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文档简介

一般地,证明一个与正整数n有关的数学命题,可按如下两个步骤进行:(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫作数学归纳法.

知识点

数学归纳法4.4

数学归纳法❋知识辨析1.用数学归纳法证明问题时,第一步一定是验证当n=1时结论成立吗?2.证明与正整数n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确就可以吗?3.在利用数学归纳法证明问题时,如果推理过程正确,就可以不用归纳假设吗?4.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1(k∈N*),等式左边一定只增加了一项吗?一语破的1.不一定.如证明凸n边形的内角和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立.2.不可以.由n取前几个值时命题正确,推不出与正整数n有关的命题正确,是不完全归纳法.3.不可以.如果不用归纳假设,那么后续的证明就没有了基础,数学归纳法的步骤缺一不可.4.不一定.如用数学归纳法证明1+a+a2+…+a2n+1=

(a≠1)时,由n=k到n=k+1,等式的左边增加了两项.定点1用数学归纳法证明不等式关键能力定点破用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,主要方法有比较法、

放缩法等.用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求

进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类往往要先对n取前k个值的情

况分别验证比较,以免出现判断失误的情况,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常用数学

归纳法证明.典例用数学归纳法证明:

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

(n∈N*).证明

(1)当n=1时,左边=1,右边=1-

=

,左边>右边,所以不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

,则当n=k+1时,

+

+…+

+

>1-

+

-

+…+

-

+

>1-

+

-

+…+

-

+

=1-

+

-

+…+

-

+

-

,即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,不等式对任何n∈N*都成立.“归纳—猜想—证明”的解题步骤

定点2用“归纳—猜想—证明”解决与递推公式有关的数列问题典例已知数列{an}中,

=-

,其中n≥2,且n∈N*.从条件①:a1=

与条件②:a1a2=-

,且a1>0中任意选择一个,完成下面的问题.(1)求a2,a3,a4,并猜想{an}的通项公式;(2)证明(1)中的猜想.解析

(1)选条件①.由题意可得a2=a1·

=-

,同理可得a3=

,a4=-

,猜想an=

(n∈N*).选条件②.由题意可得

=-

=-

,∵a1>0,a1a2=-

,∴a1=

,a2=-

,∴a3=a2·

=

,同理可得a4=-

,猜想an=

(n∈N*).(2)证明:显然当n=1时,猜想成立,假设当n=k时,猜想成立,即ak=

(k∈N*),当n=k+1时,由

=-

,可得

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