苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5-3-1单调性课件

1.由导数符号判断函数单调性对于函数y=f(x),如果在某区间上f'(x)>0,那么f(x)在该区间上单调递增;如果在某区间上f'(x)<0,那么f(x)在该区间上单调递减.若在某个区间内,f'(x)≥0,且只在有限个点处f'(x)=0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f'(x)≤0,且只在有限个点处f'(x)=0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减.5.3

导数在研究函数中的应用知识点

导数与函数的单调性的联系5.3.1单调性2.由函数单调性判断导数符号若函数y=f(x)在某区间上单调递增,则在该区间上有f'(x)≥0恒成立(但不恒等于0);若函数

y=f(x)在某区间上单调递减,则在该区间上有f'(x)≤0恒成立(但不恒等于0).知识辨析1.在区间(a,b)内,若f'(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?2.若函数f(x)在整个定义域内都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增,对吗?3.由f'(x)>0或f'(x)<0能求得f(x)的单调区间,所以函数f(x)的单调区间只能写成开区间,这种说

法对吗?4.“函数的单调区间是(a,b)”和“函数在(a,b)上单调”说法是一致的吗?5.导数的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度,这个说法正确吗?一语破的1.不一定.比如f(x)=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数f'(0)=0.2.不对.比如f(x)=-

,虽然在定义域内满足f'(x)=

>0,但在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内不具有单调性.3.不对.若函数在单调区间的端点处有意义,则区间写成开区间或闭区间都可以,若无意义,则

只能写成开区间.4.不一致.函数的单调区间是函数单调的完整区间,而在某区间上单调时,这个区间是函数单

调区间的一个子区间.5.不正确.导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.1.导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负,图象下降”

的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负.解决问题时,一定要分清是原

函数图象还是导函数图象.2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,

这时,函数的图象就比较“陡峭”;反之,函数的图象就“平缓”一些.定点1导数与函数图象间的关系关键能力定点破典例已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是

(

)

A

B

C

DC解析

由题图可知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0;当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然C符合.故选C.1.利用导数求函数f(x)单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;(4)确定f(x)的单调区间.注意:单调区间一定是函数定义域的子集.2.含参函数的单调性问题研究含参函数的单调性问题,要依据参数对导函数的影响进行分类讨论,通常考虑以下

几方面:①导函数的类型;定点2利用导数研究函数的单调性②导函数是否存在零点;③导函数的零点是否在函数定义域内;④若导函数在函数定义域内有多个零点,则需比较它们的大小关系.典例已知函数f(x)=(x-1)ex-

ax2(a∈R),讨论f(x)的单调性.思路点拨

求f(x)的定义域及f'(x)

对a分情况讨论

确定f'(x)的符号

得到函数的单调性.解析

由已知得f(x)的定义域为R,f'(x)=ex+(x-1)ex-ax=x(ex-a).若a≤0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.若a>0,令f'(x)=0,得x=0或x=lna.①若a=1,则f'(x)=x(ex-1)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.②若0<a<1,则lna<0,当x∈(-∞,lna)∪(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(lna,0)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,lna)和(0,+∞)上单调递增,在(lna,0)上单调递减.③若a>1,则lna>0,当x∈(-∞,0)∪(lna,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(0,lna)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(lna,+∞)上单调递增,在(0,lna)上单调递减.综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,f(x)在(-∞,lna)和(0,+∞)上单调递增,在(lna,0)上单调递减;当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在(-∞,0)和(lna,+∞)上单调递增,在(0,lna)上单调递减.已知f(x)在区间(a,b)上单调,求参数的值(取值范围)的步骤(1)求导;(2)将f(x)在(a,b)上单调递增(减)转化为不等式恒成立处理,即f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立;(3)利用最大(小)值解决不等式的恒成立问题,从而确定参数的值(取值范围);(4)注意验证等号能否取到.定点3已知单调性求参数的值(取值范围)典例已知函数f(x)=x3-ax+b.(1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值.思路点拨

(1)求f'(x)

由f'(x)≥0分离参数a

确定实数a的取值范围.(2)思路一:f'(1)=0

确定实数a的值.思路二:对参数a进行分类讨论

得到实数a的值.解析

(1)由题易得f(x)的定义域为R,且f'(x)=3x2-a.若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,因为x>1,所以3x2>3,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].(2)解法一:由题知f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,a=3满足条件,所以a=3.解法二:令f'(x)≥0,得x2≥

.若a≤0,则x2≥

恒成立,即f'(x)≥0恒成立,此时,f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.若a>0,由f'(x)≥0,得x≥

或x≤-

.因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,所以

=1,即a=3.陷阱分析

理解题意时,要注意“(1)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”与“(2)函数f(x)的一个

单调递增区间为(1,+∞)”的区别,其中(2)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的一个完整的单调递增

区间,而(1)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的单调递增区间的子区间.1.利用单调性解不等式的关键是构造函数,研究新函数的单调性及其导函数的结构形式,因此

熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果.(1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),即导函数大于某个非零常数

(若a=0,则无需构造),则可构造h(x)=f(x)-ax.(2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).(3)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=ex·f(x).(4)对于f'(x)-f(x)>0,构造h(x)=

.(5)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=x·f(x).(6)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=

.定点4构造函数,利用导数证明(解)不等式(7)对于

>0,分类讨论:①若f(x)>0,则构造h(x)=lnf(x);②若f(x)<0,则构造h(x)=ln[-f(x)].2.利用导数证明不等式的步骤(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移项,构造函数F(x)=f(x)-g(x),转化为证明F(x)>0.(2)确定函数的单调性,若F'(x)>0,则F(x)在(a,b)上单调递增;若F'(x)<0,则F(x)在(a,b)上单调递

减.(3)将单调区间的端点值代入,若函数F(x)单调递增,且F(a)≥0,则当x∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x);若F(x)单调递减,且F(b)≥0,则当x∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).典例1已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+

1)>(x-1)f(x2-1)的解集是

(

)A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(1,2)

D.(0,1)A解析

设g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x).∵f(x)<-xf'(x),∴g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴

解得x>1.将原不等式的两边同乘x+1,得(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),即g(x+1)>g(x2-1),∴x+1<x2-1,解得x>2或x<-1(舍去),∴原不等式的解集为(2,+∞).典例2求证:当x>1时,