空间向量与立体几何-学易金卷：2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（解析版）

专题13空间向量与立体几何

（新课标全国I卷）1.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽

略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

【答案】ABD

【详解】对于选项A：因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为0m，且血>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为也m，且6<1.8，

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过4G的中点。作OE，AC1,设。£1AC=E,

可知AC3CC3OA邛，则tanNC案噬

1OE

即耳，解得。£=也r，

T4

2

399八々即逅>0.6,

且=-=—>—=0.6*

824254

故以AG为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心。口与正方体的下底面的切点为

M,

可知：AG_LaM，a〃=0.6,则tanNCAG=^=要，

ACA。］

10.6_广

即U=~AO，解得AO'=0,6夜，

根据对称性可知圆柱的高为道-2*0.6夜“1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能够被整体放入正方体内，故D正确;

故选：ABD.

（新课标全国1卷）2.在正四棱台中，AB=2，A耳=1,/见=3,则该棱台的体积为

【答案】皑/

【详解】如图，过A作A"_LAC,垂足为M,易知AM为四棱台ABCD-ABCQ的高，

因为A8=2,4耳=1,44=72,

则AG=ga£=¥，4O=gAC=gxV£4B=&,

故AM=g（AC-AG）=等，则AM=JM_4M2=,；=

所以所求体积为V=1x（4+1+百万）x迈=辿.

326

故答案为：友.

6

（新课标全国I卷）3.如图，在正四棱柱ABC。-ABC。中，AB=2,A4,=4.点4，B2，C2,3分别在棱

AA],BB[,CC\tDDX上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

GB\

⑵点尸在棱8片上，当二面角为150。时，求B2P.

【答案】（1）证明见解析；

（2）1

【详解】（1）以C为坐标原点，CD,C8,CG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

B2C2=(0,-2,1),3=(0,-2,1),

62c2〃&4,

又BG，42不在同一条直线上，

B2C2//A2D2,

(2)设P(0,2,2)(04244),

则&G=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-2),£>2C2=(-2,0,1),

设平面PA2C2的法向量”=(x,y,z),

n-AC=-2x-2y+2z=0

则22

n-PC2=-2>'+(3-2)z=0'

令z=2,得y=3—2,x=4—l,

n—(4—1,3—4,2),

设平面4G。2的法向量m=(a,b,c),

m•A>C=-2a-2h+2c=0

则

m,D2c2=-2a+c=0

令a=\,得Z?=l,c=2,

...in=(1,1,2),

Icos(n,斜=-rj—=]-----$-----=|cos150°|=—,

I\71厨4+(f，+(3--)2112

化简可得，矛-4/1+3=0，

解得；1=1或2=3,

P(0,2gP(0,2,3),

：.B2P=\.

(新课标全国n卷)4.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,48为底面直径，ZAPS=120°,%=2,点

C在底面圆周上，且二面角P-AC-0为45。，则().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为467t

C.AC=2叵D.△PAC的面积为G

【答案】AC

【详解】依题意，ZAPB=120°,24=2,所以。尸=1,。4=03=6，

A选项，圆锥的体积为gx7TX(6)xl=7t,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为兀xgx2=2百it,B选项错误：

C选项，设。是AC的中点，连接ODP。，

则AC_LOZ),AC，P。，所以Z/YX?是二面角P-AC—。的平面角，

则NP£>O=45。，所以OP=QD=1,

故A。=C£)=^/J口=0,则AC=2J5,C选项正确；

D选项，PD-Vl2+12=72-所以SPAC=；x2j5x正=2,D选项错误.

故选：AC.

（新课标全国n卷）5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高

为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

【答案】28

【详解】方法一：由于2:=1而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为:x3x（16+4+71数）=28.

故答案为：28.

（新课标全国H卷）6.如图，三棱锥A—58中，DA=DB=DC,BDLCD,NADB=ZA£>C=60,E

（1）证明：BCYDA-,

（2）点尸满足EF=£）A，求二面角O-AB-F的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵卓,

3

【详解】（1）连接AE，DE,因为E为BC中点，DB=DC,所以①，

因为D4=£>5=DC,=NAQC=60，所以.ACD与△ABO均为等边：角形,

:.AC=AB,从而A£_L8C②，由①②，AE\DE=E,4£。£<=平面人。£,

所以，BC1平面ADE,而AT>u平面ADE,所以BC_LD4.

（2）不妨设ZM=DB=£＞C=2,BD1CD,:.BC=2g,DE=AE=E.

.­.AE2+DE2=4=AD2^:.AE1DE,又AE上BC,DE\BC=E,OE,8Cu平面BQ），A£_L平面BCD.

以点E为原点，EC,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

y

设£＞（＞/2,0,0）,A（0,0,V2）,8（0,女,0）,£（0,0,0）,

设平面ZM3与平也1ABF的一个法向量分别为4=（X],y,Z]）,%=（尤2,当，z?）

二面角。一A8-尸平面角为仇而A8=（0,夜,一夜），

因为EF=D4=（-夜,0,忘），所以F（-夜,0,应），即有AF=（-五,0,0）,

f-\/2x+V2z.=0

・•・[宿一缶=0'取X□'所以”=（卬）

｛啜-[”=0,取力=1,所以叼=（0,1,1）,

所以，际。|=和=后"3•从而sm"R=三

所以二面角O-AB-尸的正弦值为立.

3

（全国乙卷数学（理）（文））7.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该

零件的表面积为（）

11111111111111

11111111111111

r--r-~|i—i--1r--r-i|—r-■r--1

1■一-「--ir-r-~l—-1--1

!””！irrrtrri

t1111111111111

11111111111111

iiiiiii

iiiiiii

~~PT-]

『十七廿[T

।।।।।।t

।।।।।।।

।।।।।।।

।।।।।।।

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【详解】如图所示，在长方体4BCD-A8CQ中，AB^BC=2,AAt=3,

点K为所在棱上靠近点稣G,A,A的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体AB8-A4GP去掉长方体ON/C；q之后所得的几何体,

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）=30.

故选：D.

（全国乙卷数学（文））8.己知点S,AB,C均在半径为2的球面上，.ABC是边长为3的等边三角形，SA1

平面AfiC,则SA=.

【答案】2

【详解】如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SMN-ABC.

设,ABC的外接圆圆心为。一半径为,，

2；.：AB_3.2石

则sinZACB遮，可得r=G，

~2

设三棱锥S-ABC的外接球球心为。，连接040。，则04=2,0。=，SA,

2

因为。12=00：+0汗，即4=3+1SA2,解得S4=2.

故答案为：2.

(全国乙卷数学(理)(文))9.如图，在三棱锥P-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=20，PB=PC=46,

BP,AP,BC的中点分别为。，E,O,AD=y[5DO,点尸在AC上，BFVAO.

(1)证明：所〃平面A。。：

(2)证明：平面AOOL平面BEF；

⑶求二面角O-AO-C的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵证明见解析；

⑶也.

2

【详解】(1)连接。E，OF,设AF=MC,则8尸=&4+4/=(1-，)84+18。，AO=-BA+^BC,BFLAO,

贝iJBF-A0=[(l_f)BA+/BC]-(_BA+5BC)=(/_l)BA+-/BC2=4(r-l)+4/=0,

解得f=g，则/为AC的中点，由RE,O,尸分别为尸仇尸A,8cAe的中点，

于是。E//4aDE=-AB.OF//AB,OF=-AB,即DEIIOF,DE=OF,则四边形ODEF为平行四边形，

22

EFHDO,EF=DO,又所0平面的0,。0匚平面月。0,

所以EF〃平面A。。.

P

(2)由(1)可知EF//OD,则AO=#,OO=渔，得4。=石。0=画，

22

因此O£>2+AO2=A£>2=",则O£>，AO,有斯，AO,

2

又AOLBRBFEF=F,BF,EFu平面BEF,

则有AO_L平面B£F,又AOu平面A£>0,所以平面4)0_L平面BEF.

(3)过点。作OH〃8尸交AC于点H,设A。BE=G,

由AOJ.8尸，得〃O_LAO,且尸"

3

又由(2)知，ODLAO,则NOO〃为二面角。-AO—C的平面角，

因为DE分别为P8,产A的中点，因此G为qF48的重心，

1113

即有。G=—A£),GE=—8E,又FH=-AH,即有£>"=—GF

3332

3_15

+)4+6―PA.~7

cosZABD=-----五=2x2乂瓜'解得PA=&Z，同理得=

2X2XT

/1/AY(/AYs

于是册+犷3〜，即有皿呼,则谈=+岛,

从而前"日'的=1考=孚'

在△DO”中，OH=-BF=昱"=见孙=叵,

2222

63_15

3厂W

于是cosZ.DOH=

2x----x—

22

所以二面角。-AO-C的正弦值为也.

2

（全国乙卷数学（理））10.已知圆锥PO的底面半径为6,。为底面圆心，用,PB为圆锥的母线，ZA（?B=120°,

若二R48的面积等于竽，则该圆锥的体积为（）

A.nB.X/6TTC.37rD.3瓜兀

【答案】B

【详解】在“A08中，403=120。，而04=08=6,取A8中点C,连接。CPC,有OCJ_4?,PC_LAB,

如图，

/ABO=30，OC=—,AB=2BC=3,由47MB的面积为吨,^-x3xPC=—,

2424

解得PC=手，于是尸o=\IPC2-OC2=1(当了-(^2=瓜，

所以圆锥的体积丫=g兀xOA:xPOug兀x（百）2、后=布兀.

故选：B

（全国乙卷数学（理））11.已知MC为等腰直角三角形，A8为斜边，△A83为等边三角形，若二面角

C-AB-。为150。，则直线CZ）与平面ABC所成角的正切值为（）

【答案】C

【详解】取AB的中点E,连接CE,OE,因为।ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE/AB,

又△42是等边三角形，^DE.LAB,从而NCED为：面角C-的平面角，即NCE£>=150,

显然CEc£)£'=E,CE,r>Eu平面C£)£',于是平面C£)E,又A8u平面ABC，

因此平面CDE，平面ABC,显然平面CDEc平面ABC=CE,

直线CDu平面CDE，则直线8在平面ABC内的射影为直线CE,

从而/DCE为直线C。与平面43c所成的角，令43=2,则CE=1,DE=百，在CDE中，由余弦定理得:

CD=>JCE2+DE2-2CE-DEcosZCED=+3_2xlxgx(一争=近，

DECD即疝〃3回嗯=卓，

由正弦定理得

sinZDCEsinZCEDV72V7

显然NQCE是锐角,cosZDCE=Vl-sin2ZDCE=

所以直线co与平面ABC所成的角的正切为B.

5

故选：C

（全国甲卷数学（文））12.在三棱锥P-A8C中，43c是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=巫,

则该棱锥的体积为（）

A.1B.73C.2D.3

【答案】A

【详解】取AB中点E,连接PE,CE,如图，

ABC是边长为2的等边二角形，PA=PB=2,

:.PE1.AB,CEVAB,又尸E,C£u平面PEC,PECE=E,

AB工平面PEC,

乂PE=CE=2XL=BPC=瓜,

2

故PC2=PE2+CE2,即PELCE,

所以U=%“EC+匕AB=gxgx>/5x百x2=l,

故选：A

（全国甲卷数学（文））13.在正方体ABCO-ABCQ中，48=4。为AG的中点，若该正方体的棱与球。

的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是.

【答案】[2夜,2石]

【详解】设球的半径为R.

当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包

含正方体，导致球面和棱没有交点，

222

正方体的外接球直径2R'为体对角线长AC}=V4+4+4=46，即2R'=4百,R'=2下>,故«1ax=28：

分别取侧棱叫，网，CG，DD,的中点M”,G,N,显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且。为正方形

M7VGH的对角线交点，

连接MG,则MG=40，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最小，即R的最

小值为2夜.

综上，7?e[2>/2,2>/3].

故答案为：[2近,26]

（全国甲卷数学（文））14.如图，在三棱柱A3C-4月G中，A。，平面ABC,44c8=90。.

（1）证明：平面ACGA，平面88。。；

（2）设AB=AB,AA=2,求四棱锥A-BBCC的高.

【答案】（1）证明见解析.

（2）1

【详解】（1）证明：因为AC，平面ABC,BCu平面ABC,

所以ACLBC,

又因为NAC8=90,即AC13C,

40。＜=平面40；4，ACcAC=C,

所以8c1平面4CGA，

乂因为BCu平面BCG4,

所以平面ACC0J_平面BCC4

（2）如图，

因为平面ACCM平面5CC£,平面4CCM平面8CC£=C0,AQu平面ACQA,

所以A。，平面BCCg,

所以四棱锥A-BB£C的高为4。.

因为AC1平面ABC.AC,BCu平面ABC,

所以AC，8C,4C，AC,

又因为AB=AB,BC为公共边，

所以A5c与AABC全等，所以AC=AC.

设AC=AC=x,则AG=x,

所以。为CG中点，00=3例=1,

又因为4。，4。,所以4。2+4（72=例2,

即4+4=22,解得x=0,

所以qo=Jqcj-oc：=｛（何一1?=i,

所以四棱锥a-8B£C的高为1.

（全国甲卷数学（理））15.在四棱锥P—A8CO中，底面ABCD为正方形，A8=4,PC=p。=3,NPCA=45°,

则.PBC的面积为（）

A.2>/2B.3五C.4垃D.5叵

【答案】C

【详解】法一：

连结AC,8〃交于。，连结P。，则。为AC,8D的中点，如图，

因为底面ABCD为正方形，AB=4,所以AC=8O=4&，则。0=。0=2立，

又PC=PD=3,PO=OP,所以3P£)0二PC。，则NPDO=NPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4丘,所以，P£)B=PC4,则R4=P8,

在△PAC中，PC=3,4C=40,NPCA=45°,

则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4x3x立=17,

2

故PA=VF7,则PB=Vi7,

故在PBC中，PC=3,PB=y/n,BC=4,

PC2+BC1-PB19+16-17

所rri%以lcosNPCB=-----------------------=--------------

2PCBC2x3x44

又。<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=辿

3

所以PBC的面积为S=；PC•BCsinNPCB=Jx3x4x孚=472.

法二：

连结AC,B£）交于0,连结P。，则。为AC,BD的中点，如图，

因为底面ABCD为正方形，AB=4,所以AC=BO=4&，

在中，PC=3,NPCA=45°,

则由余弦定理可得PA?=AC2+PC2-2AC-PCCOS/PCA=32+9-2X4&X3XL=17,故PA=炳,

2

所以8,4公"+%—*17+设32=_立,

2PAPC2x717x317

P4-PC=|PA||Pc|cosN4PC=ax3x]-*)=—3,

不妨记PB=m,NBPD=®,

因为尸0=；(PA+PC)=g(P8+P£)),所以(PA+PC『=(PB+P3『，

日口，2222

即PA+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD，

则17+9+2x(—3)=w2+9+2x3x；ncos0,整理得m2+6〃7cos6—11=0①，

又在/\PBD'I',BD2=PB2+PD2-2PB-PDcosNBPD，即32=>+9_6/ncos6，则病-6〃?cos。-23=0②,

两式相加得2府-34=0，故P8=机=后，

故在PBC中，PC=3,PB=®BC=4,

PC2+BC1-PB29+16-17I

所以cosNPCB=

2PCBC-2x3x4-5

又0<NPCB<n,所以sinNPCB71-cos?2PCB=迪

3

所以PBC的面积为S=』PC•8CsinNPCB=-x3x4x述=4五-

223

故选：C.

（全国甲卷数学（理））16.在正方体ABC。-ABC。中，E,F分别为CQ,4A的中点，则以EF为直径

的球面与正方体每条棱的交点总数为

【答案】12

【详解】不妨设正方体棱长为2,EF中点为0,取AB,8用中点G,M,侧面BB℃的中心为N,连接

FG,EGQMQN,MN,如图，

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=\JFG2+EG2=V22+22=2V2>

即R=0，

则球心。到的距离为OM=，ON2+MN?==叵,

所以球。与棱相切，球面与棱只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以E尸为直径的球面与正方体每条楼的交点总数为12.

故答案为：12

（全国甲卷数学（理））17.在三棱柱ABC-AB©中，M=2,A。，底面ABC,ZACB=90。，A倒平面

8CC4的距离为1.

（2）若直线AA与BB1距离为2,求ABt与平面BCC网所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【详解】（1）如图,

.,.AC1BC,又8C，AC,ACACu平面4CCM,AlCnAC=C,

.♦.BCJL平面ACC*/,乂BCu平面8CG4，

,平面ACGA_L平面BCGB」

过A作A,01CC,交CC,于。，又平面ACC,4(］平面BCC、B、=CC,,AtOu平面ACC^,

A01平面8CC百

A到平面5CGB1的距离为1,，AO=1,

在Rt/\ACG中，AC，AG，CG=例=2,

设CO=x,贝|JCQ=2-X,

△AOC,ZXAOC，,AACG为直角三角形，且cq=2,

222222

CO+A.O=AtC,A,O+0C；=GA：,A,C+A。；=C,C,

:.l+x2+l+(2-x)2=4,解得尤=1,

AC=AyC=AG=\p2,

AC=A。

(2).AC=\CVBC±A1C.BC±AC,

*.RtAACB^RtA^CB

/.BA=B\,

过3作BOLAA，交A4于£>,则。为AA中点,

由直线AA与§岗距离为2,所以8。=2

4。=1,BD=2,：.A]B=AB=y/5»

在Rt/XABC,...BC=>]AB2-AC2=>

延长4C,使AC=CM,连接GM,

由CM〃AG，CM=AG知四边形ACMG为平行四边形,

.•<M〃AC,平面ABC,乂AMU平面ABC,

CtM1AM

22

则在RtAAC.M中，AM=24C,GM=A。，；.ACy=7(2AC)+A,C,

在RtZ\AAG中，AC,=y](2AC)2+A.C2,耳£=8C=后,

AB、=J(2亚尸+(0)2+(省产=岳,

乂A到平面BCCg距离也为1,

1V13

所以4片与平面BCG区所成角的正弦值为

（新高考天津卷）18.在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=；PC,线段PB上的点N满足

2

PN=-PB,则三棱锥P-AW和三棱锥P-的体积之比为（）

A.14

BcD.

9-I-I9

【答案】B

【详解】如图，分别过M，c作MMUPA,cd1PA,垂足分别为C'.过B作BB'_L平面PAC，垂足为》，

连接P3',过N作MV'J"P8',垂足为N’.

因为88'J_平面PAC，SQu平面PS4,所以平面PBBU平面PAC.

乂因为平面1平面PAC=P8'，NN'1PB''NN'u平面PBB’，所以NMJ_平面PAC,且BB‘"NN’・

PMMM'1

在△PCC中，因为MM'_LPACC*_LPA，所以MW'//CC'，所以后=—T=J，

PCCC3

在△P88'中，因为BB'〃AW'，所以型=也=2

PBBB'3

・NN'

所以孑口PAM3（2J=2

1

^P-ABC^B-PAC-S.RR'-fPACC'XBB'，

3。PACDD

3（2J

故选：B

（新高考天津卷）19.三棱台ABC-AB©中，若AAJ.面ABC,A8，AC,4B=4C=4A=2,4C=1,M,N

分别是3cBA中点.

(1)求证：AN〃平面GMA；

⑵求平面CMA与平面ACGA所成夹角的余弦值;

⑶求点C到平面CM4的距离.

【答案】(1)证明见解析

（2）1

连接知％,44.由加,'分别是8。,氏1的中点，根据中位线性质，MN//AC,且政7=行=1,

由棱台性质，AG〃4C,于是MN〃A£,由MN=AG=1可知，四边形”惚6是平行四边形，则4N〃

MG，

又AN<Z平面C|MA,MC|U平面GMA,于是A,N〃平面C|MA.

(2)过M作ME_LAC,垂足为E,过E作E尸，ACj垂足为尸,连接MF,GE.

由MEu面ABC,AAJ•面ABC,故又MELAC,ACQAAl=A,AC,A4,u平面ACQA,则

腔，平面47«4.

由A£u平面ACGA，故MELAC-又EF_L4G，MEcEF=E,ME,Mu平面ME尸，于是AG，平

面MEF,

由MFu平面ME尸，故AC尸.于是平面GAM与平面ACCM所成角即NMF£

ry122

又ME=w=I,cosNC4C1=布，贝IjsinNCAC1=不，故EF=lxsinNCAG=存，在Rt.中，

(3)［方法一：几何法】

过G作C/LAC,垂足为尸，作垂足为Q,连接PQPM,过产作PR^GQ，垂足为R.

由题干数据可得，CtA=CtC=y［5,GM=KF+PM2=后,根据勾股定理，GQ=j5-与=当

由C/L平面AMC,AMu平面4WC,则C/LAM，乂GQLAM,QQC/=G,C©,C/u平面弓尸。,

于是平面£尸。-

乂*?u平面Cf。，则PRL4W,又尸R，G。，GQAM=Q,gQ,AMu平面。阳4,故松，平面GMA.

在R3GPQ中，PR=^-^-=2—^-=^,

2cl3y2.J

F

又C4=2R4,故点C到平面CtMA的距离是p至ij平面QMA的距离的两倍,

4

即点C到平面CtMA的距离是：.

［方法二：等体积法］

辅助线同方法一.

设点C到平面GMA的距离为h.

xCPx5=x2xx=

K-,-4«c=|14,Wc1^(^)'|>

,1,„1,1/r35/2/;

Vz

C-C,MA=^hxSAMCi=-xhx-Xy/2x-=~.

h24

由%-AMC=%-GMAO]=§，即/?=§.

:金2023年高考模拟题

一、多选题

1.（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图所示，该几何体由一个直三棱柱ABC-ABC和一个四棱锥

。-ACC4组成，AB=BC=AC=AA,=2,则下列说法正确的是（）

A.若AO_LAC,则

B.若平面4CQ与平面AC。的交线为/,则AC〃/

C.三棱柱ABC-AgG的外接球的表面积为手

D.当该几何体有外接球时，点。到平面ACC0的最大距离为应

【答案】BD

【详解】对于选项A,若仞，AC,又因为AA1平面ABC,

但是。不一定在平面ABC上，所以A不正确；

对于选项B,因为AG〃AC,所以AC〃平面AC。，

平面AGDC平面A8=/,所以AC/〃，所以B正确；

对于选项C,取AA8C的中心。，A4|B|G的中心。|,

。。的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R=F'¥'=浮，

7Q

所以外接球的表面积为4万尸=r,所以C不正确；

对于选项D,该几何体的外接球即为三棱柱ABC-ABC的外接球，

。。的中点为该外接球的球心，该球心到平面ACC4的距离为坦，

3

点、D到平面ACGA的最大距离为R_B=且二叵，所以D正确.

33

故选：BD

2.（2023•广东深圳•深圳市高级中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABC。中，底面A8CD为矩形，AB=2日

BC=y/2>PA=PB=a，PC=PD=2.下列说法正确的是()

A.设平面P/Wc平面PC£>=/,则〃/AS

B.平面XM)_L平面PBC

C.设点、MGBC,点、NePD,则MN的最小值为6

D.在四棱锥P-ABCD的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球

【答案】AB

【详解】该四棱锥如图.

P

对于A：设平面平面PC£>=/,因为A8CD为矩形，AB//CD,平面PC。,

C£>u平面PCD,所以43〃平曲PC£>,

乂平面平面PC£>=/,ABu平面所以〃/AB,所以A对：

对于B：；BC=&，PB=8,PC=2,BC-+PC-=PB2,所以8C_LPC,

又底面ABC。为矩形，所以AD//BC,ADLPC,

因为PC=2=PD,CD=2s/2,BPCD2=PC2+PD',所以PC_LP”

而ADIPD=D,4Q,POu平面「仞，所以PCL平面PAO,PCu平面P8C,

所以平面尸BC_Z平面PAD,故B对；

对于C：由B选项可知MV的最短距离就是PC=2,所以C错：

对于D：取A3、C£>的中点E,F,连接EF、PF、PE,

则与平面E4B、平面PC£>、平面ABCD都相切的球的半径即为！的的内切圆半径，

因为EF=&，PF=&，PE=y]PB2-BE2=2>

所以P尸+£尸=丑£,则尸产J_EF,

设！际的内切圆半径为则g(PE+PF+EF)n=gEFPF,解得弓=啦-1,

同理与平面PA。、平面PBC、平面A8CD都相切的球的半径即为的内切圆半径,

设，PCD的内切圆半径为4，

因为PC=PO=2,CD=20所以g（PC+PO+CO）4=gpCP。，解得五=2-&,

所以4WR,所以D错.

故选：AB

3.（2023・广东佛山・统考模拟预测）已知正方形ABC。的边长为2,P是平面ABC。外一点，设直线必与平

面A8CD所成角为a,三棱锥尸-ABC的体积为V,则下列命题中正确的是（）

A.若平面Q4D_L平面ABCD,则45_LPDB.若平面A4£>J_平面ABCD,则AD_LPC

7TI

C.若PA+PC=25则a的最大值是；D.若PA+PC=2B则V的最大值是彳

43

【答案】AC

[详解】对于AB：因为平面PAD，平面ABCD,平面PADo平面ABCD=AD,/W_LAD，ABu平面ABCD,

所以平面PAD,户Du平面PAO,所以

又ADJ.DC.若ADLPD,则PDc£）C=。，刊）,。。匚平面尸〃。，所以A。_L平面PDC,

由尸Cu平面POC,则可得AO_LPC,

由于无法得知A。与PQ是否垂直，故无法证明AO与平面9C是否垂直，故A正确，B错误；

对于CD：由题意知，点尸为动点，A、C为定点，PA+PC=26

由椭圆的定义知，点尸的轨迹是以AC=2应为焦距，长轴为2b的椭圆，

将此椭圆绕AC旋转-周，得到•个椭球，即点尸的轨迹是一个椭球，

而椭球面为一个椭圆，由2q=262c=,22+2==20，

22

即a=>/3,c=V2,得。=yja-c=1，

当点尸运动到椭球的上、下顶点时，V取到最大值，

1112

此时V=§S械b=§X]x2x2xl=§：

设点P在平面ABCO上的射影为。，贝Utana=黑，

乂0<PQ41,0<BQ40，且PQW8Q,

TT

所以当且仅当PQ=3Q时tana最大，即a取到最大值;，故C正确，D错误;

4

4.（2023・广东•校联考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABC。-中，M,N分别是45,AO的

中点，尸为线段GA上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A.存在点P,使得与BG异面

B.不存在点P,使得MNLNP

C.直线NP与平面ABCD所成角的正切值的最小值为平

D.过",MP三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为迈

4

【答案】CD

【详解】对于A,连接由正方体的性质知，AB//CQ,

所以A,B，G，A四点共面，PM,8。1匚平面486。，故A不正确;

若尸为G2中点，则2。工平面ABC/）,MN在面A8c。内，所以PQ_LMN,

在AM/Q中，MN=NQ=JD+（；）=与,MQ=\,

所以MM+NQ2=MQ2,故MN，NQ,PQNQ=Q,PQ,NQu平面NP。,

所以MNL平面NPQ.NPu平面NPQ,所以MNLNP,故B不正确;

对于C,过点尸作平面ABC。，连接NH,

所以直线NP与平面ABCO所成角为NPNH,

PH1

tan2PNH=—

所以NH

DH2+DH-，

2石

(tanZPNH).

\/min行一，故C正确;

对于D,由正方体中心对称（类比为球体，例N看作弦），故过MN的截面经过对称中心。所得截面最大,

此时截面交棱。2，BB、,8g于中点，尸也为中点,

所以P为GR的中点时，过M、N、户三点的平面截正方体所得截面最大,

取的中点E,与G的中点尸，8用的中点G,连接NE、EP、PF、FG、GM,

所以过M、N、尸三点的平面截正方体所得截面最大值为正六边形,

面积为6x立MW2=6x3x1=3叵，故D正确.

4424

故选：CD.

二、单选题

5.（2023•广东深圳•深圳市高级中学校考模拟预测）已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它

们的侧棱长也相等.若直棱柱的体积和侧面积分别为乂和5,斜棱柱的体积和侧面积分别为匕和52,则（）

匕H>匕i匕H<打

4

KV

M

cA-与苦的大小关系无法确定

sS

>2

【答案】A

【详解】设棱柱的底面周长为c,底面面积为S,侧棱长为/,斜棱柱的高为〃,

VV./q

则U=F=—，而匕=S»,斜棱柱各侧面的高均不小于力，所以S2>C/,

d|C,IC

于是，n，所以，

S2chcS]S2

故选：A.

6.（2023•广东佛山•统考模拟预测）如图，在平行六面体ABCO-ABC。中，以顶点A为端点的三条棱长

都是m且/AAB=NAAQ=6O。，E为CG的中点，则点上到直线g的距离为（）

c.2D.旦

10543

【答案