高中数学：8-6空间直线、平面的平行（学案）

第06讲空间直线、平面的平行

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课程标准课标解读

1.理解与掌握基本事实4与等角定理，并

能为学习与判定线面平行与面面平行奠定

基础.

2.直线与平面平行的判定、平面与平面平通过本节课的学习，要求掌握空间线线、线面、面面平

行的判定；行的判定方法及能应用线线、线面、面面平行的关系的

3.掌握直线与平面平行的性质定理，明确相互转化来解决空间平行的综合问题.

由线面平行可推出线线平行；

4.掌握平面与平面平行的性质定理，并会

应用性质定理解决问题.

知识点

一、基本事实4与等角定理

1.基本事实4

(1)自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(2)符号语言：a,b,c是三条不同的直线，a//h,h//c=>a//C.

(3)作用：判断或证明空间中两条直线平行.

公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.

用基本事实4证明空间两条直线a,c平行的步骤

(1)找到直线/7;

(2)证明。〃Z?,b//c；

(3)得到。〃c.

2.等角定理

(1)自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：

如图(1)(2)所示，在ZAOB与夕中，04〃OS，，OB//O'B',则ZAOB=ZA'O'B'

或N408+NA'O'B'=180°.

图(1)图(2)

二、直线与平面平行的判定定理

语言文字平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

a

图形语言

符号语言aQa,bua,且。〃b=a〃a

作用证明直线与平面平行

三、平面与平面平行的判定定理

语言文字一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

/一/

图形语言

符号语言aup,bu[J,aQb=P,a//a,b//a=>a//P

作用证明两个平面平行

【微点拨】

1.要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意"相交”二字不能

丢.

2.可以通过证明线线平行来证明面面平行.

线面平行面面平行

线线平行线面平行面面平行

的判定定理的判定定理

四、直线与平面平行的性质定理

(1)自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

(2)图形语言：如图.

(3)符号语言：a"a,au/3=b=>a//b.

(4)直线与平面平行的性质定理的作用

①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线

是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条直线与已知直线平行的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已

知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.

五、平面与平面平行的性质定理

(1)自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

(2)图形语言：如图.

(3)符号语言：y=a,/3\y=b=a〃b.

【微点拨】

1.已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直

线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线.

2.应用该定理证明线线平行.

六、两个平面平行的其他性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等.

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

【即学即练1】.若=且。4〃。凶，04与方向相同，则下列结论正确的有（）

A.。8〃。百且方向相同B.OB〃。风方向可能不同

C.。8与。声不平行D.与。内不一定平行

【答案】D

【解析】

【分析】

画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论.

【详解】

解：如图,

当乙405=/40向时，且04〃。/4,04与0A的方向相同，

03与0/8/是不一定平行.

故选：D.

【即学即练2】如图，下列四个正方体图形中，A、8为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中

点，能得出A8〃平面MNP的图形序号是（）

AM

A.①③B.①④

C.②③D.②④

【答案】B

【解析】①连接AC,AC〃MN,可得出面ACB须MPN；④AB〃PN,

PMN；②③中，AB与面PMN不平行.

【即学即练3】下列命题正确的是（）

A.若直线a在平面a外，则直线a〃a

B.若直线a与平面a有公共点，则a与a相交

C.若平面a内存在直线与平面用无交点，则a//£

D.若平面a内的任意直线与平面夕均无交点，则a/川

【答案】D

【解析】

【分析】

利用直线a在平面a外的定义，可判断A；直线a与平面a有公共点，没说明公共点的个数，可判断B；平

面a内也可能存在直线与平面£有交点，可判断C；利用面面平行的判断定理，可判断D

【详解】

直线a在平面a外，则直线a//a或。与a相交，故A错；

直线a与平面a有公共点，则a与a相交或aua,故B错：

C中a与夕可能平行，也可能相交，故C错；

若平面a内的任意直线与平面夕均无交点，则平面a内的任意直线与平面£平行，一定存在两条相交直线与

平面夕平行，则出//，故D正确；

故选：D

【即学即练4】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形A8C。为底面,

则四边形EFG”的形状为（）

A.梯形B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据长方体的性质，结合面面平行的性质有"G〃所,E7///FG,即知E尸G"的形状.

【详解】

由长方体的性质：各对面平行，易知HGUEF,EHUFG,

EFGH为平行四边形.

故选：B

【即学即练5】如图，在四棱锥P-ABCD中，A/、N分别为AC、PC上的点，且MNH平面PAD，则（)

A.MN//PDB.MN〃平面卓5C.MN//ADD.MN//PA

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用线面平行的性质结合线面平行的判定可得出结论.

【详解】

因为〃平面R4。，MNu平面PAC,平面PAC一平面R4Z>=R4,，MV〃E4,

K4u平面上钻，例NO平面上钻，因此，MN〃平面

故选：BD.

【即学即练6】如图，空间四边形ABCD中，E,F,G分别是A8,BC,C。的中点，下列结论正确的是

A.AD//EGB.AC//平面EFG

C.〃平面EFGD.AD,FG是一对相交直线

【答案】BC

【解析】

应用异面直线的定义和线面平行的判定定理逐一判断选项可得结果.

【详解】

A：点Ge平面AOC,点G任直线AO,点E任平面AOC,由异面直线的定义可知AO,EG是异面直线，A

错;

B：AC〃M,由直线与平面平行的判定定理可得AC//平面EFG,答案5对;

C：BD//FG,由直线与平面平行的判定定理可得8D〃平面EFG,答案C对;

D：点Ge平面AOC,点G走直线AO,点尸任平面AOC,由异面宜线的定义可知AO,FG是异面直线，D

错;

故选：BC.

【即学即练7】判断下列命题是否正确，并说明理由:

(1)若平面口内的两条直线分别与平面4平行，则a与4平行;

(2)若平面a内有无数条直线与平面用平行，则a与夕平行;

(3)平行于同一条直线的两个平面平行;

(4)过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行;

(5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面.

【答案】(1)不正确，理由见详解.

(2)不正确，理由见详解.

(3)不正确，理由见详解.

(4)正确，理由见详解.

(5)不正确，理由见详解.

【分析】根据空间线面位置关系的性质，判定定理判断，或举反例说明.

【解析】

(1)不正确，不妨设a=mlIniH,且”uc,〃ue,

则机〃小”/〃，显然结论不成立.

(2)不正确，若平面a内有无数条直线与平面夕平行，

则不能保证两个平面平行，两个平面有可能相交.

(3)不正确，平行于同一条直线的两个平面可能相交.

(4)正确，假设过A存在两个平面a,4都与平面/平行，

则a〃尸，显然这与A是a,夕公共点矛盾.

(5)不正确，若平面外直线与此平面相交，则不存在过该直线的平面与此平面平行.

【即学即练8】如图，梯形中，BCHAD,E是PD的中点，过8c和点石的平面与Q4交于点F.求证:

BC//EF

【答案】证明见解析

【解析】

由证明BC〃平面PAD,再由直线与平面平行的性质可得BC//EF

【详解】

BC//AD,8C平面PAD.4)u平面PAD,

BC〃平面尸A。，

BCu平面BCEF,平面BCEF|平面PAD=EF,

/.BC//EF

考法01

基本事实4的应用

证明两条直线平行的方法：

(1)平行线的定义；

(2)利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理

等；

(3)利用基本事实4.

【典例1】如图，△ABC的各边对应平行于△44G的各边，点E,尸分别在边AB,AC上，且

AE=^AB,AF=^AC,试判断EF与qG的位置关系，并说明理由.

【答案】E尸与qC；平行.理由详见解析.

【解析】平行.理由如下:

♦:AE=；AB,AF=；AC,：.EF〃BC.又B\C\〃BC,：.B,C"EF.

【典例2】如图所示，在长方体AG中，AG与用乌相交于点QE,尸分别是80,G。的中点，则长方体

的各棱中与EF平行的有()

C.5条D.6条

【答案】B

【解析】

根据三角形中中位线的性质，以及长方体的各棱长位置关系进行判断.

【详解】

由于E,F分别是30,C0的中点，

故EF〃B\G，

因为和棱BC平行的棱有A£>,BC,AQ,

所以符合题意的棱共有4条.

故选：B.

【点睛】

本题考查线线平行的判定，涉及平行关系的传递性，属基础题.

考法02

等角定理：利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况.

【典例3】空间两个角a,夕的两边分别对应平行，且a=60。，则夕为（）

A.60°B.120°C.30°D,60°或120°

【答案】D

【解析】：空间两个角a,一的两边对应平行，.•.这两个角相等或互补，；a=60。，.”=60。或120。.故选D.

【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角a与夕的两边对应平行时•，得到这两个角相等或互补，根据所

给的角的度数，即可得到£的度数.

【典例4】如图，在四面体ABCD^,分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点，则下列说法中不正确的是

A.例,N,P,Q四点共面B.NQME=NDBC

C..BCD^..MEQD.四边形MNPQ为梯形

【答案】D

【解析】

根据题意及中位线定理和等角定理可以一-判断.

【详解】

由中位线定理易知MQ//BD,MEHBC.QE//CD,NP//BD.

于人由基本事实易得"Q//NPP,所以M,N,P,0四点共面，故A中的说法正确；

对于8,根据等角定理，得NQME=NOBC,故B中的说法正确；

对于C,由等角定理，知/。同万=/。8（7,/M后。=/88,所以BCD^MEQ,故C中的说法正确；

由三角形的中位线定理知MQ〃BO,M。=g8。.NP//%>,NP=g8。,所以M处P，所以四边形MNPQ为

平行四边形，故D中的说法不正确.

故选D

【点睛】

本题主要考查的是关于平行四边形的判定及四点共面的判定，中位线定理及等角定理的应用，考查学生的

分析推理能力，是基础题.

考法03

直线与平面平行的判定

应用判定定理证明线面平行的步骤:

上面的第一步"找''是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的

性质；利用平行线分线段成比例定理.

【典例5】在空间四边形A2C。中，E,F分别为AB,AZ）上的点，且他:£B=AF:FD=1:4,H,G分别

为BC,C。的中点，则（）

A.平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形

B.E尸〃平面BC。，且四边形EFGH是梯形

C.HG〃平面且四边形EFGH是平行四边形

D.E“〃平面AOC,且四边形EFG4是梯形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据线面平行的判定定理分析判断即可

【详解】

因为E,尸分别为43,AD上的点，且他:所二人尸：㈤目”，

所以EF〃皿，EF=^BD,

因为，H,G分别为BC,8的中点，

所以G”〃B。，GH'BD，

所以EF〃GH,EF丰GH,

所以四边形EFG”为梯形，

因为E尸〃8。，£/（2平面BCD,BDu平面BCD，

所以£尸〃平面5C£）,

若叩〃平面AOC,则由线面平行的性质可得可〃FG，而E4与FG不平行，所以E4与平面ACC不平

行，

故选：B

【典例6】如图，已知四棱锥尸-A8C。，底面48co为正方形，E,尸分别为48,PO的中点.求证：EFH平

面尸BC.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

取PC的中点G,连接FG,BG.由平面几何知识证得四边形BEFG为平行四边形，再由线面平行判断定理

可得证.

【详解】

证明：取PC的中点G,连接FG,BG.

因为尸，G分别为P。，PC的中点，所以尸G〃CO,且尸G=：DC.

因为四边形A8CQ为正方形，所以A8〃C£>,AB=CD.

又因为E为48的中点，所以BE"DC,BE桔DC,所以BE〃尸G,且8E=fG,

所以四边形8EFG为平行四边形，所以EF〃8G.

因为EFH平面PBC,BGu平面PBC,

所以EF〃平面PBC.

【典例7］在如图所示的空间图形中，ZVIBC是任意三角形，AE〃C£>,且AE=2mCD=a,F为BE的

中点.求证：DF〃平面A8C.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

取AB的中点G,连接尸G,CG,先证明四边形CDFG为平行四边形，则可得。尸〃CG,进而可证明结论.

【详解】

证明：取AB的中点G,连接FG,CG.

因为F，G分别是BE,A8的中点，所以PG〃AE且FG=3A£

因为AE=2”，CD=a,所以d>=万4£

因为AE〃CO,所以CD〃尸G且C/)=FG,

从而四边形C0FG为平行四边形，所以DF//CG.

又CGu平面ABC,。川平面ABC,

所以。尸〃平面ABC.

B

考法04

平面与平面平行的判定

平面与平面平行的判定方法有如下三种：

(1)根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

(2)根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平

行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条

相交的直线平行.

(3)根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行.

【典例8】.在正方体中，下列四对截面彼此平行的是()

A.平面片尸。与平面EGMB.平面与平面耳”。

C.平面片;/也与平面尸，4D.平面与平面

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方体的平行关系，可证平面与平面EGW平行，可得出结论.

【详解】

如图，正方体EFGH-4毕加,EEJ1GG、,EE}=GG,,

所以四边形E4GG是平行四边形，4G//EG,4Ga平面,

EGu面EG"」所以gGJ/平面£Gg,同理〃平面£GHi

因为EQcGF=d，g6，G/u平面E、FG、,

所以平面gFGJ/平面EGg.

故选：A

【典例9】如图，在斜三棱柱ABCA/B/G中，点。，》分别在AC,A/G上，那么当点。在什么位置时,

平面3CQ〃平面AB/O/

【答案】。为AC的中点

【分析】根据面面平行的性质定理即可求解.

【解析】连接A山交48/于点。，连接。功，由平面8C/Q〃平面4B/。,

且平面A/8C/PI平面BDCI—BCI,平面A/BC/PI平面AB/Di—DiO,

因此8G〃£)/0.同理

所以器=黑’5F=7H•又因为黑=1，所以嗡=1，即。为AC的中点.

MciOBMciADOBAD

考法05

线面平行、面面平行的综合应用

在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而

是相互联系，并且可以相互转化的.在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理.一般地，证

明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行可以利用线

面平行或面面平行的性质定理来实现.

【典例10】如果AB、BC、CQ是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关

系是（）

A.平行B.相交

C.AC在此平面内D.平行或相交

【答案】A

【解析】把这三条线段放在正方体内如图，

显然AC//EF,ACQ平面EFG.EFu平面EFG,故AC〃平面EFG.故选A.

【典例11］如图所示，在四棱锥C—ABE。中，四边形ABE。是正方形，点G,口分别是线段EC,5。的

中点.

（1）求证：G77〃平面ABC；

（2）线段上是否存在一点“，使得平面GF"〃平面ACO,若存在，请找出点”并证明；若不

存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与6。相交于中点尸，故G尸〃AC.

仁平面ABC，...GF〃平面ABC.

（2）线段BCt:存在一点”满足题意，且点〃是BC的中点.

理由如下：由点G,”分别为CE,CB中点可得：GH//EB//AD

•.•6〃2平面470，，6"〃平面4。£）,由（1）可知，G/〃平面AC。，且G/GH=G,.

故平面GF”〃平面ACO.

【名师点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特

征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：证明线面、面面平行，需

转化为证明线线平行，着重考查了推理与论证能力.

考法06

直线与平面平行的性质定理的应用

应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平

行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平

行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.

【典例12］若直线。平行于平面a,则下列结论错误的是（）

A.直线a上的点到平面a的距离相等

B.直线。平行于平面a内的所有直线

C.平面a内有无数条直线与直线”平行

D.平面a内存在无数条直线与直线。成90。角

【答案】B

【分析】直线a与平面a内的所有直线平行或异面.

【解答】解：由直线。平行于平面a,知：在A中，直线。上的点到平面a的距离相等，故A正确；

在B中，直线a与平面a内的所有直线平行或异面，故B错误；

在C中，平面a内有无数条直线与直线”平行，故C正确；

在D中，平面a内存在无数条直线与直线4成90。角，故D正确.故选：B.

【典例13］如图，在四棱锥P-A8CO中，M,N分别为AC,PC上的点，且MN〃平面力D,贝IJ（）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用线面平行的性质分析解答.

【详解】

•：MN//nPAD,MNu平面以C,平面布OD平面用C=B4,

：.MN//PA.

故选：B

【典例14］如图所示，平面a过正方体ABCD-A/B/C/D的三个顶点B,D,4,且a与底面A/B/GS的交

线为/,则/与8Q/的位置关系是.

【答案】平行

【解析】

【分析】首先证得8。//平面A/B/CQ/.,然后根据线面平行的性质即可得到结果.

【详解】

因为DD〃/BB?,DD产BBi,

所以四边形80。//是平行四边形.

所以BD//BQ］.

又8Q/U平面AIBICIDI,8ZXt平面AIBICIDI,

所以B£>//平面A/B/C/。/.

又BDua,aD平面A/BQD尸/,所以〃/BD

所以UlBiDi.

【典例15］如图所示，在四棱锥P-A8CD中，8s平面外£>,BC=^AD,E是P。的中点.

（2）求证：C。/平面PAB.

【答案】（D证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用线面平行即可证明BC//AD-

（2）取布的中点立连接EF,BF,证明EC/AEB,CE//平面以8即得证.

【详解】

证明：（1）在四棱锥P—ABC。中，

8C//平面用力，BCu平面A8CQ,

平面ABCD平面外£>=A£>,

BC//AD,

⑵取以的中点F,连接EF,BF,

：.EF//AD,EF=-AD,

2

又由（1）可得8C〃AD,且8C=；A£>,

BC//EF,BC=EF,

，四边形BCE厂是平行四边形，

：.ECHFB,

iECn平面以8,FBu平面加8,

.•.EC〃平面PAB.

【点睛】

方法点睛：证明空间直线平面的位置关系一般利用转化的思想：线线平行（垂直）。线面平行（垂直）O

面面平行（垂直）.

考法07

平面与平面平行的性质定理的应用

利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤:

（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；

（2）判定这两个平面平行；

（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；

（4）由定理得出结论.

【典例16】在三棱台中，点。在上，且M//8O,点M是三角形内（含边界）的

一个动点，且有平面8OW〃平面AACG，则动点〃的轨迹是（）

A.三角形A4G边界的一部分B.一个点

C.线段的一部分D.圆的一部分

【答案】c

【解析】

【分析】

过。作OE//AC交BC于E,连接8E,证明平面E7E〃平面AACC,得MGOE,即得结论.

【详解】

如图，过。作力E//4©交片GTE,连接BE,

BD//AAt,8£）二平面A41GC,u平面AA^C,所以8£）〃平面,

同理DE//平面AACC，又BDcDE=D,平面由小，

所以平面BDE〃平面AAGC,所以Me£）E,不与£＞重合，否则没有平面3DW）,

故选：C.

R

【典例17］设,a〃B，A、Cea,B、DGp,直线A8与CD交于S,若AS=8,BS=9,CD=34,则CS的

长是.

【答案】272或16

【解析】有两种情况，当点S在明夕面同侧时，如图3）所示,

AS_CS

'：a//f},SBDHa=AC,平面SBOCl夕=BC,：.AC//BD,京=示,

IjijLxO且鼐=历

.「JASCQ_8X34

-cs=AB=9-8=272.

0q.CS_8

同理，当点S在%A两平面之间，如图（。）所示，可证得AC〃D5及施=庆,•*CD-CS=9,

SCD8x34

A9CS=8CD-8CS,：.CS=TT=17=16,

【典例18］已知三个平面%人/满足a〃6〃力直线〃与这三个平面依次交于点A、B、C,直线人与这

ABEF

三个平面依次交于点E、F、G,求证：---=----.

BCFG

【答案】证明详见解析.

【解析】如图，连接AG交夕于“，连接8"、FH、AE、CG.

,/P//Y,平面ACGfV=8〃，平面ACG.y=CG,.•.8〃〃CG.

:.四=必=交，即任二竺

同理AE〃”居

BCHGFGBCFG

【名师点睛】①当“与匕共面时，有AE〃8/〃CG.上述证明过程也是正确的，只是此时8、H、尸三

点共线.

②连接CE，可同理证明.

③当“与6异面时，可过A（或&C）作人的平行线或过E（或双G）作。的平行线，再利用面面平

行的性质定理可证得结论.

以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共

fii分层提分

题组A基础过关练

1.已知A8//PQ,BC//QR,ZABC=30°,贝iJNPQR=（）

A.30°B.30°或150°

C.150°D.30°或120°

【答案】B

【解析】

根据等角定理，即可得到结论.

【详解】

ZABC的两边与2PQR的两边分别平行，

根据等角定理易知NPQR=30°或150。.

故选：B.

【点睛】本题考查等角定理，属基础题.

2.在空间四边形A8C。中，AC^BD,E,F,G,〃分别是边A8,BC,CD,D4的中点，顺次连接各边中点

E,F,G,H,所得四边形的形状是（）

A.梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFG”是平行四边形，再由AC=3Z）即可判断四边形

EFGH的形状.

【详解】

如图所示，空间四边形A8CO中，连接AC,8。可得一个三棱锥，

将四个中点连接，得到四边形EFGH,

由中位线的性质及基本性质4知，EH//FG,EF//HG；

：.四边形EFG”是平行四边形，又AC^BD,

：.HG=^AC=^8D=EH,

.••四边形EFG”是菱形.

A

3.如图，在直四棱柱ABCQ-ABCIR中，下列结论正确的是（）

A.AC与是两条相交直线B.AA〃平面B8Q,

C.B'C"BD,D.A,C,B1,R四点共面

【答案】B

【解析】

【分析】

根据异面直线的判定定理，直线与平面平行的判定定理，四点共面的判定，结合四棱柱的性质逐一判定即

可.

【详解】

8。匚面48。，ACc面ABR=A,AgBD,,所以AC与5R是异面直线，A错；

因为44,〃£电，的C面即〃，BBLBBQi，所以A4"面8BQ,B正确；

B"u面B8Q,8（）面阴。=旦，4任8Q,所以BC与8R是异面直线，C错；

如图所示，A,C,R三点在面ACA上，BQ,与面ACA相交，所以A,C,用，2四点不共面，D错.

故选：B.

4.若直线“〃平面a,A建a,且直线”与点A位于a的两侧，B,C^a,AB,AC分别交平面a于点E,F,

若3c=4,CF=5,AF=3,则EP的值为（）

B

22

A.3B.c4D.

23

【答案】B

【解析】

【分析】

由线面平行的性质得出线段间的比例，可得选项.

【详解】

解：9：BC//a,且平面

.AF_EF3EF

/.EF//BC,即,

*AC-BC5+3

3

：.EF=-

2

故选：B.

5.如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,/V,。为所在棱的中点，则在这四个正

方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用线面平行判定定理逐项判断可得答案.

【详解】

对于选项A,OQ//AH,。。与平面MN。是相交的位置关系，故A8和平面MN。不平行:

对于选项B,由于〃例。，结合线面平行判定定理可知45〃平面MNQ：

对于选项C,由于AB〃C£）〃MQ,结合线面平行判定定理可知AB〃平面MN。：

对于选项D,由于AB//CD//NQ,结合线面平行判定定理可知A8〃平面MNQ：

故选：A.

6.如图，在长方体ABC。-A/B/GG中，点E,F分别是棱A4/和88/的中点，过EF的平面EFGH分别交

BC和AO于点G,H,则G4与AB的位置关系是（）

B.相交

C.异面D.平行或异面

【答案】A

【解析】

【分析】

先证明EF//平面ABCQ,再证明EF//GH,即得证.

【详解】

由长方体的性质知，EF//AB,EF(Z平面A8CDABa平面ABCD,

所以瓦7/平面ABCD,

：EFu平面EFGH,平面EFGHC平面ABCD=GH,

J.EFHGH.

又EF//AB,

：.GH/IAB.

故选：A

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是在解题过程中熟练运用线面平行的判断和性质定理.

7..一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M,GH的中点

为N,下列结论正确的是()

A.MN//平面ABEB.MN”平面ADE

C.MN〃平面BDHD.MV//平面CUE

【答案】C

【解析】

根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取尸”的中点连接ON,80,可以证明MNII80,

利用8。与平面A8E的关系可以判定与平面A8E的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面

BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面4OE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面

平行的判定定理可以证明MN与平面8OE的平行关系，进而判定C；利用在平面CDEF的两侧，可以

判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.

【详解】

根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取F”的中点。,连接OMB。，

易知ON与平行且相等，，四边形。M0B为平行四边形，，MNII50,

♦.•80与平面ABE（即平血A8FE）相交，故MN与平面A8E相交，故A错误：

平面ADEII平面8cAMNC平面BCF=M,：.MN与平面ADE相交，故B错误；

：80u平面BDHF,^BOII平面BDH,MNIIBO,MNQ平面BDHF,：.MNII平面BDH效C正确；

显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故O错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关

键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的

判定与性质找到MN的平行线BO.

B.EB.D.

8.如图所示，正方体ABCQ-ABC。，E在BR上,尸在A局上，且染=肝，过E作EH〃耳B交8。

于H,则平面EF”与平面B8CC的位置关系是（)

A.平行B.相交C.垂直D.以上都有可能

【答案】A

【解析】

【分析】

根据面面平行的判定定理：由线线平行推出面面平行.

【详解】

B.EB.D.

在平面A5GD中，因为芸=曾，所以

Dxr修Aj

由正方体AB8-ABCQ,B&〃AR，所以E尸〃BG，

又因为EH〃瓦8,E77u平面EFH,EFu平面E777,

u平面BBCC,4Gu平面BB£C,EH\EF=E,BBJB£=Bj

所以平面EFH〃平面BB£C

故选:A.

9.过两条异面直线（）

A.可能不存在两个互相平行的平面B.有且只有两个平面互相平行

C.可能存在两对互相平行的平面D.可能存在无数对互相平行的平面

【答案】B

【解析】

【分析】

用反证法证明过b与。平行的平面有且只有一个，然后可得正确选项.

【详解】

如图，a,b是异面直线，过B上一点P作〃?//a,则m与匕相交于点p,

记6,机确定的平面为夕，显然。二尸，而mu/?,则。//"，因此过分存在平面与“平行,

假设过6还有一个平面/与。平行，

mlla,设4帆确定的平面为S,则5「夕=相，因此尸是平面,与平面5的公共点，设73=c，显然

cim=P,

由a///得。〃c,所以c〃/n,与cf〃z=P矛盾，

所以过人只有一个平面与“平行，

同理过a也只有一个平面与b平行，从而可得这两个平面平行，

因此过这两条异面直线有且只有两个平面（一对平面）互相平行.

故选:B.

10.如图，在长方体ABCD-A/&C/C中,若E,F,G,H分别是棱A/B/,BBi,CCi,CD的中点,则必有

A.BDJ/GHB.BD//EF

C.平面EFGH〃平面A8CDD.平面EFGH〃平面A/BCD

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可.

【详解】

易知G"〃。/C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以8。，GH不可能互相平行,

故选项A错误；

易知E尸〃A/B,与选项A同理，可判断选项B错误；

因为EF//A/B,而直线AiB与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面

ABC。相交，选项C错误：

对于D,平面£7P”〃平面48（7马，理由是：

由E,F,G,H分别是棱A科，BB、,CG，GA的中点,

得出E尸//48,EH"AR,

所以所〃平面ABCD、,EHH平面ABCR,

又EFEH=E,所以平面瓦G“〃平面ABC。,.

故选：D.

11.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A/B/G。/中，E是棱。D的中点，尸是侧面CQDG上的动点,

且8/尸〃平面A/BE,则F在侧面C£>Q。上的轨迹的长度是（）

A.aB.-C.y/2aD.乌

22

【答案】D

【解析】

【分析】

过用做与平面ABE平行的平面，该平面与侧面CDRG的交线，即为满足条件的轨迹，求解即可.

【详解】

设G,”，/分别为co,cci,as边上的中点,

连接8〃，B/H,IH,CD,,EG,BG,则AB〃CR〃GE,

所以Aj,B,E,G四点共面,

由B]H//4上,AEz平面BiHl,B\Hu平面BiHl,

所以A/E〃平面3/”/,同理A/B〃平面3/〃/,

A3AiE=A1,所以平面A/3GE*〃平面3/〃/,

又因为3/〃平面A/3E,所以厂落在线段印上，

因为正方体ABCD-ABCQ）的棱长为。，

所以印」CR=—a,

即尸在侧血CO》。上的轨迹的长度是走a.

2

故选：D.

12.如图，在长方体ABCD-A/CQ中，AD=DDt=\,AB=y/3,E,F,G分别为A8,BC,C|R的中点，点

P在平面A8CZ）内，若直线平面EFG,则Q与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为

A.迥B.显C.@D.五

3222

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行求解即可.

【详解】

如图，连接RA,AC,qC，

因为E,F,G分别为A8,BC，GR的中点，

所以AC//EF,EFcz平面ACDt,则EF//平面ACDt,

因为EG//4R,所以同理得EG//平面ACR,

又EF(EG=E,得平面ACR〃平面EEG,

所以点P在直线AC上，则。与满足题意的P构成的平面截正方体的截面为△4C。,

在△ACA中，有">1=A/^AC=2,CD1=2,所以SA“c=gx&x

故选：D

题组B能力提升练

1.（多选题）下列命题中，错误的结论有（）

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等

C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

【答案】AC

【解析】

【分析】

由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.

【详解】

对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；

对于选项B：山等角定理可知B正确；

对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互

补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与乙418cl满足A。J.AB,QRLGB,

TTTT

但是幺AG=],NA.BG=1,二者不相等也不互补.故选项c错误;

对