2023九年级数学下册 第二章 二次函数2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质教案 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a（x-h）2的图象与性质教案（新版）北师大版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容为北师大版2023九年级数学下册第二章“二次函数”中的第3课时，着重探讨二次函数y=a(x-h)²的图象与性质。教学内容涉及二次函数标准形式的图象特征，包括顶点坐标、对称轴、开口方向和宽度，以及通过a、h的值对图象产生的影响。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生已在之前的课程中学习了二次函数的基本概念，理解了二次函数的一般形式y=ax²及其图象的简单性质。在此基础上，本节课将引导学生探索标准形式下二次函数图象与性质的具体表现，让学生通过实际观察、分析和总结，深化对二次函数图象性质的理解，并与实际应用相结合，增强知识的应用能力。核心素养目标1.抽象二次函数y=a(x-h)²的图象与性质，形成对函数图象变换的直观认识，提升数学抽象能力。

2.利用逻辑推理分析a、h的值对二次函数图象的影响，理解数形结合的数学思想，增强逻辑推理素养。

3.建立实际情境与二次函数图象性质的关联，解决实际问题，发展数学建模素养，体会数学在实际生活中的应用价值。重点难点及解决办法重点：

1.二次函数y=a(x-h)²的图象特征及其性质的理解。

2.通过a、h的取值分析图象的平移、伸缩和开口变化。

难点：

1.将二次函数的图象变换与具体参数a、h的关联抽象化。

2.在实际问题中运用二次函数图象性质进行建模和求解。

解决办法：

1.利用多媒体演示二次函数图象的变换过程，结合实际例子，帮助学生形成直观认识。

2.设计小组讨论活动，让学生合作探索参数变化对图象的影响，总结规律，加深理解。

3.提供具有实际背景的问题，引导学生运用所学知识解决，通过问题驱动法突破难点，强化知识应用能力。教学资源1.软件资源：

-数学教学软件（如几何画板、MathType等）

-多媒体演示文稿（PPT）

-二次函数图象变换动态演示动画

2.硬件资源：

-投影仪

-计算机及网络

3.课程平台：

-电子白板

-在线学习管理系统（LMS）

4.信息化资源：

-电子教材

-互动式在线练习题库

5.教学手段：

-小组合作学习

-探究式教学

-实物模型展示

-课堂讨论与问答

-课后作业与辅导材料教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对二次函数y=a(x-h)²图象与性质的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道二次函数的图象是如何变换的吗？它在我们的生活中有什么作用？”

展示一些二次函数图象变换的图片，让学生初步感受二次函数图象的变换特点。

简短介绍二次函数图象变换的基本概念和实际意义，为学习新课打下基础。

2.二次函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生理解二次函数y=a(x-h)²的基本概念和图象性质。

过程：

讲解二次函数y=a(x-h)²的定义，包括顶点坐标、对称轴、开口方向和宽度等主要组成元素。

使用图表或示意图，详细介绍a、h对图象的影响，帮助学生理解二次函数图象的变换原理。

3.二次函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解二次函数图象的特性和应用。

过程：

选择几个典型的二次函数案例进行分析，如抛物线与实际问题结合的案例。

详细介绍每个案例的背景、图象特点和应用意义，让学生全面了解二次函数的多样性。

引导学生思考如何运用二次函数图象性质解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和实际问题解决能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与二次函数相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论问题的现状、挑战以及运用二次函数图象性质的解决方案。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，加深全班对二次函数图象性质的认识。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的背景、解决方案及二次函数图象的应用。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调二次函数图象性质的重要性和实际应用。

过程：

简要回顾二次函数y=a(x-h)²的图象性质、案例分析和小组讨论成果。

强调二次函数图象性质在解决实际问题中的价值和作用，鼓励学生继续探索和应用。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于二次函数图象性质在实际问题中应用的短文或报告，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

-相关数学书籍：《二次函数解析》、《初中数学图象变换》等，这些书籍详细介绍了二次函数的性质和应用，以及图象变换的方法和技巧。

-科普文章：收集一些关于二次函数在现实生活中的应用实例，如物理学中的抛物线运动、工程学中的最优设计问题等。

-数学竞赛题目：选取一些涉及二次函数图象与性质的数学竞赛题目，供学有余力的学生挑战和练习。

-实际案例：搜集不同领域的实际案例，如经济领域的最优化问题、环境科学中的污染控制模型等，让学生了解二次函数的广泛用途。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关数学书籍，加深对二次函数性质和图象变换理论的理解。

-建议学生通过科普文章和实际案例，探索二次函数在科学、技术和社会生活中的应用，培养数学应用的意识。

-对于学有余力的学生，可以尝试解决数学竞赛题目，提高解题能力和数学思维。

-组织学生参加数学社团或兴趣小组，开展二次函数相关的研究性学习活动，激发学生的探究兴趣。

-引导学生利用网络资源或图书馆资料，自主查找二次函数在各个领域中的应用，撰写小论文或报告，分享学习成果。

-鼓励学生尝试使用数学软件（如几何画板、Mathematica等）绘制二次函数图象，直观感受图象变换过程，增强数学直观认识。典型例题讲解例题1：求二次函数y=a(x-h)²的顶点坐标。

解答：二次函数y=a(x-h)²的顶点坐标为(h,0)。因为函数的标准形式中，(h,k)表示抛物线的顶点，而在此函数中，k=0，所以顶点坐标为(h,0)。

例题2：已知二次函数的顶点为(-2,5)，求该二次函数的表达式。

解答：由题意知，顶点坐标为(-2,5)，因此h=-2，k=5。二次函数的一般形式为y=a(x-h)²+k，代入顶点坐标得y=a(x+2)²+5。为了求出a的值，我们需要另一个点的坐标。如果没有其他信息，可以假设a=1（因为题目未指明a的值），则函数表达式为y=(x+2)²+5。

例题3：二次函数y=3(x-1)²+2的图象与x轴相交于点A和点B，求线段AB的长度。

解答：首先，我们需要找到函数与x轴相交的点，即解方程3(x-1)²+2=0。令y=0，得到3(x-1)²=-2，由于平方项总是非负的，这个方程没有实数解，因此该二次函数与x轴无交点。但是，为了练习，我们可以求函数的零点。解得x=1±√(2/3)。假设有两个交点，那么线段AB的长度为|1+√(2/3)-(1-√(2/3))|=2√(2/3)。

例题4：抛物线y=-2(x-3)²+8的对称轴是什么？

解答：由二次函数的标准形式可知，对称轴的方程是x=h。因此，对于函数y=-2(x-3)²+8，其对称轴是直线x=3。

例题5：一个抛物线的顶点是(4,-1)，且经过点(2,3)，求该抛物线的方程。

解答：已知顶点(4,-1)，因此h=4，k=-1。设抛物线的方程为y=a(x-4)²-1。由于抛物线经过点(2,3)，代入该点得3=a(2-4)²-1，解得a=1。因此，抛物线的方程为y=(x-4)²-1。

例题6：一个抛物线y=5(x-2)²+9与直线y=2x+1相交于点P和点Q，求点P和点Q的坐标。

解答：为了找到交点，我们需要解方程组：

5(x-2)²+9=2x+1

5(x-2)²=2x-8

(x-2)²=(2x-8)/5

x²-4x+4=2x/5-8/5

x²-(4+2/5)x+(4+8/5)=0

x²-(20/5+2/5)x+(20/5+8/5)=0

x²-(22/5)x+(28/5)=0

解这个一元二次方程，我们可以使用求根公式，得到x的值。然后，将x的值代入任一方程求解y的值。

例题7：如果一个抛物线的开口方向向下，且顶点在y轴上，求该抛物线的一般形式。

解答：由于抛物线的开口方向向下，a<0。又因为顶点在y轴上，所以顶点的x坐标为0。因此，抛物线的一般形式为y=a(x-0)²+b，即y=ax²+b。

例题8：已知抛物线y=-3x²+12x-10，求其顶点坐标和对称轴。

解答：抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c。我们可以通过完成平方来找到顶点坐标和对称轴。

y=-3x²+12x-10

=-3(x²-4x)+10

=-3(x²-4x+4-4)+10

=-3((x-2)²-4)+10

=-3(x-2)²+12-10

=-3(x-2)²+2

因此，顶点坐标为(2,2)，对称轴为x=2。

例题9：如果一个物体的抛射路径可以用y=-5x²+20x+10表示，求物体的最大高度。

解答：物体的最大高度发生在抛物线的顶点处。抛物线的方程为y=-5x²+20x+10，我们可以通过完成平方找到顶点。

y=-5x²+20x+10

=-5(x²-4x)+10

=-5(x²-4x+4-4)+10

=-5((x-2)²-4)+10

=-5(x-2)²+20-10

=-5(x-2)²+10

顶点坐标为(2,10)，因此物体的最大高度为10个单位。

例题10：已知抛物线y=2x²-8x+6，求其与x轴的交点。

解答：为了找到抛物线与x轴的交点，我们需要解方程2x²-8x+6=0。使用求根公式，我们可以找到x的值。

x=[8±√(64-4*2*6)]/(2*2)

x=[8±√(64-48)]/4

x=[8±√16]/4

x=[8±4]/4

因此，x的值为1和3/2。抛物线与x轴的交点