《数学》复习人教A（新高考）-第6节　对数与对数函数

第二章

第6节对数与对数函数知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作

，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.x＝logaN2.对数的性质、运算性质与换底公式NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质3.对数函数及其性质a>10<a<1图象性质

定义域：值域：当x＝1时，y＝0，即过定点当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0

在(0，＋∞)上是

在(0，＋∞)上是(0，＋∞)R(1，0)增函数减函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数

(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线

对称.4.反函数y＝logaxy＝x1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x. (

) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数. (

)

(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b. (

)

解析

(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误. (2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误.××√×2.log29×log34＋2log510＋log50.25＝ (

) A.0 B.2 C.4 D.6

解析原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)

＝4＋log525＝4＋2＝6.D3.函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是______________.

解析当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2， 所以图象恒过定点(2，2).(2，2)解析

法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，法二因为alog34＝2，B5.(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(

) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

解析

显然c＝0.30.2∈(0，1).

因为log33<log38<log39， 所以1<b<2.

因为log27>log24＝2， 所以a>2.

故c<b<a.A6.(多选题)(2021·武汉联考)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为(

) A.h(x)的图象关于原点对称

B.h(x)的图象关于y轴对称

C.h(x)的最大值为0 D.h(x)在区间(－1，1)上单调递增 解析

函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称， ∴f(x)＝log2x， ∴h(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数， ∴A错误，B正确； 根据偶函数性质可知D错误； ∵1－|x|≤1， ∴h(x)≤log21＝0，故C正确.BC考点分层突破题型剖析考点聚焦2解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，考点一对数的运算///////自主演练A2.(多选题)(2021·临沂期末)若10a＝4，10b＝25，则 (

) A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg6

解析

由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25， 则a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正确；

ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5＞4lg2·lg4＝8lg22，故C正确.故选ACD.ACD1所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.421.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.感悟升华考点二对数函数的图象及应用///////师生共研D解析

如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.(1，＋∞)1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.感悟升华【训练1】(1)(多选题)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数， 其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(

) A.a＞1

B.0＜c＜1 C.0＜a＜1

D.c＞1

解析

由图象可知函数为减函数， 所以0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，

x＋c＝1，x＝1－c.由图象知0＜1－c＜1， ∴0＜c＜1.BC【训练1】(2)(2021·西安调研)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝lnx1，

e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，则 (

) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x2<x3<x1 D.x2<x1<x3D由图象直观性，知x2<x1<x3.考点三解决与对数函数性质有关的问题///////多维探究A解析

∵3log32＝log38<2，∵3log53＝log527>2，∴a<c<b.故选A.B∴a<b.解析因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，B解

若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.所以a＝0.故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).1.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0<a<1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.感悟升华【训练2】(1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是 (

) A.a＝b<c B.a＝b>c C.a<b<c D.a>b>cB所以a＝b>c.【训练2】(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是______________.

解析当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数， 由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立， 则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1， 即8－2a>a，且8－2a>0，当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴8－a<a且8－2a>0，此时解集为∅.课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1.设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则 (

) A.a＋b<ab<0 B.ab<a＋b<0 C.a＋b<0<ab D.ab<0<a＋b

又a>0，b<0，故ab<a＋b<0.B所以m＋4≤0，即m≤－4.∴实数m的取值范围为(－∞，－4].D3.已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是 (

)

解析由lga＋lgb＝0，得ab＝1.

因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同. A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.C解析

由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.所以原式＝2|lg2|＋2|lg5|＝2(lg2＋lg5)＝2.AAAC因为所以

，故B错误；因为所以故C正确；二、填空题7.若log43＝mlog23，则logm＝________. ∴logm＝－2.－28.(2021·济南检测)已知函数y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.

解析令2x－3＝1，得x＝2， ∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中， 得2＝32＋b，解得b＝－7.－7所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解.

三、解答题10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的解析式； 解

当x<0时，－x>0， 由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)， 又f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x).

所以当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)， 所以函数f(x)的解析式为三、解答题10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1). (2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围.

解

因为－1<f(1)<1，所以－1<loga2<1，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.解

f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].12.(2021·重庆调研)设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称

y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 (

)

解析因为g(x)＝loga(a2x＋t)是定义在R上的“成功函数”， 所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]， 故g(m)＝m，g(n)＝n， 即g(x)＝x有两个不相同的实数根.A又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.令s＝ax，s>0，即s2－s＋t＝0有两个不同的正数根，13.(多选题)(2021·长沙调研)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是