工科数学分析 下册 第2版 试题及答案 A

PAGE4(第页，共6页)PAGE学年第二学期《工科数学分析》（下）期末试题(A卷)座号______班级_____________学号_____________姓名_____________(试卷共6页,十个大题，解答题必须有过程.试卷后面空白纸撕下做草稿纸.试卷不得拆散.)题号一二三四五六七八九十总分得分签名得分得分一、填空题（每小题4分,共20分）求平行于轴，且过点和的平面方程是.2.函数在点处沿向量的方向导数为.3.交换二次积分的积分次序.4.已知是圆周（按逆时针方向绕行），计算.5.已知级数收敛（为非零常数）,则的取值范围为.得分得分二、计算题（每小题5分，共20分）求曲线L：在点M（1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.设其中有二阶连续偏导数，求3.计算是锥面被平面和平面所截得的部分.4.设数量场计算得分得分三、(8分)设是上的单调减少的连续函数，试证明：对任意，不等式都成立，其中得分得分四、(6分)设半球体密度为1，现在其底面接上一个同质柱体试确定使整个物体的质心恰好在半球的球心处.得分五、(8分)在经过点的所有平面中求取一个平面，使这个平面在第一卦限内与三个坐标平面所围成的四面体体积最小.得分得分得分六、(8分)设函数在平面上具有一阶连续偏导数.已知曲线积分与路径无关，且对任意的恒有，（1）求函数（2）求的原函数.得分七、(8分)求幂级数的收敛域及和函数.得分得分得分八、(8分)将展开为的幂级数，并求的值.得分得分九、(8分)计算曲面积分其中为上半球面夹于与之间部分，其法线向内.得分得分十、（6分）已知函数在的某邻域内有二阶连续导数，且证明级数绝对收敛.学年第二学期《工科数学分析》（下）期末试题(A卷)座号______班级_____________学号_____________姓名_____________(试卷共6页,十个大题，解答题必须有过程.试卷后面空白纸撕下做草稿纸.试卷不得拆散.)题号一二三四五六七八九十总分得分签名得分得分一、填空题（每小题4分,共20分）1.曲面在点处的切平面方程为.2.函数在点处沿从点到点方向的方向导数为.3.交换积分次序：.4.设为圆周则曲线积分.5.知级数绝对收敛,则的取值范围为.得分得分二、计算题（每小题5分，共20分）1.在直线上求与平面距离为2的点.2.设其中有二阶连续偏导数，求3.计算是平面在第一卦限中的部分.4.设计算得分得分三、(8分)设连续可微函数由方程(其中有连续的偏导数)唯一确定,为正向单位圆周.试求得分得分四、(6分)由平面图形绕轴旋转所生成的旋转体其密度求该旋转体对轴的转动惯量.得分五、(8分)已知函数曲线求在曲线上的最大方向导数.得分得分得分六、(8分)设在内有连续的导函数，是一个待定常数.已知曲线积分与路径无关，且对任意的，求的表达式和的值，并求的原函数.得分七、(8分)求幂级数的收敛域及和函数.得分得分得分八、(8分)将函数展开成余弦级数,并求级数的和.得分得分九、(8分)计算曲面积分其中为上半球面的上侧.得分得分十、（6分）设是在内的可微函数，且其中任取实数定义证明：绝对收敛.第二学期《工科数学分析》（下）期末试题(A卷)标准答案及评分标准一、填空题（每小题4分,共20分）1.2.3.4.5.二、计算题（每小题5分，共20分）1.解:设所求点为于是点到平面的距离为:………..(3分)解得故所求点为………..(5分)2.解：………..(2分)………..(5分)3.解:平面方程变形为在坐标面上的投影区域…………….(3分)…………….(5分)4.解：…………..(3分)…………..(5分)三、解:…………..(2分)由得故…………..(6分)所以…………..(8分)四、解:区域为：…………..(2分)…………..(4分)…………..(6分)五、解:因为沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.故模为此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.…………..(2分)为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：,得到…………..(6分)所以最大值为…………..(8分)六、法1：记由题意，有；…………..(2分)解得：(1)…………..(3分)，与(1)式比较得：…………..(5分)此时…………..(8分)（注：还可用曲线积分法和不定积分法求原函数。）法2：，得，（其余可同上）七、解：收敛域为………..(2分)设………..(4分)………..(7分)所以………..(8分)八、解:………..(2分) 故的余弦级数为………..(6分)令有于是………..(8分)九、解:添加辅助面取下侧，为与所围成的空间区域.…………..(2分)…………..(4分)（利用高斯公式）…………..(6分)…………..(8分)十、解:因(介于与之间)