2022学年高考数学总复习专题十五圆锥曲线的综合问题参考答案

专题十五圆锥曲线的综合问题一、选择题A【解析】由题意得直线恒过定点QUOTE(1,1)，而点在椭圆的内部，所以直线与椭圆相交.故选A．C【解析】根据双曲线方程可知，点即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.故过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条.故选C．B【解析】当点在轴左侧时，如图，连接.因为，所以.由为线段的垂直平分线，可得，所以.同理，当点在轴右侧时，.故点的轨迹是双曲线，对应方程为.故选B．B【解析】由抛物线，得焦点为.圆的标准方程为，所以圆心为，半径.设，设直线，将直线代入抛物线方程可得，即，，故.故选B．D【解析】如图，由椭圆的对称性可知，，两点关于原点对称，设为椭圆另一焦点，则四边形为平行四边形，由椭圆定义可知，又，，又为过椭圆中心的弦，，周长的最小值为.故选D．B【解析】由题意知，，因为轴，所以设，作出图形如图，则直线的方程为，令，得，所以直线与轴的交点的坐标为，又直线的方程为，令，得，所以直线与轴的交点的坐标为，由题意知，点为线段上靠近的一个三等分点，所以，解得，在椭圆中，，所以.故选B.D【解析】由双曲线的离心率为2可得，又，所以，因为到渐近线的距离，所以，故，得，又，所以，故该双曲线的焦距为.故选D.A【解析】可化为.如图，过A作准线的垂线，垂足为.因为，所以.若最小，则最小，即最小.数形结合可得，直线与抛物线相切时，最小.设直线的方程为，且，与联立，得，消去x，得，由，得.故选A.C【解析】易知，则直线的方程为，设，联立，得，则，由拋物线的定义知，即，解得.则抛物线方程为，直线的方程为，不妨设点在轴上方，点在轴下方，易知，所以，故B正确；易知，则，故C错误；易知在点处的切线的斜率，在点处的切线的斜率，则，则，故A正确；过点作垂直于准线，垂足为.则，易知当垂直于准线时，有最小值2，所以的最小值为2，故D正确.故选C.A【解析】依题意得设则，，，，，又，在中，，同理，在中，，，，，将代入并整理，得，，或或，易知，或.故选A.A【解析】由双曲线的离心率为，得，解得，故双曲线.设直线，与双曲线的方程联立得，设点，则，则.因为为钝角，则，所以，即，得，即，则直线的斜率存在，令直线的斜率为，则.又三点不可能共线，则必有，所以直线斜率的取值范围是.故选A.C【解析】把看成关于的一元二次方程，由题图可知该方程必有实根，，，所以可取的整数有，从而曲线恰好经过，，共6个整点，结论①正确；由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，结论②正确；如图所示，易知，，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，结论③错误.故选C.二、填空题【解析】由题可知双曲线的渐近线必与该直线相交，则，，，，离心率的取值范围为.【解析】设，把直线方程与抛物线方程联立得，则，则，由可得，代入可得，解得，故抛物线的方程为.【解析】依题意，得，则，易知，则直线的斜率，直线的方程为，直线的斜率，直线的方程为，联立，解得，即.则，由，得的取值范围为.【解析】易知点，由题意设点，则点，且.直线的斜率为，则直线的方程为.同理可得直线的方程为.联立得，解得，所以点的坐标为.结合，得.因为，所以，又，所以，得，则，所以.三、解答题【解析】（1）设.由题意，，，，……………1分因为是等边三角形，所以，即，解得.故双曲线的渐近线方程为.…………3分（2）由已知，，.设，，直线.显然.由，得.因为与双曲线交于两点，所以，且.……………5分设的中点为.由，即，知，故.…………………6分而，，，所以，得，故的斜率为.…………8分【解析】（1）将整理，得，由，得，故，将代入，得，的标准方程为.…………………3分（2）点在轴上的射影为，点关于原点对称的点为，………………4分易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，则直线的方程为，即.联立，得，消去，可得，，，将代入，可得，关于轴对称的点在直线上，………7分，，.…………………8分【解析】（1）由题易得，圆心到直线的距离为，由直线的倾斜角为得，由得，即，，将其与联立，得，，椭圆方程为.…………3分（2）存在.设.①若直线垂直于轴，与椭圆交于，，取，，满足.…4分②若直线不垂直于轴，设方程为，代入椭圆方程整理得，，令，则或，（*），（**），对于，包含两种情况：（i），即，，即，代入（*）（**）得，消去得，解得，的方程为或.……7分（ii），即，，代入（*）（**）得，消去得，，有，无解.综上，的方程为或或.…………………10分【解析】（1）设，，，则，，，.则切线的斜率为，故切线，整理得.同理可求得切线.………2分，都满足直线方程.所以直线方程为.当，时等式恒成立，所以直线恒过定点.………………4分（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，于是，，，.…………………6分设分别为点到直线的距离