高二数学期末复习题（原卷版）

专题1.1一元函数的导数及其应用

【知识回顾】

(一)导数的概念

1.函数y=/(x)在x=xo处的导数

定义：称函数>=/(工)在X=沏处的瞬时变化率

lim""+Ax)__/(%)=hm”.为函数丁=式外在％=的处的导数，记作八沏)或了k=必，即

加TOAr加T°zkx

/(x0)=lim——lim----——――—―.

A.°Ax祗t。AX

2.函数的导函数

称函数/(%)=lim小+&)一/⑴为段)的导函数.

(二)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

y(x)=c(c为常数)F(x)=o

於)=/(〃WQ*)/(工)=〃炉一|

fix)=sinxf(x)=cosx

fix)=cosXf(x)=­sinx

f(x)=av\na

fix)=ef(x)=ex

fix)=\ogaX/(“)-xlna

『(x)=：

7(x)=lnx

2.导数的运算法则

(I)g)±g(x)]'=/(x)士g'(x)；

(2)L/(x>g(x)]'=f(x)g(x)+兀v)g，(x)；

|_g(X)Jg2(x)

(4)复合函数的导数

复合函数y='/(g(x))的导数和函数y=/(〃)，”=g(x)的导数间的关系为yx'—yu'-ux',即y对x的导数等于y对u

的导数与〃对x的导数的乘积.

(三)函数y=/Q)在x=x0处的导数几何意义

函数凡r)在点xo处的导数/(月)的几何意义是在曲线y=/(x)上点(xo,人检))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移

函数s⑺对时间f的导数).相应地，切线方程为y—y(沏)=/(xo)(x—xo).

(四)利用导数研究函数的单调性

在(a,匕)内可导函数/(x),/'(X)在(a,》)任意子区间内都不恒等于0.

尸(幻》0=/(%)在伍力)上为增函数.

尸(为<0=/(x)在伍力)上为减函数.

(五)函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，P(a)=O,而且在点x=a附近

的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f(b)=O,而且在点x=b附

近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

(六)函数的最值

(1)在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单

调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

(七)技能技巧

1.构造函数

(1)构造函数犹x),当条件中含“+”时优先考虑求x)；当条件中含“一”时优先考虑

XX

(2)构造函数与^：条件中含“灯。)一植x)”的形式；

构造函数欢心)：条件中含“破产(心的形式.

⑶构造函数：条件中含7Xx)-/(x)”的形式.

e

(4)构造函数/工。：条件中含了(x)sinx-/(x)cosx”的形式.

sinx

2.极值点偏移问题

(1)对于函数y=y(x)在区间(a,6)内只有一个极值点X0，方程贝%)=0的解为Xi，X2且“<》1。2<力，若些

初).则称函数y=/(x)在区间3,切上极值点偏移.

(2)极值点偏移问题的解法

①(对称化构造法)构造辅助函数：对结论xi+x2>2ro型，构造函数尸(x)=/U)f2xo—x)；对结论的超>自型,

构造函数尸(x)=/(x)—/田，通过研究小)的单调性获得不等式.

②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单

调性证明.

【真题精练】

1.(2021.全国•高考真题(理))设a=21nl.01,fe=lnl.02,c=VL04-l.则()

A.a<h<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<h

2.(2021•全国.高考真题(理))设4工0,若x=。为函数〃x)="x—“)2口一3的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>cr

3.(2022北京•高考真题)已知函数/*)=|igx卜米-2,给出下列四个结论:

①若％=0,/*)恰有2个零点；

②存在负数左，使得Ax)恰有个1零点；

③存在负数及,使得/(x)恰有个3零点；

④存在正数%,使得/(x)恰有个3零点.

其中所有正确结论的序号是.

4.(2021•全国•高考真题)已知函数/(幻=卜-1|,为<0,*2>0，函数，(x)的图象在点和点

8卜2，/(々))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于例，N两点，则黑^取值范围是.

5.(2022全国,高考真题)已知函数/(x)=(x-l)靖-加+〃.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)只有一个零点

12

®—<a<—,h>2a；

22

6.(2021.全国•高考真题(理))设函数"x)=ln(a-x),已知％=0是函数y=4(x)的极值点.

(1)求4；

Y-I-f(X)

(2)设函数证明:g(x)<l.

xf(x)

【热点精讲】

热点01导数的几何意义与计算

【典例1】（2021.全国.高考真题）若过点（。力）可以作曲线y=e”的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

【典例2】（2021•全国•高考真题（理））曲线>=*在点（-L-3）处的切线方程为__________.

x+2

热点02利用导数研究函数的单调性

【典例3X多选题】（2021•全国高一课时练习）设函数兀v）在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）

1

A.）=一，、；在R上为减函数B.在R上为增函数

1

c.产一TK在式上为增函数D.产-yu）在R上为减函数

-/（x）

【典例41（2020•四川省高三三模（理））定义在实数集R上的函数/（%）满足/（x+1）=/（I-,且当％之1

时，“X）是增函数，则a=/（log32）,8=log^g）,。=/（3）的大小关系正确的是（）.

A.a>b>cB.h>c>aC.c>a>bD.h>a>c

【典例5】（2020•江苏省睢宁县高级中学高三月考）己知/（X）=<x?一_2'x"<0，若|/（X）|.."在

3x-2,x>0

xe[-1,1]上恒成立，则实数”的取值范围是

【典例6】（2021•全国•高考真题（文））设函数31nx+1,其中a>0.

（1）讨论的单调性；

（2）若y=/（x）的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

热点03利用导数研究函数的极值、最值

【典例7】(2021•全国•高考真题)函数〃x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【典例8】(2021•北京・高考真题)己知函数/(同=1三.

(1)若。=0,求曲线y=f(x)在点(I"⑴)处的切线方程;

(2)若/(x)在x=-l处取得极值，求f(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

热点04导数与不等式的证明

【典例9】(2022.辽宁•二模)已知函数“好二工也工-3加^-尺加仁口).

⑴若直线N=x+〃与/(“)的图像相切，且切点的横坐标为1,求实数，"和b的值;

(2)若函数/(x)在(0,+oo)上存在两个极值点引,三，且“＜当，证明：ln±+lnx2＞2.

【典例10](2021•全国•高考真题)已知函数〃x)=x(l-lnx).

(1)讨论的单调性；

(2)设“，匕为两个不相等的正数，且。ln“_Hnb=a-b,证明：2＜』+：＜e.

ab

热点05恒成立问题与有解问题

【典例11】(2022.江苏•昆山柏庐高级中学高二期中)已知“力的定义域是(0,+8),尸(x)为f(x)的导函

数，且满足〃x)＜r(x),则不等式6一"卜2+"＞产2〃2)的解集是()

A.(—2,1)B.2)U(h+°°)

C.(-1,2)D.(7O,-1)U(2,+OO)

【典例12】(2022.辽宁•二模)已知不等式alnV-L+lz针对任意xe(0,l)恒成立，则实数“的最小值为

热点06零点问题

【典例13】(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=ae*-ln(x+l)+lna-l,若函数〃x)有且仅有两个

零点，求〃的取值范围.

【典例14】(2022•河南开封•三模(理))已知函数/(x)=e'-a(x+cosx),其中。>0,且满足对Wxe[0,+«>)

时，f(x)..O恒成立.

(1)求实数。的取值范围；

(2)令g(x)=/(x)-W，判断g(x)在区间内的零点个数，并说明理由.(参考数据：』=4.8)

专题1.2计数原理

【知识回顾】

一.分类加法计数原理

1.分类加法计数原理（加法原理）的概念

一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有班种不同的方法，在第2类方案中有m2种不

同的方法，……，在第n类方案中有叫，种不同的方法，那么完成这件事共有N=町+根2+……+根”种不同

的方法.

二.分步乘法计数原理

1.分步乘法计数原理（乘法原理）的概念

一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有町种不同的方法，做第2步有，々种不同的方法，....

做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=:4x"与x…x,%种不同的方法.

2.两个原理的区别：

（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间

的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖,

且是连续性的.

（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成

了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.

3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.

三.排列

1.排列的相关概念及排列数公式

（1）排列的定义：从“个不同元素中取出加（加《〃）个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个不同

元素中取出m个元素的一个排列.

（2）排列数的定义：从〃个不同元素中取出〃？（加个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同元素

中取出加个元素的排列数，用表示.

⑶排列数公式：4”=〃（〃一1）（〃一2）-・（〃一〃?+1）这里”,加€"£并且加<“

（4）全排列：〃个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列，

—1）（〃—2）…21=〃！（叫做n的阶乘）.排列数公式写成阶乘的形式为A"=-~~—,这里规定

yn-my.

0!=L

四.组合

组合的相关概念及组合数公式

（1）组合的定义：从“个不同元素中取出加（，九<〃）个元素合成一组，叫做从"个不同元素中取出，"个元

素的一个组合.

(2)组合数的定义：从〃个不同元素中取出m(加〈〃)个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同元

素中取出加个元素的组合数，用C；”表示

(3)组合数的计算公式：C：="=二1)(〃二2)…(“二"+1)=J，由于0!=1,所以C,,0=1.

A：m!m\yn-m)\

(4)组合数的性质:①=②c〃+「=c［+c;i；③=

五.二项式定理

i.二项式定理

nrr

(a+b)"=CW+C'na-'h+…+C；,a"-b+…+C'b"(neN"),这个公式所表示的定理叫做二项式定理,

右边的多项式叫做(a+8)”的二项展开式，其中的系数C；(尸=0,1,2,3,•••,〃)叫做二项式系数.式中的

nr

叫做二项展开式的通项，用(句表示，即展开式的第r+1项；Tr+l=C：,a-b'.

2.二.项展开式形式上的特点

⑴项数为〃+1.

(2)各项的次数都等于二项式的基指数〃，即“与。的指数的和为〃.

(3)字母a按降暴排列，从第一项开始，次数由〃逐项减1直到零；字母。按升基排列，从第一项起，次数

由零逐项增1直到〃.

(4)二项式的系数从C,〉C；,一直到C7，C；

六.二项式系数的性质

1.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：：=c：,c：=c'T,…，c,：=

(2)增减性与最大值：二项式系数C：,当r4速时，二项式系.数是递增的；由对称性知：当时,

二项式系数是递减的.

当〃是偶数时，中间的一项取得最大值.

/?+!〃-1

当〃是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值.

(3)各二项式系数的和

(a+。)”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C：；+C+…+C：+…+C：=2",二项展开式中，偶

数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C：+C：+C：+…=C：+C；+C：+…=2"T,

2.注意：(1).分清是第r+1项，而不是第，项.

（2）.在通项公式中，含有C：、a、b、〃、r这六个参数，只有。、b、〃、r是独

立的，在未知“、r的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出〃、r,然后

代入通项公式求解.

（3）..求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，

求出r,再求所需的某项；有时则需先求〃，计算时要注意〃和/■的取值范围以及它们之间的大小关系.

（4）在7；+1=C:屋一7/中，C：就是该项的二项式系数，它与。的值无关：而项的系数是指化简后

字母外的.数.

七.二项式定理的应用

二项式的应用

（1）求某些多项式系数的和；

（2）证明一些简单的组合恒等式；

（3）证明整除性，①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题;

（4）近似计算.当凶充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

〃("1)丫2

①(1+x)"=1+m；②(l+x)“al+，ix+人»

2

（5）证明不等.式.

【真题精练】

1.（2021•江苏•高考真题）已知（1一2“）’的展开式中/的系数为40,则"等于（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2021・全国•高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（)

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（)

A.60种B.120种C.240种D.480种

4.（2021・全国•高考真题（理））将4个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.-B.-C.|D.-

3535

5.（2022・上海・高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为

6.（2021•浙江•高考真题）已知多项式（X—1）3+（X+1）'=X4+4声3+%厂+“3》+”4，则“I=,

%+%+/=.

【热点精讲】

热点01两个计数原理及应用

【典例1]（2021•江苏•高考真题）下图是某项工程的网络图（单位:天），则从开始节点①到终止节点⑧的路径

共有（）

D.7条

【典例2］现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不

能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是（）

A.120B.140

C.240D.260

热点02排列问题与组合问题

【典例3】（2020•海南.高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个

村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【典例4】（2020•山东•高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不

同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）

A.12B.120C.1440D.17280

【典例5】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有—

种.（用数字填写答案）

【典例6】（2022.浙江.高二期中）有7个人排队，第一排3人，第二排4人（只考虑左右相邻，不考虑其他

相邻情况）.

（1）甲乙丙三人相邻有多少种排法？

（2）甲乙不相邻有多少种排法？

热点03求二项展开式的特定项

【典例7】（2021.湖南.高考真题）卜+gJ的展开式中常数项是.（用数字作答）

【典例8】（2019•浙江・高考真题）在二项式（血+外9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的

个数是.

热点04形如（a+b）m（c+d）n（m,neN*）的展开式问题

【典例9】（2019•全国•高考真题（理））（1+2X2）（1+x）4的展开式中/的系数为（）

A.12B.16C.20D.24

【典例10]（2020.全国•高考真题（理））（x+《）（x+），）5的展开式中港的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

热点05二项式系数和与各项系数和

【典例11】（2020.北京.高考真题）在（五-的展开式中，产的系数为（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【典例121【多选题】（2022•山东・青岛大学附属中学高二期中）若对任意实数x,有

（3x—2）=q）+4（x—1）+/（x—1）+…+%（x—1），则下列结论正确的是（）

9

A.a（）=-2B.a2=324

C.4+々+…+%=4'D.4+2a2+3a3+…+9cig—27x4s

【典例13】（2020.浙江•高考真题）设（1+24=4]+42工+。3/+442+%/+。6工'，则％=；

q+a2+a3=.

【典例14】（2022.上海.高考真题）在（v+gj的展开式中，含&项的系数为

热点06二项式系数的最值问题

【典例15]若多项式（2x+3y）"展开式仅在第5项的二项式系数最大，则多项式（炉+土一展开式中炉

的系数为（）

A.-304B.304C.-208D.208

【典例16】（2022•河北•高三阶段练习）若,2―J中丁的系数为一得，则“=.二项展开式

中系数最大的项为.

专题1.3随机变量及其分布列

【知识回顾】

1.相互独立事件

(1)概念：对任意两个事件A与8,如果P(A8)=P(A)尸(3),则称事件A与事件8相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与石，了与旦，不与万也都相互独立.

2.条件概率

(1)概念：一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(8|A)=—翳为在事件A发生的条件

下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型，P(B|A)=3翳；

②概率的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B\A).

3.全概率公式

一般地，设Ai，Ai,A”是一组两两互斥的事件，AiUA2U…UAa=Q,且P(A»>0,i=l,2,…，n,则

对任意的事件BUQ,有P(B)=2P(4)P(B|A,),

(=1

我们称上面的公式为全概率公式.

4.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点”，都有唯一的实数机”)与之对应,我们称X为随机变

量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

5.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为制，X2,…，X,”我们称X取每一个值Xi的概率P(X=Xi)=O,i

=1,2,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

6.离散型随机变量的分布列的性质：

①Pi20(i=l,2,…，")；②〃i+〃2~l-----

7.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

XX1X1・・・Xi…

・・・…

PP】〃2Pi〃〃

(1)均值

称E(X)=X]〃1+x2〃2+…+XM+…+x0/2〃=>KiDi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量

1=1

取值的平均水平.

(2)方差

称。(X)=3-E(X))20+3-E(X))2p2+…+(即-E(X))2p"=2(xLE(3)2pj为随机变量X的方差,并称Mj5

尸1

为随机变量X的标准差，记为“(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.

8.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2]D(aX+b)^a2D(X)(a,Z?为常数).

9.伯努利试验与二项分布

(1)伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称

为〃重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),用X表示事件A发生的次数,

则X的分布列为

P(X=&)=C£p*(l—〃)"f,々=0,1,2…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜8(〃，〃).

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=g,D(X)^p(1~p).

②若X〜8(”，p),则用%)=型，£>(%)="〃(1一〃).

10.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽取

的〃件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X=k)=k=m,m+1,/w+2,,,,,r,其中，n,MM&N,〃WN,/n=max{0,〃一N

LN

+M},r=min{小M],如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

11.正态分布

(1)定义

(.V-//)2

若随机变量X的概率分布密度函数为40=F-e2,xCR,

cj27t

其中，〃GR,“>0为参数,

则称随机变量X服从正态分布,记为X-M//,4).

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称.

(2)曲线在x=“处达到峰值短历.

(3)当网无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3o■原则

①Pa-oWXW〃+cr)-0.6827；

②2@一20忘*W〃+2<7)*0.9545；

③P(/L3ZXW〃+3g0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X〜N@,M),则E(X)=w，。(％)=巨.

【真题精练】

1.(2021•全国•高考真题)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,4),下列结论中不正确的是()

A.。越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

2.(2021•全国•高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,

每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表

示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

3.(2019.浙江•高考真题)设则随机变量X的分布列是：

X0a1

P工£

333

则当〃在(0,1)内增大时

A.£>(X)增大B.D(X)减小

c.O(x)先增大后减小D.Q(x)先减小后增大

4.(2020.海南・高考真题)信息燧是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,”，且

P(X=i)=p；>0(i=l,2,…,n),£p,=l,定义丫的信息端“£)=工4陶九()

1=11=1

A.若〃=1,则H(X)=0

B.若〃=2,则H（X）随着化的增大而增大

C.若p,=』（i=l,2,…,〃），则H（X）随着〃的增大而增大

n

D.若〃=2“随机变量y所有可能的取值为12…㈤，且P（y=/）=%+%"_,（/=1,2,…,M,则”（x）w“（y）

5.（2021.全国•高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一

类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束4类问题中的每个问题回答正确

得20分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得。分，已知小明能正确回答A类问

题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

6.（2021•全国•高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，

经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有

相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X=i）=p,（i=0,l,2,3）.

（1）己知外=0.4,A=0.3,=0.2,「3=0.1,求E（X）；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：外+川+22-+03*3=%的

一个最小正实根，求证：当E（X）41时，p=\,当E（X）>1时，p<\.

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

【热点精讲】

热点01条件概率

【典例1】（2022.山东.青岛大学附属中学高二期中）设A,B是两个事件，且P（A）>0,P⑻>0,则下列

结论一定成立的是（）

A.P（B|A）=P（3）B.P（B|A）=P（A|5）

C.P（AB）=P（B）P（B\A）D.

【典例2】（2022•吉林・长春市第八中学高二阶段练习）从1,2,3,4,5,6,7中任取2个不同的数，事件

A：“取到的2个数之和为偶数”，事件&“取到的2个数之和为3的倍数”，则尸（B|A）等于（）

7241

A.-B・；C.-D.-

9393

热点02全概率公式的应用

【典例3】某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和

35%,且四条流水线的产品不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02,现从该厂的这一产品中任取一件，问抽

到不合格品的概率是多少？

热点03分布列及其性质

【典例4】离散型随机变量X的概率分布规律为P（X=ri）=菊云（力=1,2,3,4）,其中a是常数，则,<也|）

的值为（）

A-3BiC-5D-6

【典例5]（2021・湖南•高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个,

蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.

（1）用4表示取到的豆沙粽的个数，求4的分布列；

（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.

热点04离散型随机变量的数字特征

【典例6】【多选题】（2022•吉林・长春市第八中学高二阶段练习）已知”展开式的二项式系数和为64,

离散型随机变量乂~3（”,）（0<2<1）,则下列命题中正确的有（）

A.〃=4

B.当。=g时，O（X）取得最大值

1io

C.当P=§时，P（X=llX<2）=-

D.E（X2）+Z）（_2X）_E0OX；E（X））的最小值为0

【典例7】（2022•浙江•高二期中）已知x,y,zeN*,且x+y+z=8,记随机变量X为x,y,z中的最小值，

则O（X）=.

热点05二项分布

【典例8】（2022.黑龙江.双鸭山一中高二期中）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相

平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶

端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格

子从左到右分别编号为1,2,3,……，6,用X表示小球落入格子的号码，则（）

A.P（X=1）=P（X=6）=*B.E（X）=|

35

C.o（x）=]D.o（x）=]

【典例9】（2019•天津•高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，.假

定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（I）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（H）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数

恰好多2”，求事件M发生的概率.

热点06超几何分布

【典例10】（2021•宁夏・青铜峡市高级中学高三月考（理））为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的

方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素X,V的含量（单位：毫克）.

下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号12345

X169178166175180

y7580777081

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素X,旷满足XN175且yN75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产

的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数J的分布列.

热点07正态分布

【典例11］（2022•山东・青岛大学附属中学高二期中）已知正态分布N。。?）的正态密度曲线如图所示,

则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）

B-g”(X*2)

C.^-P(1<X<2)D.；P(X42)-gp(X40)

【典例12】（2022.山东•青岛大学附属中学高二期中）某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录

用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招

聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结

果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.

（1）求最低录取分数（结果保留为整数）；

（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.

附：①当时，令丫=与幺，则y~N（0,l）.

②当y~N（0,l）时，42.17）*0.985,P（r<1.28）^0.900,P（y<1.09）»0.863,P（r<1.04）«0.85

热点08综合考题

【典例13】（2022.江苏.苏州中学高二期中）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，

小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇

到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是7:，g1.设小球向左的次数为随机变量X.

(I)求随机变量X的概率分布列；

(2)分别求出小球落入A袋和8袋中的概率.

【典例14】(2020•江苏•高考真题)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、

乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复”次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X〃，恰有2个

黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.

(1)求p/,4/和P2,42；

(2)求2P与2p”-/+q〃-/的递推关系式和X”的数学期望E(X〃)(用"表示).

【典例15](2022.山东•青岛大学附属中学高二期中)某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超

过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子,

若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，

可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.

(1)当进行完3轮游戏时，总分为X,求X的分布列和数学期望；

⑵若累计得分为i的概率为口(i=12…,9),初始分数为0分，记为=1

(i)证明：数列加-P“}(i=12…⑼是等比数列;

(ii)求活动参与者得到纪念品的概率.

专题1.4成对数据的统计分析

【知识回顾】

1.变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称

为相关关系.

(2)相关关系的分类：正相关和负相关.

(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近,我们称这

两个变量线性相关.

2.样本相关系数

n____

Z（X,—X）（y,—>■）

i=l

(2)当/>0时，成对样本数据正相关;当,y。时，成对样本数据负相关.

(3)|r|Wl；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当卜|越接近0时，成对样本数据的线性相

关程度越弱.

3.一元线性回归模型

(1)我们将称为y关于x的经验回归方程,

E（左-x）8-y）

A/=1

其中{加.-工）2

/=1

A____A____

、4=y-bx.

(2)残差：观测值减去预测值,称为残差.

4.列联表与独立性检验

(1)关于分类变量X和y的抽样数据的2X2列联表:

Y

X合计

Y=OY=\

x=oaba+b

x=\cdc+d

合计o+cb+cln=a+b+c+d

n(ad-be?

(2)计算随机变量/2=利用Z2的取值推断分类变量x和