6.6直线与圆的方程应用举例（同步练习）（解析版）

6.6直线与圆的方程应用举例同步练习基础巩固基础巩固1．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（）A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米【答案】B【分析】当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，可建系求解.【详解】以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为（），由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入，得（负值舍去）．故选：B2．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设圆拱所在圆的圆心为，，得到圆的方程，记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；由题中条件，得到点坐标，代入圆的方程求出，再求出点横坐标，即可得出结果.【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，，则该圆的方程为，记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；由题意可得，，则，解得，所以圆的方程为，水面位下降米后，可知点纵坐标为，所以，解得，则此时的桥在水面的跨度为米.故选：C.3．已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为.【答案】【分析】求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程．【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.故答案为：．4．台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.【详解】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为，当台风进入圆内，则城市处于危险区，又台风的运动轨迹为，设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离，则，所以时间，故选：C.5．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行．

(1)求出轮航线所在直线方程；(2)轮船是否会有触礁风险？说明理由．【答案】(1)(2)没有，理由见解析【分析】（1）分析可知，轮航线所在直线过点，轮航线所在直线的倾斜角为，利用点斜式可得出所求直线的方程；（2）计算出圆心到轮航线所在直线的距离，判断直线与圆的位置关系，即可得出结论.【详解】（1）解：以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，

由题意可知，轮航线所在直线过点，轮航线所在直线的倾斜角为，斜率为，所以，轮航线所在直线方程为，即.（2）解：原点到轮航线所在直线的距离为，所以，轮船没有触礁风险.6．圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑．(1)建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；(2)求支柱的长度（精确到0.01米）．【答案】(1)，()；(2)米.【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧方程为且，将点坐标代入求参数，即可得方程.（2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在方程求y，即可知的长度【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，，设所在圆弧方程为且，，解得，所以圆弧的方程，.（2）由题设知：，则，且在圆弧上，所以，可得，故的长度为米.能力进阶能力进阶1．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米【答案】D【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设圆的方程为：，代入，则有，故圆的方程为：，令，则，故，故选：D.2．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（

）A．1分钟 B．分钟C．2分钟 D．分钟【答案】C【分析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，求得直线和圆的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长.【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则，，可得，圆．记从处开始被监测，到处监测结束，因为到的距离为米，所以米，故监测时长为分钟．故选：C.3．一辆宽的卡车，要经过一个半径为的半圆形隧道，则这辆卡车的高度不得超过（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出半圆的宽为1.6m的内接矩形的高，即为所求．可建立直角坐标系求解．【详解】如图，建立平面直角坐标系，，则，所以卡车的高度不得超过.故选：B．4．一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为．【答案】【分析】关于y轴的对称点为，反射光线所在的直线即为经过的直线，求的直线方程即可.【详解】关于y轴的对称点为，根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线，由两点式得直线的方程为：，即.故答案为：5．某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过?【答案】这条船不能通过.【分析】根据题设，建立以水面作为轴的坐标系，并求出圆拱所在圆的方程，判断时水面上方点值与的大小关系即可.【详解】以水面作为轴建立直角坐标系如下，且，令圆拱的半径为，则，可得，故圆心为，所以圆拱所在圆为，则时，如下图，要使宽10m，水面以上高3m的船能通过，只需即可，则，即，显然不成立，故这条船不能通过.

6．如图，已知一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.(1)求外籍船航行路径所在的直线方程；(2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？【答案】(1)；(2)能，小时.【分析】（1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可；（2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案.【详解】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示:则，则直线，即，外籍船航行路径所在的直线方程为:;（2）点到直线的距离，所以外籍轮船能被海监船监测到；检测路线的长度，则检测时间，所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时.故选：D素养提升素养提升1．一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米【答案】B【分析】以圆心作为原点建立平面直角坐标系，求出半圆的方程，由车的宽度一半作为横坐标，求出此横坐标时圆上点的纵坐标，即为车的最大高度.【详解】由题意，以圆心作为原点建立如图平面直角坐标系：

易知半圆的方程为：，令，解得.故选B.2．光线从点射到轴上，经反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为，光线从到的路线长度为.【答案】【分析】由题设，反射光线过和，应用点斜式写出方程，再由从到的路线长度为与的距离，两点式求路线长度.【详解】由题设，反射光线过和，故斜率为，所以反射光线为，整理得，光线从到的路线长度，即为与的距离，所以路线长度为.故答案为：，3．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）

【答案】0.4m【分析】建立坐标系，确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【详解】以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，如图所示，则，，三点的坐标分别为，，，

又圆心在轴上，故可设，因为，所以，解得，则所以圆拱桥所在圆的方程为，当时，，，因为水位暴涨了，所以船身要降低，才能顺利地通过桥洞．4．一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．(1)若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程．(2)科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？【答案】(1)（x－20）2＋（y－）2＝100(2)有触礁的风险【分析】（1）过A作y轴垂线，垂足为B，求出圆心（20，），进而求出圆的标准方程.（2）求出航行的直线方程：，根据直线与圆的位置关系即可求解.【详解】（1）如图，过A作y轴垂线，垂足为B，且OA＝40∴AB＝20，，圆心（20，）设圆方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2∴（x－20）2＋（y－）2＝100（2）当船向东行驶50海里进B（50，0）则北偏西30°，直线的倾斜角则直线方程：圆心到直线距离，有触礁的风险．5．在2020年北京举办的国际自主智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地（如图），在边上距离点6米的处有一只电子狗，在距离点3米处放置一个机器人.电子狗的运动速度是机器人速度的两倍.如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么机器狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点.（1）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域；（2）若为矩形场地边上的一点，若电子狗在线段上都能逃脱，问：点应在何处？【答案】（1）以为圆心，2