高中数学必修二 第九章 统计 章末测试（提升）(含答案)

第九章统计章末测试（提升）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2021•四川•成都七中）奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，

去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的

数字特征是（）

A.众数B.方差C.中位数D.平均数

【答案】B

【解析】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1,故A错误；

对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据

偏离程度变小，即方差变小，故B正确；

对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故

5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；

对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；

故选：B

2.（2021•云南大理）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模

群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似

病例数据信息如下：

甲地：总体平均数为3,中位数为4；

乙地：总体平均数为1,总体方差大于0;

丙地：中位数为2,众数为3；

丁地：总体平均数为2,总体方差为3.

则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】1）

【解析】对于甲地，若连续10日的数据为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,则满足平均数为3,中位数为4,但不符合

没有发生大规模群体感染的标志，A错误；

对于乙地，若连续10日的数据为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,则满足平均数为1,方差大于0,但不符合没有发生

大规模群体感染的标志，B错误；

对于丙地，若连续10日的数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,则满足中位数为2,众数为3,但不符合没有发生大

规模群体感染的标志，c错误;

对于丁地，若总体平均数为2,假设有一天数据为8人，则方差S2>：X（8-2）2=4.5>3,不可能总体方差为

O

3,则不可能有一天数据超过7人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.

故选：D.

3.（2021•四川）2021年是中国共产党成立100周年，某学校团委在7月1日前，开展了“奋斗百年路，启

航新征程”党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的100名学生的分数（满分100分且每人的分值为整数）

分成6组：［70,75）,［75,80）,［80,85）,［85,90）,［90,95）,［95,100］得到如图所示的频率分布直方图,则下

列关于这100名学生的分数说法错误的是（）

A.分数的中位数一定落在区间［85,90）

B.分数的众数可能为97

C.分数落在区间［80,85）内的人数为25

D.分数的平均数约为85

【答案】B

【解析】A,由频率分布直方图可得

(0.01+0.02x2+0.03+Z?+0.07)x5=1,解得/?=().05,

前三组的概率为（0.02x2+0.05）x5=0.45<0.5,

前四组的概率为（0.02x2+0.05+0.07）x5=0.7>0.5,

所以分数的中位数一定落在第四组［85,90）内，故A正确；

B,分数的众数可能为87.5,故B错误；

C,分数落在区间［80,85）内的人数约为0.05x5x100=25,故C正确.

D,分数的平均数为：

72.5x0.02x5+77.5x0.02x5+82.5x0.05x5

+87.5x0.07x5+92.5x0.03x5+97.5x0.01x5=85,故D正确.

故选：B

4.（2021•四川郭都）为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制

成如图所示的茎叶图.有下列结论：

甲乙

985289

213012

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；

②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；

③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；

④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.

其中所有正确结论的序号是（）

A.②③B.①④

C.①③D.②④

【答案】A

【解析】甲的得分为25,28,29,31,32；

乙的得分为28,29,30,31,32：

因为#25+28+29+31+32）=29,#28+29+30+31+32）=30

为25-29）2+（28-29）2+（29-29）。+（31-29『+（32-29）1=6

1［（28-30）2+（29-30『+（30-30y十0】一30/十⑴-30）1=2

故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为6、2:

故正确的有②③；

故选：A

5.（20214工西•吉安一中）若样本。+%,〃+工2,…，。+当的平均值是5,方差是3,样本1+2为』+2与…1+2x〃

的平均值是9,标准差是6,则（）

A.a=\,b=y[i>B.a=2,b=y/6C.a=2,b=3D.a-\,b=25/3

【答案】D

【解析】设士,打…，%的平均值为平方差为I，

因为样本”+占,。+*2,…M+X”的平均值是5,方差是3,

所以a+x=5,$2=3,

因为样本1+2为,1+2々,…,l+2x”的平均值是9,标准差是6,

所以9=1+21，4s2=b2,

所以x=4,/>=26,a=l

故选：D

6.（2021•广东•广州大学附属中学）2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党

成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名

分布的频率条形图（如图），则下列命题塔送的是（）

前200名学生分布的饼状图前200名中高一学生排名分布的频率条形图

A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人

B.成绩第『100名的100人中，高一人数不超过一半

C.成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人

1）.成绩第51T00名的50人中，高二人数比高一的多

【答案】D

【解析】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200X（45%-30%）=30,A正确；

由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为200x45%xg=45<50,B

正确；

成绩第1-50名的50人中，高一人数为200x45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正确;

第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D错误.

故选:D.

7.(2021•浙江丽水•高一期末)新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三

产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如

图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.

以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是()

A.第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平

B.第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值

C.若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元

D.若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元

【答案】D

【解析】对于选项A：第一产业的生产总值为6%,在第三产业中，第三产业中''租赁和商务服务业”的行

业比重为6%,但第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值为57%x6%=3.42%,故选项A错误；

对于选项B：第一产业的生产总值为6%,在第三产业中，第三产业中“房地产业”的行业比重为13%,但

第三产业中“房地产业”的生产总值为57%xl3%=7.41%,6%<7.41%,故选项B错误；

对于选项C：若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，因为“住宿餐饮业”行业比重为3%,所以第三产业

生产总值为等=250000亿元，因为“金融业”行业比重为16%,所以“金融业”生产总值为250000x16%=40000

亿元，故选项C错误，

对于选项D：若“金融业”生产总值为41040亿元，因为“金融业”行业比重为16%,所以第三产业生产总

值为空学=256500亿元，又因为第三产业生产总值占比57%，第二产业生产总值占比37%，所以第二产业

16%

生产总值为考学x37%=1665()()亿元，所以选项D正确；

57%

故选：D.

8.（2021•全国•专题练习）关于圆周率历数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实

验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计万的值：先请全校团名同学每人随机

写下一个都小于1的正实数对（X,y）：再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数最后再

根据统计数々估计"的值，那么可以估计万的值约为（）

4aa+2a+2m仁4a+2m

A.—B.-----C.------D.-------

tnmtnm

【答案】D

0<x<l

【解析】根据题意知，机名同学取比对都小于1的正实数对（xy）,即

Ovy<l'

对应区域为边长为1的正方形，其面积为1,

x2+y2<1

x+y>l

若两个正实数能与1构成钝角三角形三边，则有

0<x<\

o<y<i

71

gKmo1e［士a7t15/口4a+2m

其面积s二一5；则有KW一5‘解得

故选：D.

二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2021•广东•仲元中学）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，

理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赌，该保险公司对5

个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图:

用样本估计总体，以下四个选项正确的是（）

A.30~41周岁参保人数最多B.随着年龄的增长人均参保费用越来越少

C.30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%D.丁险种最受参保人青睐

【答案】AD

【解析】对A：由扇形图可知，31〜41周岁的参保人数最多，故选项4正确；

对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项8错误；

对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%,故选项C错误;

对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项〃正确.

故选：AD.

10.（2021•广东肇庆•高一期末）己知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩（所中环数

越大，成绩越好）的频数分布表分别为：

环数5678910

甲中频数012430

环数5678910

乙中频数122221

下面判断正确的是（）

A.甲所中环数的平均数大于乙所中环数的平均数

B.甲所中环数的中位数小于乙所中环数的中位数

C.甲所中环数的方差小于乙所中环数的方差

1）.甲所中环数的方差大于乙所中环数的方差

【答案】AC

5x0+6x1+7x2+8x4+9x3+10x0

【解析】甲所中环数的平均数为=7.9

0+1+2+4+3+0

5x1+6x2+7x2+8x2+9x2+10x1一

乙所中环数的平均数为:-------------------------------------------=7.5

1+2+2+2+2+1

所以甲所中环数的平均数7.9大于乙所中环数的平均数7.5,选项A正确;

甲所中环数的中位数为：8,乙所中环数的中位数为：7.5

所以甲所中环数的中位数大于乙所中环数的中位数，选项B错误；甲所中环数的方差为:

»=10c/=10

)2

乙所中环数的方差为:酒才

S.2=0-----------=0.89=上----------=2.25

11010

所以乙所中环数的方差大于甲所中环数的方差，选项C正确；选项D错误.

故选：AC.

11.（2021•广东中山•高一期末）为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了

他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.

学生类别阅读量

阅读量

人数[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,+oo)

学生类别

男73125304

性别

女82926328

初中25364411

学段

高中

下面推断合理的是（）

A.这200名学生阅读量的平均数可能是26本；

B.这200名学生阅读量的75%分位数在区间［30,4（））内；

C.这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间［20,30）内；

1）.这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间［20,30）内.

【答案】BCD

【解析】对于A选项，由表中数据可知，男生的阅读量为24.5本，女生的阅读量为25.5本，故200名学

生的平均阅读量在区间（24.5,25.5）内，故错误；

对于B选项，由于200x75%=150,阅读量在［0,30）内的有7+8+31+29+25+26=126人，在［30,40）内的有

30+32=62人,故这200名学生阅读量的75%分位数在区间［30,40）内,正确;

对于C选项，设在区间［0,10）中的初中生有X人，由于在［0,10）内的人数共15人，故xe［0,15］,xeN,故当x=o

时，初中学生共116人，中位数为第58个与第59个的平均数，此时区间00,20）有25人，［20,30）有36人，

故中位数在［20,30）内；当*=15时，初中学生共131人，中位数为第66个，，此时区间［0,10）有15人，口0,20）

有25人，［20,30）有36人,故中位数在［20,30）内,所以当区间［0,10）人数最多和最少时,中位数都在区间

［20,30）内，故这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间［20,30）内，正确；

对于D选项，设在区间010）中的初中生有x人，由于在©10）内的人数共15人，故xe［0,15］,xeN,故当x=0

时，初中学生共116人，则116x25%=29人，此时区间U0,20）有25人，［20,30）有36人，故25%分位数可

能在区间［20,30）内；当x=15时，初中学生共131人，则131x25%=32.75,此时区间。助有15人，口0,20）

有25人，共40人，25%分位数可能在区间口0,20）内，故这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能

在区间［20,30）内，正确.

故选：BCD

12.（2021•广东•广州市培正中学）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有

发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲、乙、丙、丁四地

新增疑似病例数据信息如下：

甲地：中位数为2,极差为5；

乙地：总体平均数为2,众数为2；

丙地：总体平均数为1,总体方差大于0；

丁地：总体平均数为2,总体方差为3.

则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】AD

【解析】设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2,说明有一天疑似病例小于2,极差会超过5,

甲地每天疑似病例不会超过7,•••选A.

根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由

此不能断定一定没有发生大规模群体感染，，不选BC；

假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2,说明极差会超过3,.•・丁地每天疑似病例不会

超过7,•••选D.

故选:AD.

三、填空题（每题5分，共20分）

13.（2021•江苏•扬中市第二高级中学高一期末）已知样本数据菁，x2,…，W向的平均数与方差分别是"?

和"，若％=f+2（i=l,2,…，2020）,且样本数据的%，为，…，必02。平均数与方差分别是〃和加，则

X\+三+...+X；o20=.

【答案】4040

[-m+2=n

【解析】由题意得：，

[m=n

解得zn=l,n=l♦

2^0^X|+。2-if+…+（工2020Tf]=]，

r.x；++…+x^20+2020~2（X]+x[+…+x*,0）=2020,

.'.x,+宕+…+x短o=2（芭+x2+…+x2O2o）=2x2020=4040.

故答案为：4040.

14.（2021•北京•清华附中模拟预测）下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费

价格涨跌幅折线图.

全国居民消费价格涨跌幅折线图

说明：（1）在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年

2月相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较.

本期数-同期数本期数-上期数

（2）同比增长率=x100%,环比增长率=X100%.

同期数上期数

给出下列四个结论:

①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；

②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；

③2020年3月的消费价格低于2020年4月的消费价格；

©2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格.

其中所正确结论的序号是.

【答案】①④

【解析】①：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：同比增长率为-0.5%,由题中说明所给同比增长率定义

可知：2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故本结论正确；

②：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：2020年3月至6月环比增长率为负值，由题中所给的环比增长

率定义可知：2020年3月至6月居民的消费价格持续下降，所以本结论不正确：

③：设2020年3月的消费价格为的,2020年4月的消费价格为

根据题中所给的环比增长率公式可得：包二色x100%=-0.9%nq”0.991%,

所以。4<4,因此本结论不正确；

④：设2020年5月的消费价格为。5,2020年6月的消费价格为4,2020年7月的消费价格为内，

根据题中所给的环比增长率公式可得：

x100%=-0.8%n为b0-983%,x100%=-0.1%na6t0982%,

4a5

出二组x100%=0.6%nq=0988%,所以％<%,因此本结论正确；

故答案为：①④

15.(2021•辽宁沈阳)设某组数据均落在区间[10,60]内，共分为[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]

五组，对应频率分别为P”P”P3，P4,P5•已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形，给出下列

四个条件：

=0.1,p3=0.4；

②P2=2P5;

③“+。4=。2+2，=03；

④Pl融P24P3融区Ps-

其中能确定该组数据频率分布的条件有.

【答案】①④

【解析】已知P|=。5，。2='，。|+。2+。3+〃+。5=1，

若①P\=O-1,P3=0.4，则p2=0.2,p&=0.2,p5=0.1；

若②22=2。5，则P3+6P1=1,不能得出P”P3；

若（§）0+。4=22+25=0-3，则可得〃3=。4,但“，。2，。4，。5的解不确定，

若P融P24P3融24P5-则Pl=2P2=4P3=2%=P5，可得。3=^，Pl=死=^，02=%=^，

故答案为：①④.

16.（2021•河北•大名县第一中学高一月考）某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方

差为70,后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正

后的方差为.

【答案】60

【解析】因为甲实得80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记2（）分，

所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是80分，

设甲乙以外的其他同学的成绩分别为…，火。，

因为更正前的方差为70,

所以（60-80）2+（90-80）2+（4-80）?+…+（0-80）2=70x40,

所以（4-80）2+...+（〃4G-80）2=2800-4（X）—100=2300,

更正后的方差为：

二（80-80『+（70-80）2+（%-80）2+…+d-80）2100+2300”

S———OU'

4040

所以更正后的方差为60,

故答案为：60.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17.（2021•安徽•淮北一中）某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图

如下：

⑵求20位同学成绩的平均分；

(3)估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数(保留三位有效数字).

【答案】(l)a=0.005;(2)76.5：(3)第一四分位数为70.0；第80分位数为86.7.

【解析】(1)依图可得：(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=l,解得：“=0.005.

(2)根据题意得，(55x2a+65x3a+75x7"+85x6"+95x2a)xl0=76.5.

(3)由图可知,[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]对应频率分别为：0.1,0.15,0.35,0.3,

0.1,前两组频率之和恰为0.25,故第一四分位数为70.0.

前三组频率之和为0.6,前四组频率之和为0.9,所以第80分位数在第四组.

设第80分位数为x,则0.6+(x-80)x6x0.03=0.8,解得：x«86.7.

18.(2021•江西•赣州市赣县第三中学)2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益

康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，

也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司

加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉.在

加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽

取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),[60,70),…，[90,100],得到如下频率分

布直方图.

颜率

(1)求出直方图中卬的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据

用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01)；

(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的

方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个.

【答案】(1)m=0030；(2)平均数为71,中位数为73.33；(3)-等品有3个，二等品有2个.

【解析】(1)由10*(0.010+0.015+0.015+^+0.025+0.005)=1,得加=0.030,

所以直方图中加的值是0.030；

(2)平均数为1=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71，

因为。1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5,

220

所以中位数在第4组，设中位数为〃，则0.1+0.15+0.15+0.035-70)=0.5,解得〃=亍^73.33,

所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33；

(3)由频率分布直方图知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，

由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：5x黑=3(个)，二等品有：5-3=2(个)，

1(H)

所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个.

19.(2021•湖北•华中师大--附中高一期末)从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用

电量都在50〜350(度)之间，在进行适当分组(每组为左闭右开区间)，并列出频率分分布表、画频率分布直

方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就

得到了如图所示的“频率分布折线图”.

（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间［50,200）（度）内的用户的月用电量的中均数；

（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间［50,200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为

1600,所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200,且月用电最落在区间［50,200）（度）内的

用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间［200,350）（度）内的用户用电量的标

准差.

（参考数据：14?=196,262=676,72?=5184,482+1600=3904.1402+1600=21200,1882+5200=40544）

【答案】（1）作图见解析，朝）.0044；（2）140（度）；（3）.S=14炳.

由频率分布折线图或频率分布直方图得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.00⑵x50=1,

即x=0.0044；

⑵月用电量落在区间［50,100）（度），［100,150）（度），［150,200）（度）内的用户数分别为

0.0024x50x100=12,0.0036x50x100=18,0.0060x50x100=30,

所平均数=（25x12+125x18+175x30）+60=14。（度）；

⑶由（2）知，月用电落在区间[150,200）（度）的户数=12+18+30=60,

月用电量在区间[200,350）（度）内的户数=100-60=40,

设前60户的月用电分别为h。=1,2,…,60）,平均数为；=140,方差｛=1600,

后60户的月用电量分别为x（i=l,2,…,60）.平均数为亍，方差为《，.

fx,i=l,2,---,60____

全部100户的月用电量分别为Zj='.<平均数z=188,方差为s2=60x+40y=100z,

U-6O，I=61,62,-“,1OO

即7=260.

160_i160160160

故有s”而Z*而XZ：-1402=1600,有$2=Z-Z-=而ZZ：-1882=5200,

6。i=i6。i=iWOi=i100j=|

i60_oi（10060\

所以：五*=行之Zj2-之x：—26（）2=1960,

4Ui=i4UIi=]i=i）

故s=]4M.

20.（2021•广东南海•高一期末）在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组.给

参赛选手甲，乙打分如下：（用小组A,小组B代表两个打分组）

小组A:

甲：7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.5

乙：7.07.87.87.88.08.08.38.38.58.5

小组8：

甲：7.47.57.57.68.08.08.28.99.09.0

乙：6.97.57.67.87.88.08.08.59.09.9

⑴选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组A与小组8那

个更专业？

（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；

（3）若用专业评委打分的数据.选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后.剩下8个评委评分的

平均分.那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选

手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）.（以上计算结果保留两位小数）

【答案】（1）小组A更专业；（2）甲均分8.1,乙均分8；（3）甲均分8,乙均分8.06,两位选手排名有变化,

我认为去掉一个最高分，一个最低分后更合理

【解析】（1）小组A的打分中，

甲的均值

TT-7.5+7.5+7.8+7.8+8+8+8.2+83+84+9.5

X1=

110

=8.1

甲的方差

20.36+0.36+0.09+0.09+0.01+0.01+0.01+0.04+0.09+1.96

1二10

=0.302

乙的均值

—7+7.8+7.8+7.8+8+8+8・3+8・3+8・5+8.5

X）=-------------------------------

-10

=8

乙的方差

21+0.04+0.04+0.04+0.09+0.09+0.25+0.25

5/=--------------w-----------------

=0.18

小组B的打分中，

甲的均值

—74+7.5+7.5+7.6+8+8+8.2+8.9+9+9

X?=

310

=8.11

甲的方差

20.712+0.612+0.612+0.512+0.112+0.112+0.092+0.792+0.892+0.892

s=------------------------------------------------------------------------------------

310

=0.3749

乙的均值

—6.9+7.5+7.6+7.8+7.8+8+8+8.5+9+9

X尸-----------------m--------------

=8.01

乙的方差

20.712+0.612+0.612+0.512+0.112+0.112+0.092+0.792+0.892+0.892

§4=--------------------------10-------------------------

=0.3949

由以上数据可得，在均值均差0.01的情况下，小组B的打分方差较大，所以，小组A的打分更专业

（2）由（1）可得：小组A为专业评委，所以：

t『田的平均分X|=8.1

选手乙的平均分元=8

(3)由专业评委的数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，甲乙的均值分别为：

~-7.5+7.8+7.8+8+8+8.2+8.3+8.4

甲一8

=8

—7.8+7.8+7.8+8+8+8.3+8.3+8.5

乙8

=8.06

去掉一个最低分，一个最高分之后，乙的均值高于甲，按照10个数据计算时，甲的均值高于乙的均值，排

名不同。

我认为去掉一个最低分，一个最高分的评分方法更好

21.(2021•安徽省舒城中学)随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm),按照区间[160,165),

[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170a”及以上的学生人数;

(2)估计该校100名生学身高的75%分位数.

(3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本

方差分别为：m，x,S,2；n,y,盯.记总的样本平均数为W,样本方差为S?,证明:

小_m_n__

①w=--x+-----y；

tn+nm+n

②s2=^^{'"[s：+（工一/）1+〃[s；+（y-刃）1}.

【答案】(1)0.0660人；(2)176.25：(3)详见解析.

【解析】⑴由频率分布直方图可知5x(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=l,解得x=0.06,

身高在170。”及以上的学生人数100*5x（0.06+0.04+0.02）=60（人）.

(2)[180,185]的人数占比为5x002=10%,

[175,180]的人数占比为5x0.04=20%,

所以该校100名生学身高的75%分位数落在[175,180],

设该校100名生学身高的75%分位数为x,

则0.04(180—x)+0.1=25%,解得x=176.25,

故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.

（3）由题得①卬=------=-----x+-------y；②

m+nm+nm+n

i

孕e+小厂起m+n

1i=lj=\j=\

=——E(x-君2+22(±-x)(J-w)+m(x-w)2+Z(%-5)2+2一力(歹一羽+n(y-w)2

mfnn

，”m

又Z(xi~三)叵一日)=Zxi(无一日)一irix(x-w)=trix(x一访)一mx(x-w)=0

i=li=l

同理Z(力-》)('-m)=°，

J=1

〃

2

：.S=-^-Z（士+机（丁一印）2+Z（y,一刃2+〃（9-w）2

m+n

：:

----「，〃S：+皿5-沔+115：+〃(歹一