值，故，即，综上，，解得，故，，故，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值，也是最大值，最大值为.故答案为：【点睛】常见的不等式放缩有，，，，等，再求参数取值范围或证明不等式时，常常使用以上不等式进行适当变形进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记的内角的对边分别为，已知，．(1)求的值；(2)边的垂直平分线交边于点，若，求的面积．【答案】(1);(2).【分析】（1）利用正弦定理将角化边，借助余弦定理建立方程组，消元计算即可；（2）分析边角关系，在中通过正弦定理得，利用面积公式计算即可.【详解】（1）因为，所以即．在中，由正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以②．因为，所以①．将①代入②得，所以..........................5分（2）结合（1）问：在中，由余弦定理得，．因为，所以．因为，所以．在中，由正弦定理得，解得：，所以，的面积.

..........................10分18．（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【详解】（1）函数的定义域为.将代入，解得，即，由切线方程，则切线斜率.故，解得..........................6分（2）证明：由（1）知，从而等价于.设函数，则.所以当时，，当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，从而在上的最大值为.故，即..........................12分19．（12分）如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.

(1)证明：平面平面；(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）利用平面几何知识结合已知条件可以证明，再利用面面垂直的性质进一步证明，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即得证.（2）不妨设，则点到平面的距离即为的长度，结合附加条件四棱锥的体积为可以求得所有棱长，最终利用平面几何知识即可求解.【详解】（1）一方面：因为为正三角形且为的中点，所以（三线合一），又因为平面平面且平面平面，并注意到平面，所以由面面垂直的性质可知平面，又因为平面，所以由线面垂直的性质可知；另一方面：由题意不妨设，则，因为为正三角形且为的中点，所以，，所以，且，注意到与均为锐角，所以，不妨设，

因为，所以，即.综合以上两方面有且，注意到，平面，平面，所有由线面垂直的判定有平面，又因为平面，所以平面平面...........................6分（2）由（1）可知平面，则点到平面的距离即为的长度，一方面梯形的面积为，，所以有四棱锥的体积为，另一方面由题可知四棱锥的体积为，结合以上两方面有，解得，因为，所以，由（1）可知，所以，所以，所以...........................12分20．（12分）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意，三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出被分至甲队即摸出红球的概率、被分至甲队即摸出红球的概率、被分至甲队即摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有可能取值为，分析各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【详解】（1）三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件“被分至甲队”，事件“被分至甲队”，事件“被分至甲队”，当即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；当被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；当均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；所以，则，同理知：新增登山爱好者均被分至乙队的概率也为，所以三人均被分至同一队的概率为............................6分（2）由题设，可能取值为，为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则，为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则，，，，所以，为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则，所以............................12分21．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为分别是双曲线的左､右顶点.(1)求的标准方程；(2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出即可得双曲线方程.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线过的定点，结合几何意义求解即得.【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，依题意，，所以的标准方程为............................4分（2）由（1）知，，设，显然直线不垂直于轴，否则由双曲线的对称性，点在轴上，不符合题意；设直线，由消去得，有，则，于