考点08 一次函数的图象和性质-2022年中考数学一轮复习(浙江专用)(解析版)

考点08一次函数的图象和性质

【命题趋势】

一次函数的图象与性质在浙江中考中占比不大，但是确实和各个几何知识点结合较为

紧密的一个考点，所以虽然中考中不会直接单独考察一次函数的图象与性质，或者较少考察,

但是学习一次函数图象与性质的作用并不会减弱，所以，考生在复习这块知识点时，依然需

要以熟记对应考点的方法规律为学习目标。

【中考考查重点】

一、一次函数的图象与平移

二、一次函数的性质

三、待定系数法求解一次函数的表达式

四、一次函数与方程、不等式的关系

五、一次函数与三角形面积

考向一：一次函数的图象与平移

三二次函数的图象

h

一次函数y=Zx+b(kw0)的图象是经过点(0,b)和点(--,0)的一条直线

k

JuXL

图象

*J

4rxo

/Lv

所在kX),?>0k'p.kz

象限

经过第一、二、三经过第一、三、四经过第一、二、四经过第二、三、四

象限象限象限象限

平移“左加右减(X),上加下减(整体)”

口诀

.一次函数图象的画法

步骤一次函数正比例函数

找点找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交找除原点外的任意一个点

点

描点在平面直角坐标系中描出所找的点的位置

连线过这两个点画一条直线过原点和这个点画一条直

线

1.

已知（k,h）为第四象限内的点，则一次函数y=H-6的图象大致是（）

【分析】根据已知条件“点（&,/>）为第四象限内的点”推知屋〃的符号，由它们的符

号可以得到一次函数了=履-6的图象所经过的象限.

【解答】解：•••点a,b）为第四象限内的点，

：.k>0,h<0,

：.-b>0,

.•.一次函数），=履-6的图象经过笫一、三象限，且与y轴交于正半轴，观察选项，A选

项符合题意.

故选：A.

2.用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数

据是（）

A.y--2x+5B.y—-2x-5C.y--2x+\D.y--2x+1

【分析】利用一次函数平移规律，左加右减进而得出平移后函数解析式即可.

【解答】解：把直线y=-2r+3沿x轴向右平移两个单位长度后.得到直线的函数关系

式为：y=-2（x-2）+3,即y=-2x+7,

故选：D.

4.直线y=3x-2不经过第象限.

【分析】根据已知求得左,〃的符号，再判断直线y=3x-2经过的象限.

【解答】解：••次=3>0,图象过一三象限，6=-2<0过第四象限

工这条直线一定不经过第二象限.

故答案为：二

考向二：一次函数的性质

对于任意一次函数y=kx+b（kWO）,点A（xi,yi）B（x2,y2）在其图象上

k>0k<0

性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小

直线走势从左往右看上升从左往右看下降

必过象限直线必过第一、三象限直线必过第二、四象限

b>0直线过第一、二、三象限直线过第一、二、四象限

b=0（正比例直线过第一、三象限直线过第二、四象限

函数）正比例函数必过原点（0,0）

b<0直线过第一、三、四象限直线过第二、三、四象限

【方法技巧】

一次函数当xiVxz时，必有yVyz当x1<X2时，必有y〉y2

增减性的应用（即不等号开口方向相同）（即不等号开口方向相反）

【同步练习】

1.已知点（加，2）,（◎-4）都在直线y=-x+3上，则xi与X2的大小关系是（）

A.xi>X2B.x\—X2C.x\<X2D.不能比较

【分析】由&=-l<0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2>-4,

即可得出X|<X2.

【解答】解：♦.乂=-1<0,

二），随X的增大而减小，

又,点（%],2）,（%21-4）都在直线y=-x+3上，且2>-4,

.,.AI<X2.

故选：C.

2.若点A（xi，yi）和8（X2，）2）都在一次函数y=（k-1）x+2（%为常数）的图象上，

且当xi<X2时，yi>”，则k的值可能是（）

A.k=0B.k=lC.k=2D.k=3

【分析】由当xi<%2时”>"，利用一次函数的性质可得出k-1<0,解之即可得出k

的取值范围，再对照四个选项即可得出结论.

【解答】解：•.•点A5,yi）和8（如竺）都在一次函数、=（k-1）x+21为常数）

的图象上，且当Xl<%2时，）］>”，

即），随X的增大而减小，

：.k-1<0,

：.k<l,

.•4的值可能是0.

故选：A.

3.在正比例函数>=近中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数），=fcv+A在平面直角

坐标系中的图象大致是（）

【分析】由于正比例函数y=fcr（AW0）函数值随x的增大而减小，可得kVO,然后，判

断一次函数y=依+G的图象经过象限即可.

【解答】解：•••正比例函数？=依（ZWO）函数值随x的增大而减小，

k<0,

•••一次函数y="+k的图象经过二、三、四象限；

故选：D.

4.关于一次函数y=-3x+l,下列说法正确的是（）

A.它的图象经过点（1,-2）

B.y的值随着x的增大而增大

C.它的图象经过第二、三、四象限

D.它的图象与x轴的交点是（0,1）

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出一次函数y=-3x+l的图象经过点（1,

-2）、一次函数y=-3x+l与x轴的交点是（卷，0）；利用一次函数的性质可得出y随x

的增大而减小；利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=-3x+l的图象经过

第一、二、四象限.

【解答】解：A.当x=l时，y=-3X1+1=-2,

・•・一次函数y=-3x+l的图象经过点(1,-2)：

B.9：k=-3<0,

・•・)，随x的增大而减小；

C.9：k=-3<0,/?=1>0,

，一次函数y=-3x+l的图象经过第一、二、四象限;

D.当y=0时、-3x+l=0,

解得：x=L

3

...一次函数y=-3x+l与x轴的交点是(_1,0).

故选：A.

考向三：待定系数法求一次函数的解析式

步骤普通一次函数具体操作正比例函数具体操作

1.“设”设所求一次函数解析式为y=kx+b(k设所求正比例函数解析式为y=kx

WO)(kWO)

2.“代入”把两对x、y的对应值分别代入把除(0,0)外的一对x、y的对应

y=kx+b,得到关于k、b的二元一次值代入y=kx,得到关于k一元一次

方程组方程

3.“解”解这个关于k、b的二元一次方程组解这个关于k的一元一次方程

4.“再代入”把求得的k、b的值代入到y=kx+b,把求得的k的值代入到y=kx,得到

得到所求的一次函数表达式所求的正比例函数表达式

【同步练习】

1.已知一次函数的图象经过A(2,-3)、8(-1,3)两点.

(1)求这个函数的解析式；

(2)判断点尸(3,-5)是否在该函数图象上.

【分析】(I)先设出一次函数的解析式，把己知条件代入求得未知数的值即可;

(2)把点P(3,-5)代入解析式看是解析式否成立.

【解答】解：(1)设所求的一次函数的解析式为、=代+4

由题意得［2k+b=-3,

I-k+b=3

解得。=-2,

Ib=l

...所求的解析式为y=-2r+l.

(2)点P(3,-5)在这个一次函数的图象上.

:当x=3时，y=-2X3+1=-5,

点尸(3,-5)在直线y=-2A+1上.

2.如图所示，直线AB与x轴交于A,与y轴交于B.

(1)请直接写出A,B两点的坐标：A,B

(2)求直线AB的函数表达式；

(3)当x=5时，求y的值.

【分析】(1)利用坐标上点的坐标特征写出A、B点的坐标;

(2)利用待定系数法求直线48的解析式；

(3)利用(2)中的解析式计算x=5对应的函数值即可.

【解答】解：(1)A(4,0),B(0,2)；

故答案为:(4,0),(0,2)；

(2)设直线A8的解析式为y=fcv+6,

把A(4.0),B(0,2)代入得[曲+6=0,

lb=2

[k=JL

解得K2，

b=2

/.直线AB的解析式为y=-X+2；

2

(3)当x=5时，y=-2+2=-5+2=-上.

222

考向四：一次函数与方程不等式间的关系

一次函数y=kx+b作用具体应用

与一元一次方程求与x轴交点坐标方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交

的关系点横坐标

与二元一次方程求两直线交点坐标丫一kx+b

方程组《，一।一的解是直线y=&x+优

组的关系y—k2x+b2

与直线y=k2x+b2的交点坐标

与一元一次不等一元一次不等（如由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：

式（组）的关系kx+b>0）的解可以①根据图象找出交点横坐标，

由函数图象观察得②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上

出方，对应交点的左右，则X取其中一边的范围。

【同步练习】

1.如图，已知点8（1,2）是一次函数y=fcc+6（氏#0）上的一个点，则下列判断正确的是

B.y随x的增大而增大

C.当x>0时，y<0

D.关于x的方程依+匕=2的解是x=l

【分析】由直线经过点（1,2）可得x=l,y=2是方程y="+6的一组解，即x=l是

kx+b—2的解.

【解答】解：•••直线从左至右下降，

.,.k<0,选项A错误.

'：k<0,

随x增大而减小，选项8错误.

•.•直线与），轴交点为（0,。），

，x>0时，y<b,选项C错误.

•.,点B（1,2）是一次函数），=依+〃（AW0）上的一个点，

y=2是方程产Ax+b的一组解，

；.x=l是kx+b=2的解，选项。正确.

故选：D.

2.关于x的方程fcr+3=3的解为x=7,则直线y=H+/）的图象一定过点（）

A.(3,0)B.(7,0)C.(3,7)D.(7,3)

【分析】关于X的方程kx+b=3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以宜接

得到答案.

【解答】解：•••关于x的方程息+6=3的解为x=7,

；.x=7时，y=fcr+/?=3,

二直线y=fcr+〃的图象一定过点（7,3）.

故选：D.

3.如图，直线小y=x+2与直线/2：丫=履+6相交于点P（m4）,则方程组1片,+2的解

（y=kx+b

【分析】将Cm，4）代入y=x+2求解.

【解答】解：将（zn,4）代入y=x+2得4=nz+2,

解得m=2,

二点/坐标为（2,4）,

.•.方程组的解为:x=2

y=4

故选：D.

4.如图，直线y=fcv+b（Z#O）经过点A（-3,2）,则关于x的不等式丘+6<2解集为（)

【分析】由图象得y=Ax+8V2时x<-3.

【解答】解：由图象可得当xV-3时，y<2,

:.依+6<2解集为x<-3.

故选：B.

5.如图，已知函数yi=3x+〃和”=以-3的图象交于点尸（-2,-5）,则下列结论正确的

是（)

A.a<0B.b<0

C.x<-2时，yi>”D.x<-2时，yi<y2

【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，可知x取何值时，yiV”或)]>”，根

据一次函数的图象经过的象限，可知其对应系数aHb的符号.

【解答】解：A、由”=以-3经过一、三、四象限是。>0,故错误;

B、由函数yi=3x+。经过一、二、三象限，可知6>0,错误；

C、由图象可知x>-2时-，yi>”，故错误；

D、山图象可知x<-2时、y\<yi>故正确；

故选：D.

考向五：一次函数与三角形面积

一.一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳

1.一次函数y=kx+b(kWO)与坐标轴交点规律

与X轴交点坐标故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴；

0)

对于直线k当k、b异号时,直线交于x轴正半轴

y=kx+b(kWO)与y轴交点坐标(0,b)故：当b>0时，直线交于y轴正半轴；

当bVO时，直线交于y轴负半轴

2.求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐

标；

3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶

点的坐标确定高；

二.一次函数图象与几何图形动点面积

1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出

动点所在几何图形的边长信息

2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：

①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义

②特别分析图象的拐点一一拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点

3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角

三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。

【同步练习】

1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-L-l与直线y=-2x+2相交于点P,并分别

2

与X轴相交于点A、B.

(1)求交点P的坐标；

(2)求△出B的面积.

【分析】(1)本题利用一次函数图象求三角形的面积，重难点在于根据图象正确找到底

与高，(2)中求△B4B的面积，就是以AB的长为底，以P到x轴的距离为高.

【解答】解：(1)由题意得：Y~2xT,

y=-2x+2

解得：卜=2,

ly=-2

：.P(2,-2)；

(2)直线y=-^xT与直线y=-您+2中，

令y=0,则卷x-l=O与-2x+2=0,

解得工=-2与x=l,

・"(-2,0),B(1,0),

：.AB=3,

二SAPAB^1^1^^2=35

2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线y=x+3分别与x轴，直线y=-2x交于点

A,B,则aAOB的面积为.

【分析】先求得A(-3,0),8(-1,2),根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：在y=x+3中，令y=0,得x=-3,

解产x+3得,产,

ly=-2xIy=2

・M(-3,0),8(-1,2),

・•・△AO8的面积=-1X3X2=3,

2

故答案为3.

3.如图，已知一次函数的图象经过A(-2,-2),B(1,4)两点，并且交x轴

于点C,交y轴于点D

(1)求一次函数的解析式；

(2)求点C和点。的坐标；

(3)求△OOB的面积

【分析】(1)先把A点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到

鼠b的值，从而得到一次函数的解析式；

(2)令x=0,y=0,代入y=2x+2即可确定C、。点坐标；

(3)根据三角形面积公式进行计算即可.

【解答】解：(1)把A(-2,-2),B(1,4)代入得(~2k+b==~2,

lk+b=4

解得(k=2.

lb=2

所以一次函数解析式为＞=2A+2；

(2)令y=0,则0=2r+2,解得x=-l,

所以C点的坐标为(-1,0),

把x=0代入y=2x+2得y=2,

所以D点坐标为(0,2),

(3)X2X1=1.

2

4.已知一次函数的图象经过点A(-8,0),B(0,6).

(1)求一次函数的表达式；

(2)若点C(2a,yi)、0(1-“，V2)在一次函数的图象上，求。的取值范围；

(3)过原点0的直线恰好把△AOB的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应

的函数表达式.

【分析】(1)设此一次函数的解析式为y=fcr+从将A(-8,0)和8(0,6)代入，运

用待定系数法即可求解；

(2)根据题意得到关于“的不等式，解不等式即可;

(3)设A8的中点为C,根据三角形面积公式可判断直线0C平分AAOB的面积，设直

线OC的解析式为y=kx,利用线段中点坐标公式得到C(-4,3),然后利用待定系数

法求出直线OC的解析式即可.

【解答】解：(1)设此一次函数的解析式为夕=日+4

将A(-8,0)和8(0,6)代入，

.(3

得「8k+b=0,解得k%,

1b=6b=6

故此一次函数的解析式为y=Wt+6；

4

(2)仁3>0,

44

二)，随x的增大而增大，

；点C(2a,)」)、0(1-〃，”)在一次函数的图象上，且

.\2«<1-a,

解得a<l；

3

(3)设A8的中点为C,如图,

则直线0C平分△AOB的面积,

设直线0C的解析式为y^kx,

"：A(-8,0)、B(0,6),

C(-4,3),

把C(-4,3)代入得-4Z=3,解得k=-3,

4

直线OC的解析式为y=-Zx,

4

即该直线所对应的函数表达式为y=-Ir.

叁跟踪训练.

1.一次函数y=ax+b与正比例函数y="x(a、b为常数且a/?W0)在同一平面直角坐标系

中的图象可能是()

【分析】根据。、力的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论.

【解答］解：若。>0,。>0,

则y=or+b经过一、二、三象限，y=〃Z次经过一、三象限，

若a>0,0V0,

则y=or+b经过一、三、四象限，y=〃法经过二、四象限，

若〃V0,Z;>0,

则y=ox+6经过一、二、四象限，y=〃加;经过二、四象限，

若4V0,0V0,

则y=or+/?经过二、三、四象限，y="x经过一、三象限，

故选：C.

2.关于一次函数y=-2x+l,下列说法不正确的是（）

A.图象与y轴的交点坐标为（0,1）B.图象与x轴的交点坐标为（［，0）

2

C.y随x的增大而增大D.图象不经过第三象限

【分析】根据一次函数的性质对C、O进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对4

8进行判断.

【解答】解：A、把x=0代入》，=-2x+l=l,所以它的图象与），轴的交点坐标是（0,I）,

故本选项说法正确，不符合题意；

8、把X=工代入y=-2x+l=0,所以它的图象与x轴的交点坐标是（上，0）,故本选项

22

说法正确，不符合题意：

C、k=-2<0,所以），随自变量x的增大而减小，故本选项说法错误，符合题意；

。、k=-2V0,*=1>0,函数图象经过第一、二、四象限，故本选项说法正确，不符合

题意；

故选：C

3.一次函数y=2x+机的图象过点（。-1,y\）,（a,”），（a+1,”），则（）

A.y\<y2<y3B.y3<y2<y\C.y2<yi<y3D.与"？的值有关

【分析】由k=2>0,利用一次函数的性质可得出y随工的增大而增大，再结合a-IV”

<a+l,即可得出y\<y2<ys-

【解答】解：F=2>0,

・・・y随x的增大而增大，

又：一次函数y=2x+m的图象过点(a-Lyi)»(.a,_y2)>(o+l,中)，a•I<a<o+l.

•'•yi<y2<y3-

故选：A.

4.一次函数丫=丘+匕的图象如图所示，则点(k,-b)在第()象限内.

【分析】根据一次函数图象的位置确定出&与人的正负，即可作出判断.

【解答】解：根据数轴上直线的位置得：k<0,6<0,

二-b>Q,

则以k、-b为坐标的点a,-6)在第二象限内.

故选：B.

5.如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A,交y轴于点8,点尸在线段AB上(不

与点A,B重合)，过点P分别作0A和0B的垂线，垂足为C,D.若矩形0CPD的面

积为1时，则点P的坐标为()

A.(A,3)B.(A,2)C.(A,2)和(1,1)D.(A,3)和(1,1)

3223

【分析】由点尸在线段A3上可设点P的坐标为(，m-3/n+4)(0</«<1),进而可得

3

出0C=m,0D=-3/n+4,结合矩形0CPD的面积为I,即可得出关于的一元二次方

程，解之即可得出，〃的值，再将其代入点P的坐标中即可求出结论.

【解答】解：:•点P在线段A8上(不与点A,8重合)，且直线A8的解析式为y=-3x+4,

二设点P的坐标为(m,-3/«+4)(0<w<A),

3

:・0C=m,OD=-3w+4.

•・•矩形。。尸。的面积为I,

m(-3/n+4)=1,

♦—i，"2=1，

3

.•.点P的坐标为(2，3)或(1,1).

3

故选：D.

6.关于x的方程依+6=3的解为x=7,则直线>="+6的图象一定过点()

A.(3,0)B.(7,0)C.(3,7)D.(7,3)

【分析】关于x的方程kx+b=3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以直接

得到答案.

【解答】解：•.•关于x的方程依+b=3的解为x=7,

时，y=kx+b=3,

直线)的图象一定过点(7,3).

故选：D.

7.如图，正比例函数(ZW0)的图象经过点A(2,4),ABLx轴于点B,将△ABO

绕点A逆时针旋转90°得到△AOC,则直线4c的函数表达式为.

【分析】直接把点4(2,4)代入正比例函数)=依，求出k的值即可；由A(2,4),

轴于点8,可得出08,A8的长，再由△AB。绕点A逆时针旋转90°得到△AOC,

由旋转不变性的性质可知。C=O8,AD=AB,故可得出C点坐标，再把C点和A点坐

标代入解出解析式即可.

【解答】解：,正比例函数y=fcv(AW0)经过点A(2,4)

.'.4=2k,

解得:k=2,

'•y—2x；

VA(2,4),轴于点8,

：.OB=2,AB=4,

,/△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△4DC,

：.DC=OB=2,AD=AB=4

：.C(6,2)

设直线AC的解析式为y=ax+h,

把(2,4)(6.2)代入解析式可得：12a+b=4,

I6a+b=2

解得：卜=一0・5,

lb=5

所以解析式为：y=-0.51-+5

8.将函数y=2x+4的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达式

是.

【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”即可得到答案.

【解答】解：将函数y=2t+4的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函

数表达式是：y=2x+4-2,即y=2x+2.

故答案为：y—2x+2.

9.一支蜡烛长20a〃，每分钟燃烧的长度是2C〃3蜡烛剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)

之间的关系为

(不需要写出自变量的取值范围).

【分析】根据燃烧速度和燃烧时间求出燃烧长度，根据题意列出函数关系式.

【解答】解：•••每分钟燃烧的长度是20”，燃烧时间x分，

燃烧的长度为(cm),

蜡烛剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)之间的关系为：y=20-lx,

故答案为：y=20-2r.

10.已知一次函数y=L-1的图象如图所示，下列正确的有()个.

2

①点(-2,-3)在该函数的图象上；

②方程［-1=0的解为x=2；

2

③当x>2时，y的取值范围是y>0；

④该直线与直线y=-4+1平行.

【分析】①把x=-2代入解析式求得函数值与-3比较即可判断；②由图象与x轴的交

点即可判定；③根据图象即可判断；④用两直线的系数％的值来判定即可.

【解答】解：把x=-2代入解析式求得y=-2W-3,所以①错误;

,直线-1与x轴的交点为(2,0),

-2

・•.方程1=0的解为x=2,所以②正确；

由图象可知，当x>2时，，y>0,所以③正确；

♦.•直线1的一次项系数与直线y=-I+L的一次项系数相等，所以直线

222

-1与直线y=-4+L-平行，所以④正确，

2

故选:B.

11.如图，直线八：yi=or+匕经过(-3,0),(0,1)两点，直线立yi—kx-2；

①若/1〃/2，则&的值为；

②当XVI时，总有>1>”，则k的取值范围是

【分析】①由九〃/2可得k=a，将(-3,0),(0,1)代入y=ax+3求解.

②先求出x=l，»=”时k的值，根据图象可得k减小至两直线平行时满足题意.

【解答】解：①将(-3,0),(0,代入y=ax+b得(0=-3a+b

Il=b

解得

b=l

.■・y=-la+l,

.3

V/l/Z/2，

"=工，

3

故答案为：1.

3

②将x=1代入y=_lvt+l得y——,

33

二直线/i经过(1,A),

3

将（1,A）代入-2得2=h2,

33

解得火=改，

3

•.•直线/2经过定点（0，-2）,

当直线/2绕着点（0，-2）顺时针旋转至两直线平行时满足题意，

改，

33

故答案为：』蛇.

33

12.如图，函数），=履和y=-m+3的图象相交于A（匡，“），则不等式日〈-m+3的解

434

集为_______

【分析】以交点为分界，结合图象写出不等式匕＜-m+3的解集即可.

4

【解答】解：•••函数产fee和尸-当+3的图象相交于4（生〃?），

43

由图象知，当时，kx＜--Ir+3.

34

即：不等式日＜-&t+3的解集为：x＜生

43

故答案为：x＜生

3

13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数＞=-工+m的图象/2分别与X轴、y轴交于A,

2

8两点，正比例函数的图象/|与/2交于点C（2,4）.

⑴求m的值及人的解析式;

（2）若点M是线段AB上一点，连接。M,当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，

请求出点M的坐标.

y.

\\

£

【分析】(1)将点C坐标代入一次函数y=--Iv+zn可得m的值，设/1的表达式为：3，

2

=nx,由点C(2,4),即可求解；

(2)设M(小-1,+5)(0Wa<5),根据S"OM=2S.BOC，即可求解.

2

【解答】解：(1)一次函数y=-L+m的图象/2与人交于点C(2,4),

2

将点C坐标代入y=-工+加得：4=-Ax2+/71,解得：勿7=5,

22

设1\的表达式为：y=nx,

将点。(2,4)代入上式得：4=2小解得：〃=2,

故：1\的表达式为：y=2x；

(2)Vw=5,

...图象/2为、=-1+5,

2

(10,0),B(0,5),

VC(2,4),

，SABOC=4X5X2=5,

2

设M(a,-1+5)(0Wa<5),由题意可知SAAOM=2SMOC=10，

2

.'.SA4OM=AX10X|-Xz+5|=10,解得：a=6或14(舍去)，

22

.,.点M的坐标为(6,2).

14.如图，直线人的函数表达式为丫=1+2,且/1与x轴交于点A,直线，2经过定点8(4,

2

0),C(-1,5),直线/1与/2交于点O.

(1)求直线/2的函数表达式；

(2)求△AOB的面积；

(3)在x轴上是否存在一点E,使△口)£的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；

若不存在，请说明理由.

【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得/2的函数解析式；

（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式

即可求解；

（3求得。关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和C点的直线解析式，直线与x轴

的交点就是E.

【解答】解：（1）设/2的解析式是｝，=日+4

根据题意得：[&+b=0,解得：k=~7，

l-k+b=5b=4

则函数的解析式是：y=-x+4；

（2）在y=L+2,中令y=0,解得：x--2,则4的坐标是（-2,0）.

2

，y=-x+4z

解方程组《1，得：|X-£

y=yx+1Iy=2

则力的坐标是（2,2）.

贝I]6X2=6；

2

（3）D（2,2）关于x轴的对称点是。'（2,-2）,

则设经过（2,-2）和点C的函数解析式是y^mx+n,

则（2mtn=-2,

1-mtn=5

f7

解得：「，

8

n=T

则直线的解析式是y=-Xr+1.

33

令y=0,=-1x+旦=0,解得：x=—.

337

则E的坐标是（区,0）.

7

15.已知点P(xo，和)和直线y=kx+b,则点p到直线y=kx+b的距离d可用公式d=

兀+bl计算,例如：求点p(-[,2)到直线y=3x+7的距离.

由

解：因为直线y=3x+7,其中攵=3,b=7.

所以点P到直线的距离：d=I”了0+'=」3X,-l)-2+1|

Vru?71+3^Vio5

根据以上材料，解答下列问题：

(1)求点P(2,2)到直线y=x-2的距离.

(2)已知。C的圆心C的坐标为(2,1),半径r为J5，判断。C与直线y=-x+1的

位置关系并说明理由.

(3)已知互相平行的直线y=x-1与y=x+6之间的距离是点，试求b的值.

【分析】(1)将P点直接代入距离公式计算.

(2)计算圆心到直线的距离，将距离与半径比较，判断圆与直线之间的关系，

(3)在直线y=x-1上任取一点，计算该点到y=x+b的距离，可求得0.

【解答】解：(1)因为直线y=x-2,其中&=1,b=-2,

所以点P到直线的距离：d=lkx：yo+b|J与2_2-21=圾,

(2)因为直线丁=-x+],其中k=-1,b=l,

所以圆心C到直线的距离：：d=Ikx,yo+b|j_;x2]+]1=&,

•.•圆心到直线的距离d=M=r,

.••0C与直线y=-x+1相切.

(3)在直线y=x-1上取一点A(0,-1),

根据题意得，点A到直线y=x+b的距离是血,

因为直线y=x+b,其中k=l,b=b,

所以点4到直线的距离：d=[x,y°+bl=11X01-1)+b|=M，

即：|1+例=2,

解得：b=l或b=-3.

16.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性

质一一运用函数解决问题“的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点

或平移的方法画出了所学的函数图象，现在来解决下面的问题：

在函数y=a|x+l|+/?中，当x=3时，y=-1；当x=-2时，y=-4

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函

数的一条性质；

（3）已知函数y=/x-3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式

a|x+l|+hwL-3的解集.

2

【分析】（1）根据待定系数法可以求得该函数的表达式；

（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；

（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集.

【解答】解：（1）;•在函数），=小+1]+人中，当x=3时，y=-1；当x=-2时，），=-4

../4a+b=-l,得卜=1,

Ia+b=-4Ib=-5

J这个函数的表达式是丁=仇+1卜5；

(2)Vy=lr+l|-5,

.、.=[x-4(x)T)

[-x-6(x<C-l)

函数的图象如图所示，

山图象可知，当X>-1时，y随x的增大而增大；

（3）由函数图象可得，不等式加什1|+6W1-3的解集是-2W》忘2.

2

&真题再现,

1.（2021•浙江嘉兴）已知点P（«,b）在直线），=-3x-4上，且2a-56W0,则下列不等

式一定成立的是（）

A.且B.更》且C.也D,2《2

b2b2a5a5

【分析】结合选项可知，只需要判断出a和〃的正负即可，点。（a,b）在直线y=-3x

-4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a-5^0中，可判断出“与6正负，

即可得出结论.

【解答】解：•.•点P(a,b)在直线y=-3x-4上,

•*--3a-4=bi

又2a-5。<0,

：.2a-5(-3〃-4)W。，

解得“W-20<o,

17

当°=-空时，得/>=-_L,

1717

二62-且，

17

；2a-5bW0,

：.2a^5b,

••.b<2.

a5

故选：。.

其久模拟检测.

1.（2021•杭州模拟）函数y=k-l|的图象是（）

【分析】根据函数解析式求得该函数的性质，然后再作出选择.

【解答】解：•.,函数y=lr-1|=卜-吟刁）、,

[-x+l（x<l）

当x>l时，y随x的增大而增大；当x<l时，y随x的增大而减小；

故选:B.

2.（2021•上城区校级一模）两条直线,VI=»JX-〃与）2=心-m在同一坐标系中的图象可能

【分析】根据一次函数图象的性质加以分析即可.

【解答】解：根据一次函数的图象与性质分析如下:

A.由yi=，"x-〃图象可知/〃<0,n<0；由.V2="x-图象可知，"<0，〃>0.A错误；

B.由yi=,”x-〃图象可知,〃>0,"VO；由”=”x-图象可知/n>0,n<0.B正确；

C.由yi=，nr-〃图象可