2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=(2−ai)(1+2i)为纯虚数，则实数a=(

)A.−2 B.2 C.−1 D.12.已知向量a=(2,−1)，b=(k,2)，且(a+b)/​/A.−4 B.4 C.0 D.−3.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ

C.若m⊥α，n⊥α，则m//n D.若m//α，m//β，则α//β4.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为线段AC和线段A1A.60∘B.45∘C.30∘D.755.已知cos2α=23，则cos(A.13 B.23 C.26.设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为−12b，则|A.1 B.2 C.2 D.7.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H(单位：米，记水筒M在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式H=2sin(π30t+φ)+54，φ∈(0,π2)，且t=0时，盛水筒M位于水面上方A.3.25 B.2.25 C.1.25 D.0.258.已知角α，β满足cosα=13，cos(α+β)cosβ=A.112 B.18 C.16二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z的共轭复数为z，则下列命题正确的是(

)A.z+z∈R B.z−z为纯虚数 C.|z|=|10.函数f(x)=23sinωxA.y=f(x)的最小正周期为π

B.y=f(x+π6)cosx的图象关于直线x=π12对称

C.y=f(2x+π3)11.设点D是△ABC所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有(

)A.若AD=(23AB+13AC)，则D是BC边上靠近B的三等分点

B.若AD=λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)，(λ∈R且λ≠0)，则直线AD经过△ABC的垂心

C.若AD=xAB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a，b满足|a|=1，b=(1,2)，a→⊥(a→−2b13.若x∈[0,4]时，曲线y=sin(πx)与y=2sin(2πx−π14.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3.将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′.设二面角D′−AC−B的大小为θ，当θ=2π3时，则四面体D′ABC四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设向量a与b不共线．(1)若a=(1,2)，b=(−1,1)，若m=2a−kb，n(2)若OA=a−b，OB=5a+2b，OC16.(本小题12分)设函数f(x)=(sinx+cosx)(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x∈(π4,5π17.(本小题12分)如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点，CE⊥AB,AD与CE(1)求CE和AD的长度；(2)求cos∠CFD．18.(本小题12分)

如图，正四棱锥S−ABCD，SA=SB=SC=SD=4，AB=22，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD，

(1)求正四棱锥S−ABCD的表面积;(2)求点S到平面PAC的距离;(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE/​/平面PAC，若存在，求SEEC的值;若不存在，试说明理由．19.(本小题12分)如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角P−ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A−PC−B的大小为θ，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：cosγ=(1)如图2，在三棱锥P−ABC中，点M是点B在平面APC中的投影，BD⊥PC，连接MD，PA=4，∠APC=60∘，∠BPC=45∘， ①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值; ②求三棱锥P−ABC体积的最大值;(2)当α、β、γ∈(0,π2)时，请在图1参考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.ACD

10.BD

11.ABC

12.513.8

14.28π315.(1)解：由题意，2a−kb= (2+k,4−k)，3a−5b= (8,1)，

因为(2a−kb)⊥(3a−5b)，

所以(2a−kb)⋅(3a−5b) =0，16.解：(1)f(x)=1+sin由2kπ−π2≤2x−π3则函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π(2)由π4<x<5π6，则−则1−3<f(x)≤3，

即当x∈(π4

17.解：(1)∵CE

⊥AB，

∴∠AEC=π2

，在Rt

▵AEC

中，

AC=2,∠EAC=所以

CE=ACsin∠EAC=2∵AD

是中线，

∴AD=∴=1432∴CE=(2)∵AE=AC⋅cos ∴∴=∴cos∠CFD=另解：过D作

DG//CE

交

BE

于

G

，∵D

是

BC

的中点，

∴G

是

BE

的中点，∴AE=EG=GB=1,EF

是

▵AGD

的中位线，

DG

是

△BCE

的中位线，∴EF=12cos∠CFD=cos

18.解：(1)因为SA=SB=SC=SD=4，AB=22，

则SG⊥AB，且SG=SA2−AG2=42−2=14，

所以，正四棱锥S−ABCD的表面积为

4S△SAB+S▱ABCD=4×12×AB×SG+AB2=2×22×14+8=8+87，

(2)解：连接BD交AC于点O，连接SO、OP，如下图所示：

因为四边形ABCD是边长为22的正方形，则BD=2×22=4=SB=SD，

故△SBD是边长为4的等边三角形，因为AC∩BD=O，则O为BD、AC的中点，所以SO⊥BD，

且SO=SBsin60∘=4×32=23，∠OSD=12∠BSD=12×60∘=30∘，

因为SP=3PD，则SP=34SD=34×4=3，

由余弦定理可得OP2=SO2+SP2−2SO⋅SPcos30∘=12+9−2×23×3×32=3，

所以，SP2+OP2=SO2，所以，SP⊥OP，

因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，因为SA=SC，O为AC的中点，

则AC⊥SO，因为SO∩BD=O，SO、BD⊂平面SBD，

所以AC⊥平面SBD，因为SP⊂平面SBD，所以SP⊥AC，

因为OP∩AC=O，OP、AC⊂平面PAC，所以SP⊥平面PAC，

因此点S到平面PAC的距离为SP=3，

(3)解：在侧棱SD上存在一点E，使BE/​/平面PAC，满足SEEC=2，

19.解：(1)由题意得：①因为cosθ=cosγ−cos α⋅cos βsin α⋅sin β=0−12·2232