高中数学《组合的综合应用》导学案

第2课时组合的综合应用

卜课前自主预习

R知识导学

知识点6排列与组合的联系和区别

排列与组合的共同点都是“从〃个不同元素中，任取加个元素”，如果交换

两个元素的位置对结果产生影响，就是画排列问题;反之，如果交换两个元素

的位置对结果没有影响，就是画组合问题.简而言之,画排列问题与顺序有

关，画组合问题与顺序无关.

知识点匚解排列组合综合题的思路

解决该问题的一般思路是先选后排，先囤组合后画排列,解题时应灵活

运用画分类加法计数原理和叵1分步乘法计数原理.分类时，注意各类中是否

分步，分步时注意各步中是否分类.

5］知识拓展

利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：

(1)将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；

(2)要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题

具体分析；

(3)常用间接法解决该类问题.

H自诊小测

1.判一判(正确的打"，错误的打"X")

(1)3个相同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是

排列问题.()

(2)3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是

组合问题.()

(3)将9本不同的书分成三堆是平均分组问题.()

答案(1)X(2)X(3)V

2.做一做

(1)4种不同的种子，选出3块不同的土地，每一块地只能种一种，则不同的

种法有种.

(2)从3名女生、4名男生中选4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有

男生又有女生，则不同的选法共有种.

(3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有

种不同的分法.

答案(1)24⑵34(3)360

解析⑴C?A§=24(种).

(2)G-C才=34(种).

(3)C&CgdAW=360(种).

卜课堂互动探究

探究1有限制条件的组合问题

例1男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出

比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)既要有队长，又要有女运动员.

［解］(1)第一步：选3名男运动员，有Cg种选法；第二步：选2名女运动员，

有C2种选法，故共有Cg-C3=12O种选法.

(2)解法一：(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，

2女3男，3女2男，4女1男.

由分类加法计数原理知共有Cl-a+C£Cg+C3cW+C，.CA=246种选法.

解法二：(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有C%种选法，其中全

是男运动员的选法有3种，故“至少有1名女运动员”的选法有C%)—以=

246(种).

(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C8种选法；不选女队长时，必选男

队长，共有a种选法，其中不含女运动员的选法有3种，故不选女队长时共有

cg-d种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有c8+d-c4=i9i(种).

拓展提升

解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除

法)”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排

特殊元素，再安排其他元素.而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正

面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否

简单些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都

不是”“不都是““至多至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关

键.

［跟踪训练1］有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，

另外两名英、日都精通，从中找出8

人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻译日语，这

两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？

解解法一：按“英、日都会的人”的参与情况，可分为三类：

第一类，“英日都会”的人不参加，有del种；

第二类，“英日都会”的人有1人参加，该人可参加英语，也可参加日语，

共有acgca+acgca种；

第三类，“英日都会”的均参加共有cSc3A3+cgc?+d&种.

由分类加法原理可得共有de?+cJege?+©del+egeiA3+cscHdc2=

185种.

解法二：按“英日都会”的人参加英语翻译的人数可分为三类.

第一类，“英日都会”的人不参加英语翻译，有c4a种；

第二类，“英日都会”的人恰有一人参与英语翻译，共有©cgd种；

第三类，“英日都会”的人全部参与英语翻译共有egea种.

由分类加法原理可得共有C4a+C3CgCg+CgC3=185种.

探究2与几何有关的组合问题

例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A,B的六个点G,C2,

C3,C4,。5,C6,直径45上有异于A,8的四个点。2,。3,。4.

问：（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含。点的

有多少个？

（2）以图中的12个点（包括A,B）中的4个为顶点，可作出多少个四边形？

［解］⑴C2+CbC3+C有©=116（个）.

其中以G为顶点的三角形有

Cg+C卜C3+C1=36（个）.

⑵C2+CZa+CW-CZ=36O（j）.

拓展提升

(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分

析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组

合的模型加以处理.

(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形,

防止多算.常用直接法，也可采用排除法.

(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构

造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象

成组合问题来解决.

[跟踪训练2](1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,

使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少

种不同的取法.

解(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，

从中取出3点必与点A共面共有3cs种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，

它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，与顶点A

共面的三点的取法有3Cg+3=33(种).

(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C%种，除去4点共面的取

法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.有4a

=60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6

条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，

故4点不共面的取法为Cfo-(60+6+3)=法1(种).

探究3分组、分配问题

角度1：不同元素分组、分配问题

例36本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；

(2)分为三份，每份两本；

(3)分为三份，一份一本，•一份两本，一份三本；

(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.

［解］(1)先从6本书中选2本给甲，有C*种选法；再从其余的4本中选2本

给乙，有C3种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C芬中选法；所以分

给甲、乙、丙三人，每人2本，共有C支支2=90种方法.

(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C支宽涮方法，这个过程可以分两步完

成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、

丙三名同学有A3种方法.根据分步乘法计数原理可得：ClClCi=xM,所以x=

盘祟=15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.

(3)这是“不均匀分组”问题，一共有dC3d=6O种方法.

(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C&CgdA?=360种方法.

(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CWC?C3=9O

种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C&C支执3=360种方法；③“1、

1、4型”，有CgAW=90种方法.所以一共有90+360+90=540种方法.

拓展提升

“分组”与“分配”问题的解法

(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题

大有裨益.要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的.

(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，最后必须除以组数的阶乘；

②部分均匀分组，应注意不要重复，有〃组均匀，最后必须除以〃!；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.

(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组

后再分配.

［跟踪训练3］按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？

(1)各组人数分别为2,4,6人；

(2)平均分成3个小组；

(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间.

解(l)C?2CtoC^=13860.

-C2c心一

(2)人？—5775.

(3)分两步：第一步平均分三组，第二步让三个小组分别进入三个不同车间,

故有Ch警1.A?=cf2.C篦C4=34650种不同的分法.

角度2：相同元素分配问题

例46个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.

(1)每个盒子都不空；

(2)恰有一个空盒子；

(3)恰有两个空盒子.

［解］(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然

后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有Cg=10(种).

(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并

在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，^ri|O|OOO|OO|,有Cg种插法；然后将剩

下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|,有CL种插法，故共有

CgC=40(种).

(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并

在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有Cg种插法，如|00|0000|,然后将剩

下的两块隔板插入形成空盒.

①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|,有△种插法.

②将两块板与前面三块板之一并放，如|00川0000|,有C4种插法.

故共有C卜©+C4)=3O(种).

拓展提升

相同元素分配问题的处理策略

(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的

小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板

的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相

同元素的分配问题.

(2)将〃个相同的元素分给加个不同的对象(〃2m)，有05"种方法.可描述

为n―1个空中插入m―1块板.

［跟踪训练4］将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.

(1)每盒至多一球，有多少种放法？

(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少

种放法？

(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它

的编号数，有多少种放法？

解(1)这是全排列问题，共有A?=24种放法.

(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C：种，当1个球与1个盒子的编号

相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有CM2=8种放

法.

(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个

球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，

故共有C?C，=12种放法.

(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的

14个球分成四组，即在。这14个球中间的13个空

中放入三块隔板，共有C3=286种放法，如

OO|OOOOO|OOO|OOOO,即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7

个球.

探究4排列、组合的综合应用

例5有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，

求分别符合下列条件的选法数.

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文科代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；

(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科

代表.

［解］(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CSC3

+C&C4种，后排有Ag种，共(CgC3+C支»A§=5400(种).

(2)除去该女生后，先取后排，有C4A4=840(种).

(3)先取后排，但先安排该男生，有C/CMA3=336O(种).

(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C2种，再安排该男生有C3种，

其中3人全排有A薪中,共C&C$A3=360(种).

拓展提升

解决排列、组合综合问题要遵循的两个原则

(1)按事情发生的过程进行分步；

(2)按元素的性质进行分类.解决时通常从三个途径考虑：

①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合

数.

［跟踪训练5］有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字

123,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡

片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种？

解分三类：

第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有

A4种.

第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有ClCaA才

种.

第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C%C%A?

种.

故满足题意的所有不同的排法种数共有C3CCC.A才+2C3-C%A4=432.

掰峨外1-------------------

f---------------------1

1.无条件限制的组合应用题.其解题步骤为：

（1）判断；（2）转化；（3）求值；（4）作答.

2.有限制条件的组合应用题

（1）“含”与“不含”问题：

这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特

殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题

的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少"''全

是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.

（2）几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何

中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，

将几何问题抽象成组合问题来解决.

（3）分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要

元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，

仍然是可区分的.

卜随堂达标自测

1.市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座

位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（）

A.48B.54C.72D.84

答案C

解析根据题意，先将3名乘客进行全排列，有A§=6（种）排法，排好后，有

4个空当，再将1个空位和余下的两个连续的空位插入4个空当中，有A4=12（种）

方法，根据分步乘法计数原理，共有6X12=72（种）候车方式.选C.

2.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点

作为一组.其中可以构成三角形的组数为（）

A

-----------------------Ifi

A.208B.204

C.200D.196

答案C

解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4

个点，其组数为3C0；二是4条竖线上的3个点，其组数为4CW；三是4条对角

线上的3个点，其组数为43,所以可以构成三角形的组数为：Cb-3a-8C^=

200,故选C.

3.若从1,2,3,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不

同的取法共有（）

A.60种B.63种C.65种D.66种

答案D

解析分三种情况：（1）4个都是偶数；（2）两个为偶数，两个为奇数；（3）4个

都是奇数.故共有C£+C3Cg+Cg=66（种）.故选D.

4.2016年3月10日是第十一届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分

成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日

的主题：“尽快行动，尽快预防”，不同的分配方案有种（用数字作答）.

答案90

解析C*：；&A3=9O种.

5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中

任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取

法的种数.

解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，

则有C2XCLXCJ=64（种），

若2张同色,则有C3XC3><C3xa=144^）；

若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有ClXC3xaxCj=192（种），

剩余2张同色，则有axc4xc?=72（种）,

所以共有64+144+192+72=472种不同的取法.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.在平面直角坐标系xOy中，平行直线尤=机（m=0,1,2,3,4）与平行直线y=

〃（〃=0,1,2,3,4）组成的图形中，矩形共有（）

A.25个B.100个C.36个D.200个

答案B

解析可以组成Cg.Cg=10X10=100个矩形.故选B.

2.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会

划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则

不同的选派方法共有（）

A.56种B.68种C.74种D.92种

答案D

解析根据划左舷中有“多面手'’人数的多少进行分类：划左舷中没有“多

面手”的选派方法有deb种，有一个“多面手”的选派方法有c3c3cg种，有两

个“多面手”的选派方法有种，即共有20+60+12=92种不同的选派方法.

3.两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现

的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种C.20种D.30种

答案C

解析按比赛局数分类：3局时有2种，4局时有2d种，5局时有2c3种，

故共有2+2C3+2cz=20种.选C.

4.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4

位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

A.4种B.10种C.18种D.20种

答案B

解析分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有色=6种

方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有CL=4种方法，所以不同的

赠送方法共有6+4=10（种）.故选B.

5.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年

级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考

虑位置），其中大一的李生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名

同学来自同一年级的乘车方式共有（）

A.24种B.18种C.48种D.36种

答案A

解析第一类：大一的李生姐妹在甲车上，甲车上剩下2名同学要来自不同

的年级，从三个年级中选两个年级，有C3种选法，然后从选出的两个年级中再分

别选1名同学，有C3C3种选法，剩下的4名同学乘坐乙车，则有C?ClCi=3X2X2

=12种乘车方式；

第二类：大一的李生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选同一个年级

的2名同学在甲车上，有de芬中选法，然后再从剩下的两个年级中分别选1名同

学，有C4C）种选法，则有acac£,=3XlX2X2=12种乘车方式.因此共有12

+12=24种不同的乘车方式.故选A.

二、填空题

6.有编号为1,2,3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装

入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有

答案15种

解析将编号为1,2,3的盒子分别放入1个，2个，3个小球，将剩下4个球

放入三个盒子有四类情况，即“4+0+0”“3+1+0”“2+2+0”“1+1+2”，

故共有C4+A4+C4+C4=15（种）.

7.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分

配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.

答案60

解析只需看3张有奖的分配情况就可以，有两类.

①4人中每人至多1张有奖，共有A?=4X3X2=24种获奖情况.②4人中，

有1人2张有奖，还有1人1张有奖，其余的2人无奖.共有分法:C}A1=3X4X3

=36.

总之，共有24+36=60种不同的获奖情况.

8.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个

人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且

这2个房间不相邻的安排方式的种数为.