2024-2025学年新教材高中数学第四章概率与统计4.2.4.1离散型随机变量的均值课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE课时素养检测十四离散型随机变量的均值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则接着射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是 ()A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24【解析】选D.记射击次数为随机变量X，则X的全部可能取值为1，2，3.P(X=1)=0.8，P(X=2)=0.2×0.8=0.16，P(X=3)=1-0.8-0.16=0.04，所以E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.2.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发觉飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发觉目标的雷达台数为X，则E(X)为 ()A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P(X=0)=0.1×0.15=0.015，P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22，P(X=2)=0.9×0.85=0.765，E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.3.甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的状况如表所示：工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20则结论正确的是 ()A.甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些B.乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些C.两人生产的产品质量一样好D.无法推断谁生产的产品质量好一些【解析】选B.甲出废品的期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，乙出废品的期望是1×0.5+2×0.2=0.9，所以甲出废品的期望大于乙出废品的期望.故乙生产的产品质量好一些.4.某日A，B两个沿海城市受台风攻击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风攻击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风攻击的城市个数，则E(X)= ()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解析】选D.设A，B两市受台风攻击的概率均为p，则A市或B市都不受台风攻击的概率为QUOTE=1-0.36，解得p=0.2或p=1.8(舍去)，PQUOTE=1-0.36=0.64，PQUOTE=2×0.8×0.2=0.32，PQUOTE=0.2×0.2=0.04，所以EQUOTE=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.5.设离散型随机变量X的分布列如表，则E(X)=2的充要条件是 ()X123Pp1p2p3A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2=p3【解析】选B.由题设及数学期望的公式可得QUOTE⇔p1=p3，则E(X)=2的充要条件是p1=p3.6.已知X～B(5，p)，且E(X)=3，则P(X=1)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为X～B(5，p)，故其期望为EQUOTE=5×p=3，解得p=QUOTE.故PQUOTE=QUOTEpQUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)7.某射手射击所得环数X的分布列如表：X78910Px0.10.3y已知X的期望E(X)=8.9，则y的值为________.

【解析】因为x+y=0.6，7x+10y=8.9-0.8-2.7=5.4，解得QUOTE答案：0.48.已知随机变量ξ和η，其中η=4ξ-2，且E(η)=7，若ξ的分布列如表，则n的值为________.

ξ1234Pmn【解析】因为η=4ξ-2，所以E(η)=4E(ξ)-2，所以7=4·E(ξ)-2，解得E(ξ)=QUOTE，依据均值的计算公式得：QUOTE=1×QUOTE+2×m+3×n+4×QUOTE，又QUOTE+m+n+QUOTE=1，联立求解可得n=QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取肯定数量的产品做检验，以确定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数X的分布列及均值E(X).【解析】X可能的取值为0，1，2.P(X=0)=QUOTE=QUOTE，P(X=1)=QUOTE=QUOTE，P(X=2)=QUOTE=QUOTE.所以X的分布列为：X012PE(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.10.不透亮箱中装有3个白球和mQUOTE个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从箱中任取2个球，假设每个球被取出的可能性都相等，记随机变量X为取出的2个球所得分数之和.(1)若PQUOTE=QUOTE，求m的值；(2)当m=2时，列出X的分布列并求其期望.【解析】(1)由题意，当取出的2个球都是白球时，此时随机变量X=4.可得P(X=4)=QUOTE=QUOTE，即QUOTE=6，即m2+5m-6=0，解得m=1(负值舍去).(2)由题意，随机变量X全部可能的取值为2，3，4，可得P(X=2)=QUOTE=QUOTE，P(X=3)=QUOTE=QUOTE=QUOTE，P(X=4)=QUOTE=QUOTE，所以随机变量X的分布列为：X234P所以E(X)=2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知随机变量X的分布列是X123Pa则EQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由分布列的性质可得QUOTE+QUOTE+a=1，得a=QUOTE，所以EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE，因此EQUOTE=EQUOTE=2EQUOTE+QUOTE=2×QUOTE+QUOTE=QUOTE.2.不透亮袋中装有5个同样大小且质地相同的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为x，则E(x)等于()A.4 B.4.5 C.4.75 D.5【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小且质地相同的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，所以ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=4)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=5)=QUOTE=QUOTE=QUOTE，所以E(ξ)=3×QUOTE+4×QUOTE+5×QUOTE=4.5.3.从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E(X)为 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以E(X)=QUOTE×0+1×QUOTE+2×QUOTE=1.4.设不透亮口袋中有黑球、白球共7个(球除颜色不同外，其他均相同，且白球个数大于2个)，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为QUOTE，则口袋中白球的个数为 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.设白球x个，则黑球(7-x)个，取出的2个球中所含白球的个数为ξ，则ξ取值为0，1，2，P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE，所以0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE，所以x=3.二、填空题(每小题5分，共20分)5.一次英语测验由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7，则该学生在这次测验中的成果的期望是________.

【解析】因为X～B(50，0.7)，所以E(X)=50×0.7=35.所以成果的期望是35×3=105.答案：1056.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i=1，2)个球放在甲盒中(每个小球被取到的可能性相同)，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i=1，2)，则EQUOTE+EQUOTE的值为________.

【解析】甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，则PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE.则EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE；甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，则PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE.则EQUOTE=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.所以EQUOTE+EQUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE7.一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ=Y-X，则E(ξ)=________.

【解析】由题意知ξ的取值为0，1，2，ξ=0，表示X=Y；ξ=1表示X=1，Y=2，或X=2，Y=3；ξ=2表示X=1，Y=3.所以P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE，所以E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则ξ=1的概率是________；EQUOTE=________.

【解析】依据题意ξ的全部取值为0，1，2，P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE，故EQUOTE=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTEQUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.德阳中学数学竞赛培训共开设初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参与数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参与数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见表)，且每一门课程是否合格相互独立，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率(1)求甲同学取得参与数学竞赛复赛的资格的概率；(2)记ξ表示三位同学中取得参与数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望E(ξ).【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事务A，B，C，D，则“甲同学取得参与数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABCQUOTE)+P(ABQUOTED)，事务A，B，C，D相互独立，P(ABCD)+P(ABCQUOTE)+P(ABQUOTED)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)P(ξ=0)=QUOTE，P(ξ=1)=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE，P(ξ=3)=QUOTE，因此，ξ的分布列如表：ξ0123P因为ξ～BQUOTE，所以E(ξ)=3×QUOTE=QUOTE.10.某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150元回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：销售件数891011频数20402020以频率代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数.(1)求X的分布列；(2)以销售食品利润的期望为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选哪个？【解析】(1)由已知一家超市销售食品件数8，9，10，11的概率分别为QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，X取值为16，17，18，19，20，21，22.PQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE×QUOTE×2=QUOTE；PQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE