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文档简介

第六节方向导数

与梯度工科数学分析北京理工大学第二学期方向导数与梯度问题的提出方向导数的定义梯度的概念小结实例：一块长方形的金属板，四个

顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，

(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，

它使金属板受热．假定板上任意

一点处的温度与该点到原点的距离

成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出●●●●●

讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义（如图）当沿着趋于时，是否存在？记为方向导数最大的方向是函数值变化最骤烈的方向.证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到故有方向导数解解由方向导数的计算公式知故推广可得三元函数方向导数的定义三、梯度的概念结论沿着梯度方向,函数的方向导数最大,即函数的变化率最大.沿着正梯度方向,函数的值增加得最快,变化率为梯度的模;沿着负梯度方向,函数的值下降得最快,变化率亦为梯度的模;沿着与梯度方向垂直的方向,函数的值变化得最慢,变化率为零.

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得故1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结Del，或称nabla，是数学中的一个算子，特别是在向量微积分中，作为一个向量微分算子，通常用nabla符号∇表示。当应用于一个定义在一维域上的函数时，它表示微积分中定义的标准导数。当应用于一个场（定义在多维域上的函数）时，del可以表示标量场的梯度（局部最陡峭的斜率）。del符号可以被解释为偏导算子的矢量

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