1.2.3等差数列的前n项和（2知识点6题型强化训练）

1.2.3等差数列的前n项和课程标准学习目标（1）探索并掌握等差数列的前n项和公式；（2）理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。（1）掌握等差数列的前n项和的公式，并会求等差数列前n项和;（2）掌握等差数列前n项和的性质及其运用.（难点)知识点01等差数列前n项和等差数列an的首项为a1，公差为d，则其前Sn=a1解析(1)证明SnSn两式相加可得2S有等差数列的性质：若m+n=s+t，则am可得2S故Sn又an=a以上方法是倒序相加法.(2)等边数列的前n项和Sn=na当d≠0时，Sn可看成关于n的二次函数【即学即练1】等差数列an中，an=2n-1，则其前n解析Sn=a1+知识点02等差数列前n项和性质若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前1证明S=a即S2n同理S3nS4n-S例Sn是一等差数列的前n项和，S3(2)证明S2n-1例Sn是一等差数列的前n项和，S7=7【即学即练2】已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=30，S6A．54 B．63 C．72 D．135【答案】B【分析】首先根据题意得到S3，S6-S【详解】因为an是等差数列，所以S3，S6即30,51-30,S所以2×51-30=30+S故选：B【题型一：求等差数列的前n项和】例1．已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn,a1=5.若S1A．12 B．21 C．32 D．56【答案】C【分析】设公差d，利用等差中项概念得方程，解方程求出d，继而利用等差数列求和公式计算即得.【详解】因为数列an的公差为d(1<d<10),则S1=a1因S1+4,即214+d=3+19+3d再两边取平方整理得，d2解得d=2或d=50（因1<d<10，故舍去）.故当d=2时，S4故选：C.变式11．等差数列an的前n项和记为Sn，若a1=2，a3A．51 B．102 C．119 D．238【答案】B【分析】结合等差数列的性质先求出公差d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】等差数列an中，a1=2，a所以d=a则S17故选：B.变式12．设等差数列an满足a2=5,a6A．80 B．100 C．120 D．160【答案】D【分析】由等差数列的下标性质可得a7=15【详解】因为数列an为等差数列，且a6+则2S故选：D变式13．设等差数列an的前n项和为Sn，已知a2+2aA．272 B．270 C．157 D．153【答案】D【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.【详解】因为a2+2a故S9故选：D【方法技巧与总结】1等差数列an的首项为a1，公差为d，则其前n项和为Sn=a1+a2在求等差数列其前n项和Sn时，若能根据条件得到a1和d【题型二：等差数列的前n项和的基本量计算】例2．记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=3(1)求公差d及an(2)求Sn【答案】(1)2，a(2)S【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据题意求得d=2（2）根据等差数列的求和公式得解.【详解】（1）设等差数列{an}由S3=15，可得S3又由a1=3，可得所以数列{an}（2）由（1）可知，S变式21．已知Sn是等差数列an的前n项和，且S7=70，a2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可.【详解】因为S7=7所以a1所以d=3.故选：C.变式22．记Sn为等差数列an的前n项和，已知S5=S10，A．72 B．73 C．-1【答案】B【分析】由S5=S10结合等差中项的性质可得a【详解】由S10-S则等差数列an的公差d=a8故选：B.变式23．已知等差数列an的前n项和为Sn，且S7(1)求an(2)求Snn的前n【答案】(1)a(2)(n-9)n【分析】（1）根据等差数列前n项和公式，结合等差数列的下标性质、通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的定义，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.【详解】（1）设{an}的公差是d，则Sn=(∴S7=(a∴a4=1，∴d=a∴a1∴an（2）由（1）可得Sn∴Sn∵Sn+1所以Snn是等差数列，首项是S1所以Tn【方法技巧与总结】在等差数列基本量的计算中，往往采取列方程组的方法求解，而能注意到各项下标存在一定关系，利用等差数列的性质进行求解，会起到简便的效果！【题型三：等差数列前n项和的二次函数特征】例3．已知等差数列an的前n项和为Sn，a1>0，且S3=SA．9 B．10 C．9或10 D．10或11【答案】C【分析】先根据S3=S16利用等差数列前n项和公式，得出a1和【详解】设等差数列an的公差为d由等差数列前n项和公式，得：S3=3a又∵S∴3a即d=-1又∵a∴d<0，由此可知，数列an点n,S又∵S点3,S3与点16,S16当n=9或n=10时，Sn最大.故选：C变式31．等差数列an中，Sn是其前n项和，S55-S3A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】代入等差数列的前n项和公式，即可求解.【详解】设等差数列的首项为a1，公差为dSn=na则S5故选：C变式32．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=1，S16A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断Sn取最大时n的值【详解】令公差为d，则{a8=所以Sn当n=8时，Sn取最大值故选：B变式33．已知等差数列an的前n项和为Sn，若公差d=-2，且S5=SA．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用等差数列前n项和二次函数性质及S5=S2018求得a1=2022【详解】由Sn=na又S5所以a1+12=5+2018所以S2022故选：B【方法技巧与总结】1等差数列的前n项和Sn=na1+nn-12d，可写成2利用二次函数的对称性可求某项的值，或利用配方求前n项和Sn3若某数列的前n项和Sn=【题型四：等差数列的前n项和的性质与应用】例4．已知等差数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据等差数列中Sn,【详解】在等差数列anS4=1，S8故S4,S所以S20即a17故选：C变式41．等差数列an,bn的前n项和分别为SnA．2736 B．1116 C．55【答案】C【分析】根据给定条件结合等差数列项的性质、等差数列前n项和公式计算作答.【详解】根据题意，a8故选：C.变式42．已知等差数列an的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则a5=A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】设等差数列{an}有2k+1，(k∈N*)项．公差为d．由于奇数项和为40，偶数项和为【详解】解：设等差数列{an}有奇数项2k+1，(k∈∵奇数项和为40，偶数项和为32，∴40=a32=a∴72=(2k+1)(a1∴9=2k+1，即等差数列{an}共∴故选：A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．变式43．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=2，S8A．30 B．58 C．60 D．90【答案】D【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得.【详解】由数列an故S4、S8-S4、S由S4=2，S8故S12-S8=18即有S12=18+S8=30故选：D.变式44．在等差数列an中，其前n项和为Sn，若S21:SA．16:1 B．6:1 C．12:1 D．10:3【答案】D【分析】根据等差数列前n项和的性质求解即可【详解】由等差数列前n项和的性质可得，S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21成等差数列，设故选：D【方法技巧与总结】若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前1(2)【题型五：等差数列前n项和在实际问题中的应用】例5．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（

）A．d=10 B．此人第三天行走了一百三十里C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里【答案】B【分析】设此人第nn∈N*天走an里，则数列an是公差为d的等差数列，记数列an的前n项和为Sn，由题意可得出关于a1、d方程组，解出d【详解】设此人第nn∈N*天走an里，则数列an是公差为d的等差数列，记数列a由题意可得a1=100S9=9a3=aS7=7aS8=8a1故选：B.变式51．《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则第1人比第3人多得钱数为（）A．16钱 B．13钱 C．12钱 D【答案】B【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为a1，公差为d的等差数列an，根据题意可得出关于a1、【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为a1，公差为d的等差数列a则有a1+a故2a1+d=3a1故选：B.变式52．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（

）A．754 B．755 C．756 D．757【答案】B【分析】由题意可得除以三余二且除以五余三的正整数是以8为首项，15为公差的等差数列，再根据等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】设除以三余二的正整数为数列an，则a除以五余三的正整数为数列bn，则b除以三余二且除以五余三的正整数为数列cn而3和5的最小公倍数为15，则数列cn是由数列an和数列cn是以8为首项，15则cn所以前10个数的和为10×8+143故选：B.变式53．小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（

）A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天【答案】C【分析】利用等差数列定义及前n项和公式得前n天阅读总时间为5n(n+1)，再列不等式求恰好阅读完这两本书的时间.【详解】由题设，每天阅读时间是首项、公差都为10的等差数列，所以前n天阅读总时间为n(10+10n)2令5n(n+1)≥40×60=2400⇒n(n+1)≥480，则n2+n-480≥0，又f(n)=n2+n-480开口向上且对称轴为n=12f(20)=-60<0，f(21)=-18<0，f(22)=26>0，所以恰好阅读完这两本书的时间为第22天.故选：C【方法技巧与总结】在实际问题中，根据题意提取出有关“等差数列”的信息是关键，再把其自然语言化为等差数列的符号语言，明确首项a1和公差d，问题转化为等差数列基本量的计算【题型六：等差数列的综合运用】例6．已知数列an满足a(1)求an(2)若数列bn满足，b1=1,【答案】(1)a(2)证明见解析【分析】（1）构造新数列1an，是等差数列，通过1an（2）由b2n-b2n-1=b【详解】（1）由an-an+1-anan+1又a1≠0，所以由an-an+1-故1an是首项为2，公差为1的等差数列，所以故an（2）由b2n-b2n-1由b2n+1-b2n①+②可得b2n当n=1时，b2-b所以b==2×=2×2+n所以b2n当n=1时，b2=3也满足上式，所以由上可知，1b所以1=1即1b变式61．设Sn为数列an的前n项和，若an+an+1=2n+1，且存在k∈A．-20,21 B．-20,20C．-29,11 D．-20,19【答案】A【分析】利用an+an+1=2n+1可证明得数列a2n-1和a2n都是公差为【详解】因为an所以S2n假设S2n=n2n+1=由存在k∈N*，Sk=S由an+an+1=2n+1当k=20时，有S20=S根据an+2-a所以a21=a当k=19时，有S19=S根据an+2-a所以a20=a由已知得a1+a故选：A.变式62．已知首项为1的数列an的前n项和为Sn，其中Sn+1=Sn+anan+1A．① B．② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】①通过做差，判断差值正负，来判断an和a②通过对an+1=a③通过an+1=anan【详解】对①，因为Sn+1所以S所以an+1-a故①错误，对②，由an+1=a所以1a所以i=1n因为a1所以an+1所以i=1n所以②正确，对③，当n=1时，S2=S所以当n≥1时，an+1-2a所以a2024所以a2024所以③错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是通过找到递推关系和①②③的形式之间的关系，通过作差法，裂项，放缩分别判断.变式63．已知函数fx=3(1)求函数fx(2)求数列an的通项公式an及前n项和【答案】(1)周期2，最大值2(2)an=n-【分析】（1）先应用辅助角公式化简再得出最大值即可；（2）令fx=0可得出x=k-16k∈N*【详解】（1）由题可得fx因此函数fx的周期T=当πx+π6=π（2）由fx=0得因此函数fx的所有正零点为x=k-∴a1=56，an-∴aS变式64．记等差数列an的前n项和为Sn，已知a1(1)求Sn(2)若对于任意的n∈N*,【答案】(1)S(2)98【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由求和公式求解，（2）代入化简可得λ≥n22n【详解】（1）设公差为d，则S3=3a故S（2）由2n+1⋅λ-6n+S即λ≥n设cn=n当n=1,2时，cn+1-c当n>1+2，即n≥3时，cn+1-所以c1<c2<即实数λ的取值范围为98变式65．已知正项数列an的前n项和为Sn(1)求数列an(2)求证：i=1n【答案】(1)a(2)证明见解析【分析】（1）已知Sn，求出a（2）先求出Sn，再求出新数列的通项公式1S【详解】（1）当n=1时，4a1=(当n≥2时，4S又4S两式相减得4an=又∵an>0，∴∴an是首项为1，公差为2的等差数列，∴a（2）∵Sn∴n=1时，1S1=1a∴i=1∴i=1n一、单选题1．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=15,aA．3 B．7 C．11 D．23【答案】C【分析】根据等差数列通项公式和求和公式得到方程，求出公差，得到答案.【详解】S3=3a∴a故选：C2.设Sn为等差数列an的前n项和，若a8+aA．5 B．10 C．252 D．【答案】B【分析】利用等差中项性质得a8+【详解】若a8+a故-a9=a2故选：B3.已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，且a2n=2an+10A．1 B．2019 C．2021 D【答案】A【分析】令n=1，求出a1和d的关系，根据S13=【详解】因为a2n=2a则a2=2a故a1=d-10，因为S13即a7由等差数列的性质可得a7所以a10=0，即a1故选：A.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（

）A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块【答案】B【分析】由等差数列前n项和的性质求解．【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，{an设每层有k环，则n=3k，Sn{an}所以2(S所以Sn=3(S故选：B．5.已知等差数列an的前n项和为Sn，S3=6，Sn-3=16n≥4,n∈A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用等差数列的性质，以及前n项和公式，即可求解.【详解】由S3=6，得a因为Sn-3=16n≥4,n∈所以Sn-Sn-3①②两式相加，得a1+a所以a1+an=故选：B.6.设Sn是等差数列an的前n项和，且S6A．S11>0 B．S12<0 C．【答案】A【分析】由等差数列的性质，Sn与an的关系，等差中项的性质，前【详解】因为Sn是等差数列an的前由S6由S7设公差为d，则d=a对于A：S11=11对于B：S12=12对于C：S13=13对于D：S8-S故选：A.7.已知Sn为等差数列an的前n项和，Sn=3n2+l⋅n+aA．2600 B．2480 C．1660 D．1460【答案】B【分析】根据等差数列的前n项和的特征，先得出a的值，再由当n≥2时，an=Sn-Sn-1，得出an【详解】因为an为等差数列，所以a=0当n≥2时，an由a2=2×6-3+l=8所以a1=S1=3-1=2ai+ai+2公差d=a所以i=120故选：B．8.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，(an+1)2=4Sn，记bA．-400 B．-200 C．200 D．400【答案】C【分析】利用an,Sn关系及等差数列的定义求{an}的通项公式，进而可得S【详解】由题设(an-1+1)2=4所以(an-1)2=由(a1+1)所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，则a当n=4k且k∈N*，当n=4k-1且k∈N*，当n=4k-2且k∈N*，当n=4k-3且k∈N*，则b4k由T100故选：C二、多选题9．数列an的前n项和Sn=11n-A．a1=10 BC．数列Sn有最小项 D．S【答案】AD【分析】根据an=S1,n=1Sn-Sn-1【详解】对于A：因为Sn=11n-n2，当n=1时对于B：当n≥2时Sn-1所以an经检验n=1时an=12-2n也成立，所以所以a2=8，a3=6，则对于C：因为Sn=11n-n2=-n-1122即数列Sn有最大项，故C对于D：因为Snn=11-n，则S所以Snn是首项为10，公差为-1的等差数列，故D故选：AD10.等差数列an的前n项和为Sn,A．a8=0 BC．S7<S9 D．当Sn<0【答案】ABD【分析】对于A，由等差数列性质即可判断；对于B，由公差的定义即可判断；对于C，作差结合公差小于0即可判断；对于D，只需注意到a1>⋯>【详解】对于A，由题意a8=a对于B，d=an+1-an=a对于C，S7-S9=-对于D，由题意a1从而当n≤15,n∈N*，Sn≥0，且S故选：ABD.11.已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若SA．a1>d B．使得SC．a8+a9<【答案】ACD【分析】A选项，根据题目条件得到a9>0，a10<0，从而得到d=a10-a9<0，a1=a9-8d>0，A正确；B选项，S17=17a9>0，S18=9a9+【详解】A选项，S10<S8<故d=a10-a9<0，故B选项，S17=17故使得Sn>0成立的最大正整数n=17，C选项，由于a8故a8则a8故a8+aD选项，由于a9故当n≤9时，an>0，当n≥10时，当n≤17时，Sn>0，当n≥18时，故当n≤9时，Snan>0，当10≤n≤17时，Sn由0>a10>-1由不等式的同向可乘性可得，-S10a故Snan中最小项为S10故选：ACD三、填空题12．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+【答案】95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a1,d【详解】因为数列an为等差数列，则由题意得a1+2d+则S10故答案为：95.13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋯.球数构成一个数列an，满足an=an-1+n，n>1且n∈【答案】a【分析】依题意可得an-an-1【详解】因为an=an-1+n，n>1所以当n>1时，a=n+n-1又a1=1，所以当所以an故答案为：a14.已知数列an是等差数列，bn=an-8,n为奇数2an+1,n为偶数，记Sn，Tn【答案】370【分析】根据已知条件得到关于a1、d的二元一次方程组，解方程组，求出a1、d，即可求出数列an的通项公式，an【详解】设等差数列an的公差为d．由S3=18，得由T2=10得a联立①②，3a1+3d=18所以an则bn所以T20=b1=-3+15故答案为：370四、解答题15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知(1)求{a(2)求Sn，并求Sn【答案】(1)a(2)Sn=n2【分析】（1）根据题意结合等差数列求和公式求得d=2（2）根据等差数列求和公式可得Sn=【详解】（1）设等差数列{an}因为a1=-7，可得3×-7+3×2所以an（2）由（1）可得：Sn可知：n=4时，Sn取得最小值S所以Sn的最小值为-1616.已知等差数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)若bn=1Sn-3n【答案】(1)a(2)10【分析】（1）先设等差数列an的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d（2）先根据第（1）题的结果计算出Sn的表达式，进一步计算出数列bn的通项公式并进行转化，最后运用裂项相消法即可计算出数列bn的前【详解】（1）由题意，设等差数列an的公差为d则S5化简整理，得a1解得a1∴a（2）由（1）可得，Sn则bn=1Sn-3n=1∴数列bn的前10b=1-=1-=1017.已知Sn是等差数列an的前n项和，且a7(1)求数列an(2)若bn=an，求数列bn【答案】(1)a(2)T【分析】（1）结合等差数列的通项公式，前n项和公式和等差数列的性质，求出a1