高等数学教程　下册　范周田 第4版 习题详解汇 习题8

习题8.1(A)组1.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性:(1)解：则，因此级数发散。(2)解：则，因此级数发散。(3)解：则，因此级数收敛。(4)解：则，因此级数发散。2.已知级数的部分和，试求该级数的通项，并说明该级数的敛散性。解：当时又知，故级数的通项因为，则级数收敛。3．判别下列级数的收敛性:(1)解：则，级数收敛。(2)解：则，则级数发散。(3)解：，则级数发散。(4)解：，故级数发散。(5)解：收敛，但发散，故级数发散。(6)解：收敛，收敛，则级数收敛。（B）组1．求下列级数的和解：则。2．设，证明级数收敛，并求其和。解：则，即级数收敛，和为18.3．设级数收敛，证明级数也收敛，解：先证明级数n=1∞令，收敛，则则收敛。再证明n=1∞(注意到k=1nun−un+14．设级数和都收敛，证明级数也收敛，解：

k=1由，收敛得正项级数

k=1n(uk+5．已知级数收敛，证明级数也收敛。解：由级数收敛知收敛又因为，则存在，即收敛。习题8.2（A）组1.判定下列级数的敛散性：(1)解：，故级数发散。(2)解：，故级数收敛。(3)解：，故级数收敛。(4)解：n=1∞(5)解：，又，故级数发散。(6)解：，故级数收敛。(7)解：，故级数收敛。(8)解：，故级数发散。2.用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的收敛性:(1)解：，故级数发散。(2).解：，故级数发散。(3)解：故级数收敛。(4)解：，故级数发散。(5)解：，故级数收敛。(6)解：，故级数收敛。(7)解：，故级数收敛。(8)解：，故级数发散。3.用适当的方法判别下列级数的收敛性:(1)解：，通项极限不为0，该级数发散。(2)解：，由收敛知该级数收敛。(3)解：，由收敛知该级数收敛。(4)解：由收敛得该级数收敛。(5)解：故级数发散。(6)解：根值判定为收敛。(7)解：由发散得该级数发散。(8)解：，由比值判定该级数收敛。4.判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)解：,由比较定理知该级数绝对收敛。(2)解：，通项极限不为0，则该级数发散。(3)解：，通项极限不为0，则级数发散。(4)解：由发散知发散且，由莱布尼茨定理得该级数条件收敛。(5)解：，则收敛又因为，则该级数绝对收敛。（6）解：，则发散因为，由莱布尼兹定理知该级数条件收敛。（7）解：由根值判定法知收敛，因此该级数绝对收敛。（8）解：由比较审敛法知发散。，且当时（事实上，令，则当时，，即为单调递增函数。）则，由莱布尼兹定理得该级数条件收敛。（B）组1.用适当的方法判别下列级数的收敛性:(1)解：，由比较审敛法知该级数发散。(2)解：，由比较审敛法得级数收敛。(3)解：由比值审敛法知收敛，因此该级数收敛。(4)解：由比值审敛法知该级数收敛。(5)解：，又由知收敛，由比较审敛法知该级数收敛。(6)解：⑴当时，由根值审敛法知该级数收敛。⑵当时,⑶当时,,级数发散.(7)解:因此当时,,级数发散当时,,级数收敛当时,,级数发散综上知,时级数收敛,时级数发散。(8)解：同（7）分析知时级数收敛，时级数发散。2.设正项级数收敛，证明级数也收敛。解：因为，，又因为收敛由比较判别法得也收敛。3.设级数收敛，且，问是否也收敛？说明理由.解：不一定。例如，若，则收敛。但发散。4.利用级数收敛的必要条件证明：(1)证明：由比值判别法知收敛，。（2）证明：，由根值判定法知收敛，则。习题8.3（A）组1.求下列幂级数的收敛域：(1)解：，则收敛半径当时，发散；当时，发散，因此收敛域为。(2)解：当时，发散；当时，发散，因此收敛域为，(3)解：即收敛域为。(4)解：，因此当时，发散；当时，发散因此收敛域为。(5)解：所以，即当时，发散；当时，发散，因此收敛域为。(6)解：，因此当时，级数收敛，即当时，发散；当时，收敛，因此收敛域为。 (7)解：，则时，级数收敛，即当时，发散；当时，收敛，因此收敛域为。(8)解：则当时，发散；当时，发散，因此收敛域为。2.求下列幂级数的收敛域及和函数：(1)解：当时，级数发散，则收敛域为设则，求导则有。(2)解：当时，发散；当时，收敛，则收敛域为。设，则积分后有，故。(3)解：当时，级数发散，收敛域为(4)解：当时，级数收敛，即当时，级数发散，则收敛域为设，又（B）组1.设幂级数的收敛半径是，求级数的收敛区间。解：令，则与有相同的收敛半径，因为，则的收敛半径为2，则，为收敛区间。2．设，证明：（1）满足微分方程。解：，收敛半径为，收敛域为即满足微分方程，。（2），。解：微分方程，得。（3）利用的表达式求幂级数的和函数。解：令，则求导后得将代入有，积分习题8.4（A）组1.将下列函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间．(1)解：且，即(2)解：且，则。(3)解：且，则。(4)解：且，则。(5)解：(6)解：则2.将函数展开成的幂级数．解：3.将函数展开成的幂级数．解：且则4.将函数展开成的幂级数．解：且则5.将下列函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间．(1)解：则且(2)解：且则则(3)解：且则(4)解：且则，(5)解：，且则即，(6)解：则，（B）组1.利用幂级数的展开式求（1）解：当时则（2）解：，则2.将函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间．解：，且，则3.将函数展开成的幂级数．解：且，则4．将函数展开成的幂函数，并求。解：且，则则，即5．若，证明（1）当为偶函数时，证：当为偶函数时，则有即，则（2）当为奇函数时，证：当为奇函数，则有即，则习题8.5（A）组1.下列函数是周期为的函数，在上的表达式如下，试将展开成傅立叶级数。(1)解：在上满足收敛定理的条件，将其按为周期延拓成上的函数，在处不连续，因此的傅里叶级数在处收敛于的傅里叶系数为，(2)，其中为常数,解：在上满足收敛定理的条件，将其按为周期延拓成上的函数，在处不连续，因此的傅里叶级数在处收敛于当时，由(3)解：在上满足收敛定理的条件，将其按为周期延拓成上的函数，在上连续，因此延拓后的周期函数的傅里叶级数在上收敛于。计算傅里叶系数2.将下列函数展开成傅立叶级数。(1)在上满足收敛定理的条件，将其按为周期延拓成上的函数，且在上连续，因此延拓后的周期函数的傅里叶级数在上收敛于。傅里叶系数如下：(2)解：在上满足收敛定理的条件，将其按为周期延拓成上的函数，在处不连续，因此的傅里叶级数在处收敛于的傅里叶系数为则3.将函数分别展开成正弦级数和余弦级数，并求级数的和。解：对做奇延拓，在上满足收敛定理的条件，傅里叶系数为则，对做偶延拓，的傅里叶系数为则，4.（1）将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。解：的傅里叶系数为，（2）求级数的和。则由题3知则5．设函数是周期为的函数，是的傅立叶级数的和函数，在一个周期内的表达式为写出在上的表达式。解：由狄利克雷充分条件知，在处间断，其他点处连续。即（2）求综合习题8（A）组1.设级数与中一个收敛，一个发散.(1)证明：发散；证明：假设收敛。不妨设收敛，发散。则收敛，与发散矛盾，因此发散。(2)举例说明，若与发散，则可能收敛，也可能发散.例：，与都发散，但收敛则发散。2.判定下列级数的敛散性：(1)解：由比较审敛法得发散。(2)解：，通项极限非零，级数发散。(3)解：，由比较审敛法得收敛。(4)解：，又收敛，由比较审敛法得收敛(5)解：，由比较审敛法得收敛。(6)解：，由比较审敛法得级数绝对收敛。3.求级数的和函数及收敛域，并求级数的和．解：，收敛域为所以。4.求级数的和函数及其收敛域，并求级数的和．解：，则收敛域为设则，代入后因此。5.将展开成的幂级数，并求此级数的收敛区间．解：则，当时，收敛，则此级数的收敛域为。6.求幂级数的收敛区间及和函数．解：收敛域为R7.设．(1)求的值；解：则(2)证明：对任何，收敛．证明：则对任意，，又收敛由比较审敛法得收敛。8.（1）设幂级数在处收敛，则该级数在处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛。解：由题意知收敛，则由阿贝尔定理知幂级数的收敛半径,因此在x=4处绝对收敛。（2）设幂级数在处收敛，在处发散，试确定该幂级数的收敛域。解：由题意知收敛，发散，由阿贝尔定理知收敛半径为1，则收敛域为。（3）设幂级数在处收敛，则幂级数在处的敛散性如何？解：由题意知收敛，但无法判断的敛散性。（B）组1.判定下列级数的敛散性：(1)解:，收敛，则由比较审敛法得收敛。(2)解：，因发散，由比较审敛法得发散。又因为因此绝对收敛。由莱布尼兹判定定理易得收敛，综上可得原级数条件收敛。(3)解：则因此收敛。(4)解：，由比较判别法得收敛。(5)解：，因为发散，由比较判别法得发散。(6)解：设则，当时，结合（5）题和莱布尼兹定理得条件收敛。2.将展开成的幂级数，并求的和.解：则