圆的一般方程大单元教学 高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

人教版2019高一数学（选修一）第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般式方程目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析学习目标1．理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养。2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化。发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养。3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合及方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。情景导入

我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),请问你能写出一个它分别表示①直线;②圆;③y关于x的二次函数的必要条件吗?1.圆的一般式方程新知探究根据上节课所学的知识，我们知道方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为

x2+y2-2x+4y+1=0.

一般地,圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为

x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.那么形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?

思考探究思考探究那么形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?

例如：对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,

我们对其进行配方,得到(x-1)2+(y-2)2=-1,

显然任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程,

所以这个方程不表示任何图形.因此形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程。这表明x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定是圆的方程。

思考探究那么当x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F满足什么条件时这个方程表示圆？

因此，当D2+E2-4F>0

时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.

你能说说圆的一般式方程同圆的标准式方程有何处不同吗？圆的一般式方程同圆的标准式方程有何处不同?我们观察一下这个二元二次方程不难发现：圆的一般方程突出了代数结构:(1)x2和y2系数相同，都不等于0.(2)没有xy这样的二次项.(3)当D2+E2-4F>0时，方程才表示一个圆.

圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程．

两种方程的字母间的关系：

圆的一般式方程同圆的标准式方程有何处不同?

CxoyCxoyCxoyD=0E=0F=0思考探究

例4求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.课本例题

建：建立直角坐标系设：用坐标表示有关的量限：限制条件课本例题

代：进行有关代数运算化：化简概念归纳求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：1.根据题意,选择标准方程或一般方程.2.根据条件列出有关a,b,r,或D,E,F的方程组.3.解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.概念归纳

圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出系数D,E,F.概念归纳求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．例1(1)方程x2＋y2－2x＋6y＋1＝0表示的是 ()A．以(1，－3)为圆心，6为半径的圆B．以(－1,3)为圆心，6为半径的圆C．以(1，－3)为圆心，3为半径的圆D．以(－1,3)为圆心，3为半径的圆(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．题型1圆的一般方程的概念典例剖析C9π典例剖析归纳总结方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种形式，否则要化为这种形式再求解．1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心的坐标是________．(0，－1)练一练

例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．题型2待定系数法求圆的一般方程典例剖析先设出圆的一般方程，根据点在圆上列方程组，解方程组求出待定系数，得外接圆方程．解：因为△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.点M(a,2)在所求的圆上，故点M(a,2)的坐标满足圆的方程，可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.

例3.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．典例剖析

例4.已知A(2,2)，B(5,3)，圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称,

求圆的方程典例剖析待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．(3)解此方程组，求出D，E，F的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一

般方程．归纳总结练一练练一练

例5.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．题型3求动点的轨迹方程典例剖析解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ.所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.归纳总结求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(

)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【答案】A练一练练一练4．如图，经过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹．练一练练一练练一练练一练典例剖析规范解答求圆的一般方程1．注意考虑问题的全面性解决有关圆的问题时，要认真审题，注意隐含条件，如本例中点C在y轴的正半轴上，则其纵坐标大于零．2．熟练圆的方程的设法在求解圆的方程时，要根据不同的条件，灵活地设出圆的方程，如本例中根据条件可设出圆的一般方程，有时可设圆的标准方程，利用待定系数法求解即可.归纳总结1.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(

)A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=02.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(

)A.x+y-3=0 B.x-y-3=0C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0BC随堂练3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是

.

4.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则参数a的值为

.

-2随堂练课本练习OADCBxyEOADCBxyEOADCBxyEABC7.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它是什么图形.7.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它是什么图形.根据题意,等腰三角形ABC的另一个端点C在以A(4,2)为圆心,经过B(3,5)的圆上,且除去点B以及B关于A的对称点B’OAMBxy阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．易错辨析忽视圆的条件致错错因分析a＞2错因分析分层练习-基础1．已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为(

)A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝02．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是(

)A．a≤1 B．a<1C．a>1 D．0<a<1AB分层练习-基础3．已知圆的圆心为(－2,1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是(

)A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0CA分层练习-基础5．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________．6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________．7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．8．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则a的取值范围是________．x2＋y2＝16(2，－3)a<1分层练习-基础9．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．分层练习-基础10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．分层练习-巩固11．已