《高中数学导数题典》备选1000题十四

题1103；

nx+InY

已知函数g(x)=——-(a是常数)

x

(1)求g(x)的单调区间与最大值；

(2)设/(x)=x-g(x)在区间(O,e］(e为自然对数的底数)上的最大值为—1—InlO,求。的值

题1104：

已知函数f(x)=m\nx-e~x(m0)

(1)若函数/(幻是单调函数，求实数机的取值范围；

(2)证明：对于任意的正实数a、b,当a>b时，都有e〜一0

b

题1105：

jr2

若对任意xeR,都有2sin(—x+—%)—Z，+2x+3)〈龙〃成立，则实数k的取值范围是()

63

A.(-oo」+l)5.(-1,-+3)C.(2+-,+oo)£>.(1+—,+°o)

eee2e

题1106：

y

已知函数f(x)=ax3-bx-a(aeR,xeR),g(x)=——(xGR)

1-x

(1)如果x=二更是关于X的不等式/(x)<0的解，求实数a的取值范围；

2

(2)判断g(x)在(—1,二更］和［业/)的单调性，并说明理由；

22

(3)证明：函数/(尤)存在零点4,使得。=4+/+/+…+q3”-2+…成立的充要条件是

2

1

题1107：已知函数/(x)=lnx+-ar*-9-(6r+l)x,(4ZeR)

(1)当。之0时，讨论/(x)的单调性；

12

(2)当〃=1时，X£(l,+^o)时，求证：xf(x)—%3+x2+InxH—>0

题1108：

已知函数/(x)=微尤2-2x+lnx

(1)函数/(x)在定义域内不是单调函数，求实数。的取值范围；

(2)当时，若函数/(x)的图象与它在x=l处的切线有且只有一个公共电，求。的值或者取值

范围

题1109：

已知直线/：去一y—3=O(aKeR),曲线C的方程为y=e、

(1)当a=2时，若直线/与曲线C相切，求左值；

2

(2)若直线/与曲线C有两个公共点，且公共电横坐标为王,工2，证明：xlx2-«(xl+x2)<l-a

2

解：要证：x,x2-a(x,+x2)<1-a,即证：(玉一。乂马一。)<1

x2

由题知：e'-k(xt-a)=0,e'-k(x2-a)=0,不妨设%>々

则有M=Ink(xt-a),x2=Ink(x2-a),

,、/..x.-alx.-a\x-a

作差有：(玉一公一(马一0=比二1---<----------7---,

x2-a\x2-ayx,-a

整理有：(%—。)(工2-。)<1

题1110：

设f(x)=(ax2-x)lnx+a-l,记g(x)=/'(x)

(1)当a=l时，求g(x)的零点的个数；

(2)。>1时，证明：f(x)>0

题1111：

函数/(x)=若函数y=g(x)是/(x)的导函数

(1)求g(x)的解析式；

(2)若g(x)—工20对任意xe(OJ恒成立，求实数。的取值范围

a

题1112：

已知函数f(x)=\nx-x--,aeR

x

(1)当a=0时,求函数当(x)的极大值;

(2)当a<0时，求函数/(x)的单调区间；

(3)当”>1时，设函数g(x)=/(x-l)+x-l+-^-,若实数人满足：b>a且

x-i

g(7^7)=g(a),g3)=2g(W^),求证：4<b<5

b-i2

题1113：

."皿,,、21nx+2

已知函数f(x)=--------.

e

(1)求函数/(x)的单调区间；

27

(2)证明：当x>0时，都有/'(x)ln(x+l)<—+—

exe

第二问相当于证明不等式：ln(X+1)-(l-xlnx-x)<l+-4>这与数学小丸子的解题笔记85页【题6】

xe

题1114：已知函数/(x)=lnx-or-2,a&R,g(x)=-3x.

(1)求函数/(x)的单调区间；

2

(2)对VNe,—1],Vx2e[4e,e],不等式2k"(—%)一时+2]+g'(%)—6<ln[g'(%)+3]恒成立，求实

数人的取值范围.(e=2.718…为自然对数的底数，g'(x)为函数g(x)的导数)

题1115：

已知函数/(》)=缶一2)/4底")一3一2比

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)当x>l时，/(x)>(。一2)(6-1)-3。，求。的取值范围

题1116：已知函数/(*)="Inx+ox-x3+a

(1)讨论/(九)在(l,+o。)上的单调性；

(2)若Hr。£(0,+8),/(工0)>。----,求正数。的取值范围

题1117：

已知函数/(x)=k\nx--,且曲线y=f(x)在点(1,7(I))处的切线与y轴垂直.

X

(1)求函数“X)的单调区间；

(2)若对任意XG(0,1)u(1,e)(其中e为自然对数的底数)，都有,(a〉0)恒成立,求a的取值范围.

x-1xa

题1118：

己知函数/(x)=lnx-,g(x)=xInx—n(x2-l)(m,nGR)

x+1

(1)若函数/(x),g(x)在区间(0,1)上均单调且单调性相反，求加，〃的取值范围；

(2)若0<a<b,证明：\[ab<-----v"+"

\na-\nb2

题1119：

设函数f(x)=2ex-2ax+3a(aGR).

()1讨论/(x)的单调性;

(2)当a>0时，对于X/XER,都有/(x)N5a成立.

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：l+L+1+...+，>ln(〃+l)(〃eN").

23n

题1120：

已知函数/(》)=/一X2一侬有两个极值点和々(3<々)。

(1)求a的取值范围；

(2)求证：ex'+eXi>4

题1121：

已知函数/(x)=(x+b)(ex-a),(b>0),在(一1,/(一1))处的切线方程为(e-l)x+缈+e-1=0

(1)求a,/?；

(2)若〃zWO,证明：/(x)>mx2+x

题1122：

已知函数/(x)=(x+份("-a),S>0),在(一1,/(—1))处的切线方程为(e-l)x+ey+e-1=0

(1)求求

(2)若方程/(x)=机有两个实数根玉,々，且玉<々，证明：马—%<1+'C二也

题1123：2018届高三十四校联考第二次模拟文科

3

已知函数/(x)=(x2-ax)Inx--x2+2ax

(1)求/(%)的单调递减区间；

2511

(2)证明：当。=1时，f(x)<—x3——f+2x+—ln2+—(x>0)恒成立

题1124：

已知函数/。)=靖.

(1)讨论函数gO)=/(ar)-x-a的单调性;

34

(2)证明：f(x)+InxH—>—1=.

34

构造的函数g(x)=ln九+----4,

Xy/x

(G1)(4+3)

g'(x)=9，因此0<%<1送'(幻<0超(幻单调递减；x>l,g)x)<0,g(x)单调递增;

X

34

g(x)Ng⑴—/W+lnx+--7=>l-l=0

题1125：

设函数/(x)=e*-ax+a(aeR),其图象与x轴交于4%,0),8(*2,0)两点，且为<々

(1)求。的取值范围；

(2)证明：尸(衣己)<0(/'(幻为函数)(x)的导函数)

(3)设g(x)=3ax2-6a+2+。，若/(为+-*Ng(x)对xeR恒成立，求。的取值范围

题1126：

32

已知三次函数/.(x)=qx，+6/2+qx+d,g(x)=a2x+b2x+c2x+d(a1a2*0),且/(x)有三个零点，若三

次函数p(x)=3/(x)+g(x)和q{x}=/(x)-g(x)均为R上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则

g(x)零点的个数为()个

AlB.2C.3D2或3

解：函数p(x)=3/(x)+g(x)和q(x)=/(x)—g(x)均为R上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点,

则必有：p'(x)=町(工一〃1)2,q，(x)=//(x-〃2尸，因此f'(x)=；［p'(x)+q'(x)］=；［町+丐(1-%)2］

由于/(x)有三个零点，则/(幻不单调，即/")必有两个不等零点，因此明?<0,又因

g'(x)=；［p'(x)-3q'(x)］=；［叫(x-勺了一3m2(x-〃2了］，因此有g'(%)>0,g'(x)<0,g(x)单调，

又因为g(x)为三次函数，则必有一个零点

题1127：

若对任意m,ne(0,+oo),不等式n2In--amn<Iz/z2-4矶恒成立，(e为自然对数的底数)，则实数。的取

n1

值范围是一

…1、DZ1、〜e2-2eln2—4、-2^In2-4

A(—00,-)A(一,+8)C.(-8,------------------)D(,+8)

ee2e2e

题1128：

若对于任意的[0,1],不等式〃优恒成立，则一定有()

Jx+1

A.k>0,zn>-B.k>0,w<1-C.k>-,m>-D.k>-,m<\--

324322

解：构造函数/(%)=/.+Zx—1,X>—1，

Vx+1

f\x)=t一一.1易知/'(x)单调递减，则/—Lr--Uj

2j(x+l)324V2

题1129：

已知函数/(x)=(2x+2/(。)心(幻=小)+乎(1)2,心)=小)+心2+叙)+4

⑴求/(x)；

(2)求g(x)单调区间；

(3)若不等式4(x)20在［0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围

题1130：

已知函数/(幻=/一2/—4x-7

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当a>2时，证明：对任意的x〉2且恒有：f(x)>f(a)+f\a)(x-a)

(3)设X。是函数y=/(x)的零点，实数a满足：/(a)>0,£=a—1经，试探究实数a,/?,公的大小关

/'(a)

题1131：

设函数f(x)=Inx,g(x)=—(a>0)，h(x)=/(x)+g(尤)

x

(1)当a=2时，求/z(x)的最小值；

(2)若〃(x)在(0,+8)上有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3)证明：>“In.)'””!)

k=1k22

题1132：

-L1

当x〉0,求证：(无+l)e+F>2

题1133：

已知函数/(x)=(x-2)e'--x2+x+2

(1)求函数/(x)的单调区间和极值;

1a1

(2)证明：当x21时，/(x)>———x

62

题1134；2016春琅珊区校级模拟

b

已知函数/(%)=<2Inx——,g(x)=-3x+4

x

(1)若函数/(x)在点(l,f(l))处的切线为2x—y—3=0,求a力的值；

(2)若人=一1,当xNl时，/(x)Ng(x)恒成立，求实数a的取值范围；

234n+l1

(3)求证：对于一切正整数〃，恒有一--+——-—+——--+•••+——-->-ln(2«+l)

4xl2-l4X22-14X32-14XH2-14

题1135：

若两曲线y=f-l与y=alnx—1存在公切线，则正实数”的取值范围是

题1136：2014秋红山区期末

I222

证明:-------F------1■…H--------------~~^对于一切N*恒成立

1x33x5(2n-l)(2n+l)4〃+2

题1137：湖南省永州市2018届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题

bA2

x22

己知/(x)=2ae-'+2a]nx--,g(x)=+21nx-y+a.

(1)若对任意的实数a,恒有/(x)<g(x),求实数h的取值范围；

(2)当2<a<4,/?=—10a时，求证：方程/(x)=2e*T+e‘恒有两解.

题1138：湖南省永州市2018届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题

已知函数/(x)=(l-2a)lnx+ar2+x.

(1)讨论/(x)的导函数的零点个数;

13

(2)当a<0时，证明：/(x)<-2aln(l——)+。一一

2a4。

题1139：陕西西安交大附中高三模拟

己知函数/(x)=cosx+ax2,当x20时，使/(x)21恒成立。的最小值为攵，存在几个正数p/i=1,2,…,〃)，

且Pl+〃2+,,•+，,=1，任取〃个自变量的值和工2,…，毛，记/=22]/(尤，)

/=|

(1)求女的值；

(2)如果。=攵，当〃=2时，求证：J>/(PjXj+p2x2)

JT

⑶如果"h且存在〃个自变量的值g,…,力使PR+PV+M石,求J的最小值

解:/(X)=C0SX+(x22(2一当)(%一?)+亮+1,

P|/(为)+“2)+…+P,J。,,)之力化([一日)&_[)+(力Pi)R+1)=2+：

i=[3，3j-\1o，1oL

题1140：

已知实数满足：，+>'=x+l

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)解关于x的不等式二i)-JE>ln=

e

题1141：

2

设函数/(x)=x-(a-2)x-a\nx关于x的方程,f(x)=c(c为常数)有两解x,,x2

(1)求证：xi+x2>a

(2)求证：x.x<—

।7~4

题1142：2016广东佛山二模

2r

设函数/'(幻=办+人—xlnx(a>0),g(x)=-5—，若直线y=e-x是曲线£：y=/(x)的一条切线，其中e

x"+1

是自然对数的底数，且/⑴=1

(1)求a,b的值;

(2)设Ov/ivmvl,证明：/(m)>g(n)

题1143：

设函数/(x)=

x

(1)设〃(%)=/(尤)+(々+2)111]3£7?),且〃(x)有两个极值点斗,工2，其中石£(O,e],求力(％)—〃(w)的最

小值

(2)证明：Vin—^->--；—/7--3--(HGA^*)

念k+2j2(〃+l)(〃+2)

k]n2〉I2l(n+l)(n+2)n2—3n

k+2(〃+1)(〃+2)\(n+l)(n+2)V2j2(〃+l)(a+2)

题1144：湖南省长沙市雅礼中学2018届高三月考(八)数学(理)

已知函数/(x)=x'+x；—x*；(尤>0,f为正有理数)

(1)求函数/(幻的单调区间；

(2)证明：当xN2时，f(x)<0

解：(1)/'(X)=£X‘T(1—/)+?(l—x')

当0<x<1,/'(x)>O,f(x)单调递增;当x>1,f(力<O,f(x)单调递减;

(2)由(1)知，第二问即证明：2'+2'-2+1<0,2/+2;-2，+;<0<=2^-2Z+1<0

h(t)=2'-2'+i,〃⑺=2,ln2-(l+4)-2,ln2=2/ln2-(l+—-2,),求导即可

题1145：

已知X；In%=x；Inx2，月.王<々，若整数4="|(X]2+x；+2玉々)，求左的值

解：考虑证明:\<xi+x2<-^=(右链极值点偏移)

।2992-1x,X.Inx.Inx,xIn

-X>xL7

X,+x2>1<=x2->x2-x,<=2i-X<=——<—=------=-<=------<-------

-1x2xxIn%,xx-1x2-1

构造函数/。)=弛£(0<%<1),/'(幻=匕匚空>0

x-l(%-1)■*

题1146：2018年浙江嘉兴4月模考(平中小包公众号)

31?

已知数列｛4｝满足4=不，an+i=(1+—)an+-(neN*)

(1)判断数列｛4,｝的单调性；

(2)证明：^-<1+—+---(n>2)

a,,3"3n(n+l)

(3)证明：an<34e

题1147：

已知函数/(用=里二

X-1

(1)求方程八幻=炉的根的个数；

(2)证明:ae(0,l)时，方程.f(x)=a有且只有一个实根；

(3)证明：当aw(2,+oo)时，方程/(幻=」一有且仅有两个实根

X+1

5“、(x+1)Inx.(x+l)lnx,,

解：(3)/(x)=-----------4z,x>1,------------a<x-\r\-a,x=a-\

x-lx-l

(x+l)lnx〃

-----------a>lnx-a,x=e

x-l

八i八、(x+l)lnxx+11

0<x<1,f(x)=-----------a<------a,x=----,x=e

x—1xa-1

题1148：广东省广州市2018届高三4月综合测试(二模)数学理试题(已经录入)

已知函数—女

(1)若函数/(幻在R上单调递增，求。的取值范围；

(2)若a=l,证明：当x>0,/*)>1—平—(野f

,2.In2In2

e>x--x+\-------(——)2

22

2149

x+x+——

-------225<1

e'

*21492.In22,In2In2x2

225222

题1149：

已知函数f(x)=e~x•(2nvc2+nx+l)

(1)若x=l和2是函数/(x)的两个极值点，求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程;

(2)若/(1)=1,则方程/(x)=l在(0,1)内有解，求加的取值范围

证明：其中aNlaxek'-lnx-Ax-1>0,主元转换，求得最小值Ina

题1150：延安市2018届高考模拟试题数学(理科)

已知函数f(x)=lnx+ax2+(2+a)x(aeR)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若a>0,求证：对任意xNl,Inx+a(x2+x)>2(1-x)；

x

(3)设g(x)=2-2,若对任意给定的(0,2],关于x的方程/(x)=g(x0)在(0,e]上有两个不同的实根,

e

求实数。的取值范围(其中e为自然对数的底数).

题1151：湖南省株洲市2018届高三年级教学质量统一检测(二)理科数学

设函数/(x)="—ar+a,其中。实常数，其图像与x轴交于A(%,0),8(々,0)两点，且

(1)求a的取值范围；

(2)设朝=Jow，证明：/(/)<°

题1152：2017-2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试理科数学

已知函数/(%)=ex-ax-a(a0),且/(x)的最小值为0

(1)求实数a的值；

(2)设g(x)=(x-2)e'+/(x),若g(x)的极小值为求证：—2.5<M<—2

题1153：陕西省师大附中2018届高三第五次模考文科

设函数/(x)=(ar+GR)

(1)当a>0时，求函数/(x)的单调递增区间：

(2)对任意xe[0,+oo),/(x)<x+l恒成立，求实数。的取值范围

题1154：新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验数学理科卷

设〃(x)=xlnx,/(x)="x+")其中a为非零实数

x+a

(1)当a=l时，求/(x)的极值；

(2)是否存在。使得/(x)Wa恒成立？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由

，/、a、a\nx

/(x)=ln(l+-)+------a

xx+a

、ci、aa

%e^-1

4ZInxa.2a+x1_

---->—,lnx<—x<-----,——x<a.x>-5a

x+a2525

题H55：湖南省株洲市2018届高三年级教学质量统一检测(二)文科数学

已知函数/*)=a[nx+h(a«2,a70),函数/(x)在点(1,7(1))处的切线过点(3,0)

X

(1)求。/满足的关系式，并讨论函数/(X)的单调区间；

2

(2)已知g(x)=x+—-a-2,若函数/⑴=/⑴+冢幻在①②上有且只有一个零点，求实数。的取值范围

x

题1156：浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(已经录入)

Inr

已知函数/'(x)=-^匚

X+X

(1)求函数/(X)的导函数/'(X)；

(2)证明：/(%)<——(e为自然对数的底数)

le+4e

题1157：浙江省台州市2018年高三年级第一次(4月)调考数学试题

已知函数/(x)=2x3-3(m+l)x2+6mx,m&R

(1)若加=2,写出函数/(x)的单调递增区间；

(2)若对于任意的1,1],都有/(x)<4,求加的取值范围

题1158：新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验数学文科卷

设/z(x)=xlnx,f(x)=-蛆。，其中。>0,且awl

a

(1)若函数/(x)在(1,长。)上单调递减，求。的取值范围；

(2)是否存在。使得/(x)>-1恒成立？若存在，求。的取值范围，若不存在，请说明理由

题1159：2018保加利亚不等式(已经录入)

证明：(|)

题1160：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题(一)(已经录入)

已知函数f(x)=ex(x2+ax+a)

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)若关于x的不等式/(x)47ae“在[a,+8)上有解，求实数。的取值范围

题1161：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题(二)(已经录入)

.石(1一2%)2

已知函数/(X)=--------(X>0)

e

(1)求/(x)的单调区间；

(2)证明：当xc(0,+8)时，(4r―12x+1)(1-2x)>x+2)

题1162：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题(三)

已知函数/(x)=xlnx

(1)若直线/过点(0,—1),并且与曲线y=/(x)相切，求直线/的方程；

x2

(2)证明：/(%)>------

e'e

题1162：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题(五)

2r+,

已知函数/(无)=('x--e—

x+l

(1)求/'(X)在点(1,/⑴)处的切线的斜率；

(2)求/(%)在区间［0,3］上的最大值和最小值

题1163：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题(六)

、△r/\_2x,、_y/15-x2

设/(x)=，/,，g(x)=---7=-

6-1V2

(1)求〃x)=g(x)的解集;

(2)设x>0,y>0,/(%)<y<g(x),当变动时，求x+y的最小值

题1164：

，1

设函数/(尤)=/+==,%€[0,1],证明:

(1)/(x)>x2-^x+l

⑵金"年

题H65：广东省广州市2018届高三4月综合测试(二模)数学文试题

已知函数f(x)=a(x-l)-\nx

(1)若函数/(x)的极小值不大于上对任意a＞0恒成立，求左的取值范围;

(2)证明：V〃eN*,(1+3)(1+最)(1+最)…(1+合)＜02(其中e为自然对数的底数)

题1166：山西省孝义市2018届高三下学期一模考试理科数学

已知函数/(%)=minx.

(1)讨论函数/(幻=/(#+工-1的单调性；

X

(2)定义：“对于在区域。上有定义的函数y=/(x)和y=g(x),若满足/(x)Wg(x)恒成立，则称曲线

r

y=g(x)为曲线y=/(x)在区域。上的紧邻曲线”.试问曲线y=/(x+l)与曲线y=——是否存在相同的紧

x+1

邻直线，若存在，请求出实数加的值；若不存在，请说明理由.

题1167：

23

x%1

已知/(x)=ln(x+1)——..-,证明，当xc[0,1]时，f(x)<—

题1168：

已知函数f(x)=(x--)ex

x

(1)当a=l时，求函数/(幻的图象在x=l处的切线方程；

(2)求证：当0＜。＜1时，函数/(幻有且只有一个极小值点

题1169：

设实数机＞0,若对任意的xNe,若不等式/inx-me；20恒成立，则加的最大值为()

1e

A-B.-C.2eD.e

e3

m

解：令X=e,则有/一硬e20,

o—m―m//?一m

令g(a)=ee"g\m)=-ee----ee<0,g(zn)单调递减，而g(e)=0,因此机<e,

当m二e时，下证明：x2Inx-eex>0,即证：x\nx>ex-\nex,

ee

令/(x)=xlnx,/'(幻=1+1!1%>0,/(%)单调递增，又因为xNe*,因此有/(x)2/(e*),因此加,皿=

题1170：

已知函数/(x)=lnx-^ax2+x,aeR

(1)当a=2时，求/(x)的最值；

(2)是否存在实数。，使得函数/(x)的极值大于0,若存在，求。的取值范围；若不存在，请说明理由；

题1171：)

已知函数/(x)=ex+mx-\

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若曲线/(幻在点(0,0)处的切线垂直于直线y=-x+2,求证：当x>0时，/(x)-21nx>3-21n2

题1172：

已知函数/(x)=(x+1)/—万d一火(ae穴)在(0,/(0))处的切线与x轴平行

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)设g(x)=(e*+加一2)x-；d+〃，若VxeR,不等式/(x)Ng(x)恒成立，求2〃z+〃的最大值

题1173：

不等式2e“'+G：2+X—_LN()对任意xe/?恒成立，求实数a的取值范围

a

2

解：若Q<0,此时/(I一一)<0不符合题意，因此有。>0,

a

由题2+(公2+X-L)20,令/•(*)=2+邛⑪(依2+X—J_),则/'(x)=e-G(1+ax)[ax-2)

aa

11?2

当x<——J'(x)<0,/(x)单调递减；一一<xv-J'(x)>0J(x)单调递增，当xN—"(x)>2>0

aaaa

故只需/(—L)NO,解得。之刍

a2

题1174：

ex

已知函数/(x)=----,g(x)=ex

x

(1)求曲线y=/(x)在点(l,e—1)处的切线方程；

九1

(2)求正实数租,〃满足/(〃?)=g("),求证；一>一

m2

题1175：

1,_

已知函数/(x)=e"-］厂一办有两极值点斗工2(e为自然对数的底数)

(1)求实数。的取值范围；

(2)求证：y(x,)+/(x2)>2

解：(1)f\x)-e'-x-a,令g(x)=e*-尤-a,由题知g(x)有两个不同的零点

g'(x)=e'-1，

当x<0,g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0,g(x)>0,g(x)单调递增

因此必有当g(0)<0,即a>l,此时g(-a)>0,g(a)>0,

不妨设％<W，因此*e(—a,0)使得g(%)=0；五2e(0,a)使得g(z)=0,符合题意

综上：ae(l,+oo)

(2)由(1)知当x<X|J'(x)>0,/(x)单调递增；％<x<0,/'(x)<0,/(x)单调递减

则/(%)2./■(—/)，要证/(内)+/(电)>2,可证/(—々)+/(%)>2，即证：*+e』-x；>2

构造函数〃(x)=ex+e~x-x1{x>0),h\x)=ex-e~x-lx,

令e(x)=h'(x)=ex-e~x-2x,cp\x)=ex+e~x-2>2^ex-e~x-2=0,

奴x)单调递增，°(x)>°(0)=0,即〃'(x)>0,/z(x)单调递增，h(x)>h(O)=2,原不等式成立

题1176：

已知函数f(x)=(x-a)2Inx(a>0)

(1)当a=l时，判断/(x)图象与其在(1,7(I))处的切线公共点个数;

p5

(2)若对任意恒成立，求”的取值范围(其中e为自然对数的底数)

(x-l)2

解：(1)当a=]/'(x)=2(x_l)lnx+'),因此/'(1)=0,又因/(1)=0,

x

则/(X)在(1,0)处的切线方程为：y=0,%>1,/(%)>0;x<1,/(%)<0,又因八1)=0,

故/(%)图象与其在(1,/(1))处的切线有且仅有一个公共点

(2)由题必有/(学《即(烈呜)？々，解得0<。42五，

下证明当0<。42〃时，题目成立，只需研究xe(l,*a]情况(若不然/(x)W0<S)

此时只需证：,一。|<J----ux+J-------a20,x-J------

11V2InxV21nx721nx

①x+J---a>x-F\-^r—2y[e=x+--2yfe>0

V21nx1x2x

忆

与1~e-Ieeae2y[e

②X』a--45ua=1——4f—<0

721nx45I0434J5五

V4