抛物线的简单几何性质（二）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦

通径y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO关于x轴对称关于y轴对称

(0,0)抛物线的简单几何性质课前回顾抛物线的焦点弦1.过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)当AB垂直于对称轴时,焦点弦最短;(5)以AB为直径的圆必与准线相切,以AF为直径的圆必与y轴相切.2.做一做:(1)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(

)A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.有无穷多条 D.不存在(2)过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则

的值是(

)A.12 B.-12 C.3

D.-3解析:(1)由定义|AB|=5+2=7,∵|AB|min=4,∴这样的直线有且仅有两条.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),答案:(1)B

(2)D1.通过抛物线与其方程的学习,进一步体会数形结合思想的应用.2.会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系.3.能运用直线与抛物线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.4.掌握抛物线中的定点与定值问题的求解方法.学习目标

一、直线与抛物线的位置关系问题1.类比直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系,思考直线与抛物线有几种位置关系?怎样判断其位置关系?提示:直线与抛物线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与抛物线方程,转化为关于x(或y)的方程,利用方程的解来判断.问题2.设直线l:y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0),两方程联立消去y,会得到一个什么样的方程?怎样判断这个方程的解的个数?提示:两方程联立消去y,得k2x2+2(kb-p)·x+b2=0.当k=0时,方程有一解;当k≠0时,Δ>0⇒方程有两解;Δ=0⇒方程有一解;Δ<0⇒方程无解.问题与例题

问题3.如果直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗?提示:可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个公共点.填空:直线与抛物线的位置关系直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组

解的个数,即方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数.(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有

一个公共点.(2)当k≠0时,Δ>0⇒直线与抛物线有两个不同的公共点,此时称直线与抛物线相交;Δ=0⇒直线与抛物线有一个公共点,此时称直线与抛物线相切;Δ<0⇒直线与抛物线没有公共点,此时称直线与抛物线相离.例1、

已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,当k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点?有两个公共点?没有公共点?分析:直线与抛物线方程联立,根据“Δ”的正负判断.解:由题意,直线l的方程为y-1=k(x+2),(2)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).【变式训练1】

若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.解:因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,即(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0.①(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,反思感悟

判断直线与抛物线的位置关系,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二项系数是否为0.若该方程为二次方程,利用判别式判断方程解的个数.例2、(1)已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,则AB所在直线的方程为

.

解析:(方法一)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),消去x,得ky2-8y-32k+8=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由根与系数的关系得y1+y2=.又y1+y2=2,∴k=4.∴所求弦AB所在直线的方程为4x-y-15=0.答案:4x-y-15=0(2)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.①求该抛物线的方程;分析:(1)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),用点差法求kAB;方法二:设直线AB的方程,联立方程组求解.(2)①设出直线方程,直线方程与抛物线方程联立,根据焦点弦长公式求解.由抛物线定义得,|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.②由p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,【变式训练2】

已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y),反思感悟

直线与抛物线相交的弦长问题,设直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k.(2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p.(3)求解“中点弦”问题的两种方法:ABFxyD图3.3-5例3、经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．ABFxyD图3.3-5ABFxyD图3.3-5所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．ABFKxyABFKxyABFKxy反思感悟

直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题,若该定值是个待求的未知量,则可以先利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值,再证明该定值即为所求.目标检测1.过点(2,4)作直线l,与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线l有(

)A.1条 B.2条

C.3条 D.4条解析:由题意可知点(2,4)在抛物线y2=8x上,故过点(2,4)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行.答案:B2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为(

)A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0得x2-2x-m=0.由Δ=4+4m=0,得m=-1,故切线方程为2x-y-1=0.故选D.答案:D3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(

)A.x=1

B.x=-1 C.x=2

D.x=-2答案:B4.设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=

.

解析:分别过点A,B,P作准线的垂线(图略),垂足分别为M,N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.答案:8ABCMO1课后练习课本（第138页）FMlMNMFlMFlAB5.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=()

A.16 B.12 C.10 D.8解析:由题意知p=6,故|AB|=x1+x2+p=12.答案:B6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,与y轴交于点A,若,O为坐标原点,则△OPQ的面积为()

A. B. C. D.4解析:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),其准线方程为x=-1,

过点Q作QN垂直于直线x=-1,与y轴交于点M.

∵,∴F为AQ的中点,∴|QM|=2|OF|=2.∵|QM|=xQ,∴xQ=2.

∴yQ=,∴直线PQ的方程为y-0=(x-1),即y=2(x-1).

联立抛物线直线方程解得x=2或x=,

∴|PQ|=x1+x2+p=.

又点O到直线PQ的距离d=,∴△OPQ的面积为S=|PQ|·d=.7.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()

A. B.[-2,2]C.[-1,1] D.[-4,4]解析:准线x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),联立直线抛物线方程得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0<k≤1.综上,k的取值范围是[-1,1].答案:C8.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于()

A. B. C. D.解析:设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线抛物线方程得k2x2-4(k+2)x+4=0.∵直线与抛物线交于A,B两点,∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.又,∴k=2或k=-1(舍).∴|AB|=.答案:C9.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.

C.D.解析:由题意可知t≠0.由已知可得直线AB的方程为y=x-1,联立直线与抛物线方程消元整理得,由于直线与抛物线无公共点,即方程无解,故有,解得或.答案:D10.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为

.

解析:设抛物线方程为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得x2-kx=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=k.∵P(2,2)为AB的中点,∴.∴k=4.∴y2=4x.答案:y2=4x11.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于

.

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).∵x1≠x2,∴.∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.将其代入y2=4x,A(0,0),B(4,4).∴|AB|=.又F(1,0)到y=x的距离为,∴S△ABF=.答案:21213、

已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并满足OA⊥OB,求证:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别都是一个定值;(2)直线AB经过一个定点.证明:(1)因为AB的斜率不为0,所以设直线AB的方程