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文档简介

由一元函数微分学中增量与微分的关系得10.3

全微分及其应用二元函数对x和y的偏增量二元函数对x和y的偏微分全增量:邻域内有定义,函数取得的增量的全增量.定义10.4

(全微分)可表示为处可微分,则称函数称为函数记作即的全增量处的全微分.如果函数即也不能保证函数在该点连续.多元函数即使在某点的偏导数都存在,若函数在某区域

D内各点处都可微分,定理

10.4

(可微的必要条件)设函数可微分,且处偏导数存在,则则称该函数在

D内可微分.证(1)有所以,函数在该点连续.于是由函数可微分,(2)令同理可得从而一元函数在某点可导可微分．多元函数的各偏导数存在可微分．？例如,但函数

f(x,y)在点(0,0)处不连续,所以不可微.说明:

多元函数的各偏导数存在并不能保证可微.在点(0,0)处有定理10.5

(微分的充分条件)证我们证明在定理条件下,有连续,可微分.如果函数的偏导数函数的全增量由一元函数的微分中值定理,所以故函数处可微分.由偏导数的连续性,有又因所以通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上,全微分记为称为二元函数的微分符合叠加原理．如三元函数有分之和,解所以例1计算函数在点(1,2)的全微分.解所以例2计算函数在点(2,2)的全微分.解例3计算的近似值.所以令则因且取多元函数连续、偏导数存在、可微的关系

函数可微

函数连续偏导数连续

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