2021年中考数学模拟（二模）试卷集篇（上海专用）二

2021年上海市中考数学模拟（二模）测试卷02【上海专用】

（试卷满分：150分）

一、单选题（每小题4分，共24分）

1.下列计算错误的是（）

A.X2+X2=2X2B.（x—y）2=x2—y2C.（^）3=%6）^D.（―x）2-x3=x5

【答案】B

【解析】

根据代数式的运算法则计算.解：A、/+尤2=2%2,正确；

B、（x->?）2=x2-2xy+y2,错误；

C、（/y）=xby3»正确；

D、（-%）2%3=%5,正确;

故选B.

【点睛】

本题考查代数式的运算，熟练掌握多项式的乘法和整数指数幕的运算是解题关键.

2.在平面直角坐标系中，若点8（根一3,加+1）在第二象限，则制的取值范围为（）

A.-1<；??<3B.m>3C.m<—1D.m>—l

【答案】A

【解析】

点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，可得m-3V0,m+l>0,求不等式组的解即可.解：：

点6（加-3,772+1）在第二象限,

m-3<0

•••可得到《

m+1>0

解得加的取值范围为一1（加<3.

故答案为：-l<w<3.

【点睛】

此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个

象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（-,+）；第三象限（-,-）；第四象限（+,-）.

75

3.从下列4个函数：①y=3x-2；②）二——；③y=—（x>0）；④y=中任取一个，函数值y随自变

xx

量X的增大而增大的是（）

A.①B.C.③D.@@

【答案】A

【解析】

利用一次、二次函数，以及反比例函数的性质判断即可.解：①y=3x-2,...y随自变量X的增大而增

大；

7

②丁二一一,.,.在每个象限内，y随自变量x的增大而增大；

X

③y=2（x〉o）,TS〉。，...x〉。时，y随自变量X的增大而减小；

④3；=一/，.•.当x<o时，>随自变量x的增大而增大，当x>0时，y随自变量x的增大而减小；

故选A.

【点睛】

此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解本题的关键.

4.下表是某校合唱团成员的年龄分布:

年龄/岁13141516

频数515X10-x

对于不同的X,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.平均数、中位数B.中位数、方差C.平均数、方差D.众数、中位数

【答案】D

【解析】

由频数分布表可知后两组的频数和为10,即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、

16个数据的平均数，可得答案.解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10,

则总人数为:5+15+10=30,

14+14

故该组数据的众数为14岁，中位数为：------=14岁，

2

即对于不同的X,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数

及方差的定义和计算方法是解题的关键.

5.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

【答案】D

【解析】

利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解.解：：菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相

等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直;

平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分,

二菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键.

6.如图，在梯形ABCO中，AD//I3C,NB=90。，AD=2,AB=4,BC=6,点。是边BC上一点，以。为圆心,

0c为半径的O。，与边4。只有一个公共点，则0C的取值范围是（）

1414

C.4<0C<—D.4<0C<——

33

【答案】B

【解析】

作。E_LBC于E,当0。与边AO相切时，圆心。与E重合，即0c=4；当0A=0C时，。。与A。交于点A,

13

设。4=0C=x,则0B=6-x,在RtaABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC=—；即可得出结论.作

3

DELBC于E,如图所示：

则£>E=A8=4,BE=AD=2,

：.CE=4=DE,

当。。与边4。相切时，切点为£>,圆心。与E重合，即0C=4；

当O4=0C时，G）。与AD交于点A,

设OA=OC=x,贝08=6-x,

在RtAAB。中，由勾股定理得：42+（6-x）2=f,

解得：x——;

3

13

...以。为圆心，0C为半径的。。，与边A。只有一个公共点，则0C的取值范围是4£区一;

3

故选B.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是

解题的关键.

二、填空题(每小题4分，共48分)

7.计算：J(3-77)2=.

【答案】3-币

【解析】

先判断3-"的正负，再根据二次根式的性质化简即可.解:V3-V7>0.=3-不，

故答案为：3-V7.

【点睛】

a(a>0)

本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.二次根式的性质有：C=|4=<

-a(a<0)

(&)=>0)>\[ab=4a-\[b^a>0,b>Q^,

ris°'「

8.将抛物线丫=2/一1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是

【答案】y=2——4

【解析】

函数图象上下平移时，根据“上加下减''求解即可.抛物线,=2/一1向下平移3个单位后表达式为：

y=2x2-l-3=2x2-4,

故答案为：y=2x2-4.

【点睛】

本题考查函数图象平移，熟记平移法则是解题关键.

9.-1000的立方根是.

【答案】-10

【解析】

根据立方根的定义求解即可.解：汇同=-10，

故答案为：一10.

【点睛】

本题主要考查对立方根的理解，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键.正数有一个正的立方根，负数有一个

负的立方根，。的立方根是0.

x+y=-3

10.方程组〈一的解是________-

xy=2

x=—2[x=-1

【答案】＜।或1°

y=—1[y=-2

【解析】

首先把方程①变形为1=-3-丁，然后利用代入法消去工，得到关于y的一元二次方程，解方程求出y,然后就

卜+y=-3①

可以求出X,从而求解.解:

.孙=2②

由①得，x=-3-y@,

把③代入②得，（一3-y）y=2,

解得：X=T，%=-2,

把X=-l，%=-2分别代入③得，%=-2，x2=-1,

x=-2fx=—1

，原方程组的解为：<或<7

」=T[y=-2

x——2x=­l

故答案为：\，或《

y=-iy=-2，

【点睛】

此题主要考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一

个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可.

11.运输两批救援物资：第一批220吨，用4节火车皮和5辆货车正好装完；第二批158吨，用3节火车皮和2

辆货车正好装完.如果每节火车皮的运载量相同，每辆货车的运载量相同，那么一节火车皮和一辆货车共装救援

物资吨.

【答案】54

【解析】

设一节火车皮装救援物资x吨，一辆货车装救援物资y吨，由题意得等量关系：4节火车皮运载量+5辆货车运载

量=220吨，3节火车皮运载量+2辆货车运载量=158吨，根据等量关系列出方程组，再解即可.解：设一节火

车皮装救援物资x吨，一辆货车装救援物资y吨，由题意得：

'4x+5y=220

'3x+2y=158'

x=50

解得:

y=4

则一节火车皮和一辆货车共装救援物资：50+4=54（吨）,

故答案为：54.

【点睛】

考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解题意，找出题月中的等量关系，设出未知数，列出方程组.

12.某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个

等级：A、B、C、D,并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图.该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩

为D等的人数为人.

【答案】56

【解析】

试题解析：..•总人数为14+28%=50（人），

4

该年级足球测试成绩为D等的人数为700x国=56（人）.

故答案为：56.

13.把分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，字面朝下随意放置在桌面上，从中任意摸

出一张卡片数字是素数的概率是.

【答案】二

【解析】

试题分析：

•有数字"1”、"2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片,卡片数字是素数的有：2,3,5；

••・从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是：三=：.

蔽兽

故答案为

考点：概率公式.

14.己知抛物线y=(l—a)d+i的开口向上，那么〃的取值范围是.

【答案】a<\

【解析】

根据二次函数的图像与性质可直接进行求解.解：由抛物线y=(l-a)V+l的开口向上，可得:

1一。>0,解得：a<l；

故答案为<2<1.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.

15.如图，AB〃C£>,若NE=34。，ZD=20°,则NB的度数为.

【答案】54°

【解析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出NBCD,再根据两直线平行，内错角相等进行解答

即可.VZE=34°,ZD=20°,

/BCD=ND+NE=20°+34°=54°,

VAB/7CD,

，NB=NBCD=54。.

故答案为54°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键.

16.如图，A。、BE是4A8C的中线，交于点0,设砺=。，OD=b'那么向量而用向量〃、b表示

是.

【答案】a+2b

【解析】

求出血，再根据丽=丽+正，求解即可.解:：AD、BE是△ABC的中线，交于点O,

:.AO=2OD.

•••A0^2b,

'-'AB=OB+AO

AB-a+2b-

故答案为a+2B.

【点睛】

本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

17.如图，在放AA5C中，NACB=90°,AC=3,=4,8是八钻。的角平分线，将RfAABC绕点A旋

转，如果点C落在射线8上，点3落在点E处，连接ED,那么NA瓦)的正切值为.

3

【答案】-

7

【解析】

AGAC3

如图，过点D作DG_LAC于G,可得DG//BC,即可证明△AGDs^ACB,可得——=——=一，由CD是角

DGBC4

平分线可得NACD=45。，可得CG=DG,进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性

质可得AC=AC,AE=AB,根据等腰三角形的性质可得NCCA=45。，可得/CAC=90。，可得旋转角为90。，可得

/DAE=90。，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案.如图，过点D作DGJ_AC于G,

ZACB=90°,

DG//BC,

.八一小

AAGAC3

••△AGDs△ACB)可得-------一,

DGBC4

：CD是角平分线,

/.ZACD=45°,

ACG=DG,

VAC=3,AC=AG+CG,

37

：.-DG+CG=3即-0G=3,

4f4

12

解得：DG=—,

7

・“9

・・AG=—，

7

,~~------15

AAD=V£>G2+AG2=y，

・・,将凡AA3c绕点A旋转，如果点。落在射线CO上,

，AC'=AC,AE=AB,

JNCCA=NACD=45。,

JNCAC=90。，

，旋转角为90。,

/.ZDAE=90°,

VAC=3,BCM,

AAB=5,

..ADAD3

tanZAED===—

AEAB7

E

3

故答案为：一

7

【点睛】

本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90。并熟练掌握相关性质

及定义是解题关键.

18.如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架.己知其中每个菱形的边长为13cm,cosZABC=—,

那么凉衣架两顶点A、E之间的距离为cm.

【答案】版抵

【解析】连接AC、BD交于点O,作AMLBC于点M,

AB=BC=13cm,cos/ABC=——，

13

5

BM=BC«cosZABC=13x——=5,

13

,由勾股定理得:AM=12

AMC=8,

由勾股定理得：AC=4V13

••・在直角三角形ABO中，AO=JAB?—AO2=3V13

.,.BD=2BO=6V13

凉衣架两顶点A、E之间的距离为6而

三、解答题（第19-22小题每小题10分，第23-24题每小题12分，第25题14分，共78分）

19.计算：3tan3O°+（0-百）°-（-y）2+\^-2|.

【答案】-1

【解析】

直接利用特殊角的三角函数值、零指数幕的性质、负整数指数累的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.解：原

式=3x@+l-4+2-8

=73+1-4+2-也

【点睛】

此题考查了实数的计算，正确掌握特殊角的三角函数值、零指数累的性质、负整数指数累的性质、绝对值的性质

是解题的关键.

X6

20.解方程:---------?--------二2•

x+3x+4x+3

【答案】x=-4.

【解析】

依次去分母，去括号，移项，合并同类项即可将分式方程化成一元二次方程，求解一元二次方程即可.解：去分母

得：x(x+1)-6=2X2+8X+6,

去括号得：x2+x-6=2X2+8X+6,

移项得：x2+x-6-2x2-8x-6=0,

整理得：X2+7X+12=0,即(x+3)(x+4)=0,

解得：xi=-3,X2=-4,

经检验，xi=-3是增根，舍去，

•••原方程的根是x=-4.

【点睛】

本题考查解分式方程，解一元二次方程.解分式方程主要是依据等式的性质将分式方程化为整式方程求解，但所求

得的解必须验根.

21.甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间》(分钟)之间的函

数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)甲登山的速度是每分钟米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为米；

(2)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；

①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数解析式;

②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由；

15x(0<x<2)

【答案】(1)10,120；(2)①y=<,②能够实现.理由见解析

30x-30(2<x<ll)

【解析】

(1)由时间，速度，路程的基本关系式可解；

(2)①分段代入相关点的坐标，利用待定系数法来求解即可；

②分别计算甲乙距离地面的高度再比较即可；解:(1)甲登山的速度为：(300-100)+20=10米/分，100+10x2=120

米，

故答案为：10,120

(2)①V『3V中=30米/分,

t=2+(300-30)4-30=11(分钟)，

设2到11分钟，乙的函数解析式为y=kx+b,

:直线经过A(2,30),(11,300),

f30=2左+8f%=30

<,解得《

[300=lU+Z?[b=-3Q

.•.当2<xWH时，y=30x-30

当0WxW2时，设乙的函数关系式为y=ax,

••,直线经过A(2,30)

，30=2a,解得a=15,

当0<x<2时，y=15x,

’15x(0<x<2)

综上，y=<

-[30x-30(2<x<ll)

②能够实现.理由如下：

提速5分钟后，乙距地面高度为30x7-30=180米.

此时，甲距地面高度为7x10+100=170米.180米>170米，所以此时，乙已经超过甲.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，考查了行程问题中路程=速度X时间的关系变化的运用，待定系数法求一次函数的解析

式的运用，图象的交点坐标的求法.在解答中注意线段的解析式要确定自变量的取值范围.

22.我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形如

图，在△ABC中，NC=90。，四边形COEF为正方形.△ADE学4AGE,4BGEm4BFE.已知45=10cm,N5AC=44。，

求正方形CDEF的边长（结果保留位一位小数）.（参考数据：sin44°~0.69,cos44o~0.72°,tan44°~0.97,sin220~0.37,

cos22°s0.93,tan22°=0.40）

【答案】2.1cm

【解析】

1EG

根据题意可知NE4G=—NB4C=22°,EG=CD,AG-AD.由tan/E4G=——=tan22°,得出

2AG

AC

AG«2.5EG再由cos/BAC=——=cos44°,得出AC《7.2,最后即可得出2.58=7.2-C£＞，解

AB

出CO,即为正方形的边长.解：根据题意可得：ZE4G=-ZBAC=-x44°=22°,

22

EGEG

在△A£G中tanZEAG=----=tan22°,即----«0.4,

AGAG

・・・AGb2.5石G

ACAC

在口245。中cosZBAC=----=cos44°,即«0.72,

AB10

AC«7.2.

・・・AD=AC-CD=7.2-CD.

•：EG=CD,AG=AD,

:，2.58=7.2—CD,

解得：CO。2.1cm

故正方形边长约为2.1cm.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质，正方形的性质以及利用三角函数解三角形.根据题意结合各知识点找出边的等量关

系列出等式是解答本题的关键.

23.如图，△ABC内接于。0,弦ADJ_AB,交BC于点E,过点B作。0的切线交DA的延长线于点F,且

ZABF=ZABC.

⑴求证：AB=AC

4

(2)若AD=4,cosZABF=-,求BF的长.

【答案】⑴见解析；⑵?

【解析】

(1)首先连接BD,由弦ADLAB,可得BD是直径，又由BF是。。的切线且/ABF=NABC,可证得NC=

ZABC,即可得AB=AC；

,fAD4

4BD—---------=——5

(2)由(1)知，/力=/ARF,故oosD=cos/ABF一，利用在中，cosD4

55

AR

再求出AB,再利用在RAAB/中BE=---------即可求解.（1）证明：连接8。.

cosNABF

vAD±AB，即NBAD=90°，

BD为。。的直径，/DBA+N。=90°，

•••BF为O0的切线,

BD工BF,

•••ZDBA+NAB尸=90。，

ZD+ZABF

•••NO=NC,ZABF=ZABC

Z.C=ZABC

：.AB^AC

（2）解：由（1）知，ZD=ZABF

4

cosD=cosNABF=—

5

BD=-AD-=—=5

•••在HrA/WD中，cosD4

5

，根据勾股定理，得A8=552—42=3

CLAB315

Rtf—_____________——

在RtMiBF中，-cosNABF-4-4

5

【点睛】

此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,

注意掌握数形结合思想的应用.

24.如图1,在口45。中，ZBAC=90°,AB^AC，4。_13。于点。，£为AC上一点，点G在BE上,

连接。G并延长交AE于点尸，且NEG£）=135°.

（1）求证：ABGDS&BCE；

（2）求证：ZAGB=90°；

（3）如图2,连接。E，若A3=10,AG=2小，判断△CDE是否为特殊三角形，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）先通过角与角的关系得/BGO=NC,再加上N£BC=NEBC,即可证△BGOSABCE；

（2）通过（1）中有ABGDSABCE,得/BEC=NBDG，进一步证明可得NBEC=Za4C+NABE

=90°+ZABE,ZBDG=90°+ZADG,从而NABE=NADG，则A、B、D、G四点共圆，那么

ZAGB^ZADB=90°；

（3）在直角三角形ABG中，由勾股定理得：BG=JA*-AG?=0?—（2后=46,再由射影定理可

知：AG2=BGGE，求GE,再通过AE?=GE•BE，求出AE和EC,然后在等腰直角三角形中利用勾股定

।CDE

理得BC==1m，求得CD=」BC=56.进一步求解可得J=一，则DE〃AB，即

2BCAC

可NCDE=NCBA=45°,NOEC=44C=90°,得到答案.解：（1）；DA/C是等腰直角三角形,

•••ZC=45°,

VZEGD=135°.

：.NBGD=45。.

A/BGD=/C.

ZBGD=ZC

在△5G£＞和口8（主中＜

NEBC=/EBC

:.△BGDsABCE.

（2）由（1）中有△BGDsaBCE..

；./BEC=/BDG.

'：/BEC=ZBAC+ZABE=90°+ZABE,NBDG=90°+ZADG

:.ZABE=ZADG.

•••A、B、D、G四点共圆.

AZAGB=ZADB=9G°.

（3）在直角三角形A8G中，AB=10,AG=2石.

..•由勾股定理得：BG=y]AB2-AG2=7102-（2V5）2=475-

由射影定理可知：AG2^BGGE.

则有:GE

BG46

AE2=GEBE-

则有：AE=NGE-BE=d®5亚=5.

•••口ABC是等腰直角三角形，AB=10.

•，•由勾股定理得：BC=yjAB2+AC2=I0V2•

又；DA6c是等腰直角三角形，ADLBC.

：.CD=-BC=5y/2.

2

.CD5V21CE51

"1072"2'AC-10-2,

.CDCE

"fiC"AC'

:.DE//AB.

:.NCDE=NCBA=45°,ZDEC=ABAC=90°

:.ZCDE=ZC=45°

；.DE=EC

△COE是等腰三角形

Z£>EC=90°

•••△CDE是等腰直角三角形.

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、角平分线

定理等知识；证明三角形相似是解决问题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=公2+加+2（“彳0）与x轴交于4（一1,0）、8（3,0）两点，

与y轴交于点c,连接BC.

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴;

（2）已知尸（1,1）,若E（x,y）是抛物线上一个动点（其中l<x<2）,连接CE.CEE/7,求△CEF面积的

最大值及此时点E的坐标;

（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2、449

【答案】（1）抛物线的解析式为了=-?%2+3%+2,对称轴是直线x=l；（2）4CEF的面积取最大值为丽，

点E的坐标为（3）存在点M，使得以8,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为

（2,2）或（4,一果或12,*）

【解