高中数学-空间中的平行与垂直教学设计学情分析教材分析课后反思

本课题是高三二轮观摩课

课标分析

高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固

和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，针对今年高考的特

点，结合一轮复习的实际情况，确定二轮复习总的指导思想是：专题复习，夯实

基础，控制难度，重在通性通法，以培养学生的综合能力为重点，在努力实现学

生学科知识的系统化、网络化的同时，注重培养学生综合能力和应考素质。

教材以人教版必修2为依据，由于本节课是高三二轮复习专题，所以教学层

次要高于新学本节内容。对于第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基

础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和掌握；二是将第一轮复习过的

基础知识运用到实战考题中去，将已经掌握的知识转化为实际解题能力；三是要

把握高考各题型的特点和规律，掌握解题方法，初步形成应试技巧。

学情分析

本节课是高三下学期4月份进行了观摩，学生越临近高考越患得患失，太注

重结果，忽视过程，心态急躁，急功近利，毛手毛脚，不知所措，并且由于我所

任课班级学生是非重点校的学生，生源弱，基本功差，学生已经学习了直线、平

面垂直的判定及其性质，复习了直线、平面平行的判定及其性质，对空间概念有

一定的基础。但是，在考试中真拿满分的只有几个人，具体暴露的问题挺多，绝

大多数的同学都出现“会而不对，对而不全”解题不规范的情况，另外改卷过程

中发现各种不同书写错误，引发教师进一步探究，但评讲试卷时要全盘考虑不便

展开，同时学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，转化意识还有待加强

教学设计

课题：空间中的平行与垂直

一、高考考情

高考对本部分内容考查主要从以下形式进行：

⑴以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性

质定理对命题真假进行判断，属基础题.

⑵以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多

以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.

二、教学目标：

(1)在了解直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位

置关系)的基础上，掌握有关平行及垂直的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关

性质定理；

(2)在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探

索立体几何中论证问题的规律；

（3）在有关问题的分析与解决的过程中提高推理能力、运算能力、逻辑思维能力、空间

想象能力及化归和转化的数学思想的应用.

三、教学重点、难点

教学重点：直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质定理，会利用上述知识论

证和解决有关问题。

教学难点：线线平行、线面平行、面面平行的转化和应用。线线垂直、线面垂直、面

面垂直的转化和应用。

四、教学方法与手段

结合学案与多媒体，采用“练一议一讲”的课堂教学模式，调动学生参与课堂教学的主

动性和积极性。

五、教学设计

【教师】教师板书课题“空间中的平行与垂直”

（一）考试大纲

【教师】（开门见山）今天我们来复习一下“空间中的平行与垂直”.首先我们来看一下高

考考什么？

考点考纲：（找一名学生读考点考纲）

考试大纲考纲解读

①理解空间直线、平面位置关♦公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这

系的定义，并了解如下可以作条直线上的所有点都在这个平面内.

为推理依据的公理和定理.♦公理2：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平

面.

♦公理3：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公

共点，这些公共点的集合是一条直线.

♦公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行.

♦定理：空间中如果一个角的两边和另一个角的两边分

别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理解以下判定定理：

理和定理为出发点，认识和理♦如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那

解空间中线面平行、垂直的有么该直线与此平面平行.

关性质与判定定理.♦如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面都平

行，那么这两个平面平行.

♦如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

那么该直线与此平面垂直.

♦如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平

面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

♦如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任

何一个平面与此平面的交线和该直线平行.

♦如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们

的交线相互平行.

♦垂直于同一个平面的两条直线平行.

♦如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线

的直线与另一个平面垂直.

③能运用公理、定理和已获得能够证明一些空间中的平行与垂直问题.

的结论证明一些空间图形的

位置关系的简单命题.

（二）高考真题解读

空间中的平行与垂直在高考中所占分数大约在10%左右.在高考中的题型分布般是•

个选择或填空，一个解答题，分值约17分，属于高考重点考查内容.

【教师】请同学们看以下三个2015年高考真题，一会请一位同学给出答案，并简要说一下

每道题的做法。

1、（2015・广东卷）若直线/i和/2是异面直线，八在平面a内，/2在平面夕内，

/是平面a与平面夕的交线，则下列命题正确的是（）

A.I与h,/2都不相交B./与八，/2都相交

C./至多与/2中的一条相交D./至少与/2中的一条相交

解析：由直线和/2是异面直线可知/I与/2不平行，故/2中至少有一

条与/相交.

答案：D

2、（2015♦北京卷）设a,4是两个不同的平面，m是直线且mUa,

是“a〃夕’的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：当机〃夕时，过加的平面a与P可能平行也可能相交，因而m〃B由

a〃乐当a〃4时，a内任一直线与夕平行，因为根U%所以机〃夕.综上知，um

〃夕'是"a〃夕’的必要而不充分条件.

答案：B为二

3、（2015・卷）如图，三棱台。七八48。中，/18=2。£6,//

B

“分别为AC,8C的中点.

(1)求证：30〃平面尸G”.

(2)若CHLBC,AB1BC,求证：平面8co_L平面EG”.

证明：(1)证法一：连接OG,CD,

设CDnGF=M,连接OH.

在三棱台0EF-A3C中，AB=2DE,

G为AC的中点，可得。尸〃GC,DF=GC,

所以四边形DFCG为平行四边形.

则M为CD的中点，又”为的中点，

所以MH//BD.

又平面FGH,平面FGH,

所以BD〃平面FGH.

证法二：在三棱台DEF-ABC中，

由BC=2EF,H为BC的中点、,

可得BH〃EF,BH=EF,

所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE//HF.

在△ABC中，G为AC的中点，”为8C的中点,

所以GH//AB.

又G”nHF=H,所以平面FGH//平面ABED.

因为8DU平面ABED.

所以BD〃平面FGH.

(2)连接HE.

因为G,H分别为AC,BC的中点,

所以GH//AB.

由得G”，8c.

又“为3C的中点，

所以EF//HC,EF=HC.

因此四边形EFCH是平行四边形.

所以CF//HE.

又BC,所以"E，BC.

又HE,GHU平面EGH,HEHGH=H,

所以3cl■平面EGH.

又BCU平面BCD,所以平面BCD，平面EGH.

学生：给出自己的答案及解题思路。

之后教师根据学生的回答做点评。

【设计意图】先让学生直观感受高考对于这部分内容的考查，通过训练,明确高考命题方向,

结合高考大纲，让学生在后面的学习和训练中更有针对性。

（三）知识构建网络（多媒体教学展示，教师加以讲解）

线面垂直的定义

线面垂直的判死

线面垂直的性施

面面垂直的定义

面面垂直的判死

面面垂直的性质

【设计意图】让学生形成知识体系，初步构建空间中的平行与垂直关系的关系图。

（四）热点题型突破

热点一空间线面位置关系的判断

【教师】教师板书（考点一空间线面位置关系的判断）

【教师】请同学们看例1及其变式，一会请一位同学给出答案，并简要说一下每道题的做法。

例1、若加、〃是两条不同的直线，a、£是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）

A.m.LafnUfi,m_L〃今a_L4

B.a//p,m.La,n〃80m工n

C.a工B，相_La,n〃§0mln

D.a邛,aC0=m,〃_Lm今〃_1_4

【变式训练】

L（1）（2015•兰州市双基过关考试）设a,%y为不同的平面，加，〃为不同的直线，则相

邛的一个充分条件是（）

A.a邛,a^p=n,mVnB.a（^y—m,aJLy,fiJLy

C.a_L£,£-Ly,LaD.〃J_a,"_L夕，mA_a

（2）空间四边形ABC。中，AB^CD,AD=BC,AB^AD,M、N分别是对角线AC与8。

的中点，则用％与（）

A.AC,80之一垂直B.AC、都垂直

C.AC,BO都不垂直D.AC,8。不一定垂直

同学：给出答案，并说出解答。

解答参考：

例1、由于相、”是两条不同的直线，a、£是两个不同的平面，则当"?_La,〃U£,m

±n时，a、p可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确；当a〃在，m±a,"〃夕

时，机与“一定垂直，故B正确；当a-l-p,mA.a,n//p时，机与"可能平行、相交或异面，

不一定垂直，故C不正确；当a_L夕，aC夕=小时，若nCa,则“，夕，但题目中无

条件〃Ua,故D不正确.故选B.

变式训练：（1）A不对，，〃可能在平面夕内，也可能与“平行；B,C不对，满足条件的

，"和少可能相交，也可能平行；D对，由“La,〃_L4可知a〃夕，结合〃?_La知〃?，及

（2）连接AN、CN（图略），因为4O=BC,AB=CD,BD=BD,所以△AB。丝△COB,则

AN=CN,在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MNJ_AC.同理可证MN-LSD

反思：

【教师】通过例1及其变式的学习，你的收获是什么？（请一位同学回答）

学生：回答。（学生答完，用多媒体打出下面总结）

判断空间位置关系的常用方法

⑴借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.

⑵借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有

关定理，进行肯定或否定.

热点二空间中的平行与垂直关系

【教师】请同学们做一下例2及例3,思考和总结平行与垂直之间的关系。

例2.(2015•江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A\B\C\中，

己知AC_LBC,BC=CCi,

设AS的中点为。，BiCCBCi=E.

求证:⑴DE〃平面A4C1C；(2)BCi±ABi.

例3、如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2,AB±AD,

AEJ_平面A3£>,M为线段8。的中点，MC//AE,KAE=MC

=也

(1)求证：平面BCO_L平面CDE-,

(2)若N为线段。E的中点，求证：平面AMN〃平面BEC.

(教师巡视学生们做的怎么样，请一位学生上讲台板演。同时，解

说解题思路)

详细解答：

例2、证明：(1)由题意知，E为BjC的中点,

又。为ABi的中点，因此DE//AC.

又因为。放平面A4GC,ACU平面A4|GC,

所以DE〃平面AAJGC.

(2)因为棱柱ABC-A山CI是直三棱柱，

所以CG1•平面ABC.

因为ACU平面ABC,所以4c_LCC|.

又因为ACJ_BC,CGU平面BCGBi,8CU平面BCGBI,

BCnCCi=C,

所以ACJ■平面BCC\B\.

又因为BGU平面BCGBi,所以8G_LAC

因为BC=CC\,所以矩形BCGBi是正方形,

因此BCJBC

因为AC,SCU平面SAC,ACnBjC=C,

所以BCJ平面B\AC.

又因为A81U平面81AC,所以BGJLA81.

例3、证明：（1）：AB=A£>=2,AB±AD,M为线段BO的中点,

:.AM=；BD=巾,AM1.BD.

•.•4后,平面入吕。，MC//AE,，MC_L平面ABD

'：AM,BDU平面ABD.

：.MC±AM,MC-L8D又MCCBQ=M

J■平面CBD.

又AE=MC=g,

四边形AMCE为平行四边形，：.EC//AM,

...ECJ■平面CBD,

：ECU平面CDE,

平面BCDJ-平面CDE.

（2）：M为BO的中点，N为力E的中点，

:.MN〃BE.

由（1）知EC〃AM且AMAMN=M,BECEC=E,

平面AMN〃平面BEC.

反思:

【教师】通过对例2及例3的研讨，三种平行间的关系是如何转化的？垂直呢？

（请几位学生总结，最后老师加以总结，得到以下结论！）

教师在黑板上进行板书，并进行讲解。

（1）三种平行间的转化关系

性质定理

判定定理判定定理

线线平行（,线面平行「占面面平行

性质定理性质定理

判定定理

（2）三种垂直关系的转化

，①，③

线线垂直一一线面垂直一胃土面面垂直

------------②--------------------④---------------

热点三空间几何中的综合问题（提升训练）

TTI

例4、(2015•陕西卷)如图(1),在直角梯形A8CZ)中，AD//BC,ZBAD=yAB=BC=/

AD=a,E是AO的中点，。是AC与BE的交点.将△4BE沿8E折起到图(2)中△4BE的

位置，得到四棱锥4-BCDE.

⑴证明:CD_L平面4OC；

(2)当平面A8EJ_平面BCDE时，四棱锥4-BCDE的体积为366，求”的值.

1兀

解析：(1)证明：在图(1)中，因为48=8C=]A£)=a,E是AO的中点，NBAD=1,

所以BE±AC.

即在图(2)中，BE±AiO,BE±OC,AiOCiOC=O.

从而平面A\OC.

又CD//BE,所以CDJ•平面AiOC

(2)由已知，平面平面BCDE,

且平面A山EC平面BCDE=BE,

又由(1)可得AiO^BE,所以4O_L平面BCOE.

即A\O是四棱锥Ai-BCDE的高.

由图(1)知，AiO=喙48=乎“，平行四边形BC£)E的面积S=BCAB=a2,

从而四棱锥4-BCOE的体积为

V=；S-AiO=；X/x等a=*/由*苏=36啦，得“=6.

【教师】本题型是空间中的“翻折问题”，在解决这类题型通常有两个关键点。

(借助多媒体课件进行展示)

求解翻折问题的两个关键点

⑴画好两个图一一翻折前的平面图和翻折后的立体图.

(2)分析好两个关系一一翻折前后哪些位置关系和变量关系发生了变化，哪些没有变，这些不

变和变化的量反映了折叠后空间图形的结构特征.

例5、在如图所示的几何体中，四边形ABC。是正方形，

MA_L平面ABCD,PD//MA,E、G、F分别为MB、PB、PC

的中点，且AD=PO=2AM.

(1)求证：平面EFG〃平面PK4；

(2)求证：平面EFG_L平面PDC；

(3)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.

解析：(1)证明：：E、G、厂分别为MB、PB、PC的中

点，

J.EG//PM,GF//BC.

又•..四边形ABC。是正方形，

ABC//AD,J.GF//AD.

,:EG、GF在平面PMA夕卜，PM,AO在平面PMA内，

.♦.EG〃平面PM4,GF〃平面PM4.

文.：EG、G尸都在平面EFG内且相交，

，平面EPG〃平面PMA.

(2)证明：由已知MA_L平面ABC。，PD//MA,

，P£)J-平面ABCD.

又BCU平面ABC。，C.PD-LBC.

'：四边形ABCD为正方形，ABC±DC.

又PDQDC=D,•平面PDC.

由(1)知GF//BC,；.GFJ■平面PDC.

又GFU平面EFG,

二平面EFGJ■平面PDC.

(3)■平面ABCD,四边形ABC。为正方形，不妨设K4=l,则PO=4£)=2.

：D4J■平面且PO〃M4,

：.DA即为点P到平面MAB的距离，

Vp-MABVP-ABCD='^S^MAB-DAi.方物

=S^MAB''S正方MABC"=QX1X2):(2X2)=1:4.

即三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比为1:4.

(五)收获与感悟

(1)证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是

利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平

行、面面平行的性质定理进行平行转换.

(2)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线

线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行.

(3)证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂

直；二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教

材中的一些结论,如:两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.

(4)面面平行与垂直的证明技巧：在立体几何的平行关系问题中，'‘中点”是经常使用的一

个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点"，连‘‘中点”，

即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的

核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系

证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理,这个定理已知的是两个平面垂直,

结论是线面垂直.

(六)布置作业

巩固和掌握本节课所学内容，完成课后巩固训练。

(七)板书

附:

课后巩固训练

1.已知加，"是两条不同直线，a,w，y是三个不同平面，下列命题中正确的有（）

A.若山〃a,n//a,则B.若a_Ly,则a〃£

C.若加〃a,m//[i,贝!|a〃4D.若，〃_La,〃J_a,则”?〃〃

2.如图，在正方体ABCD—AiBiCQi中，M,N,P,。分别是A4|,4。”CCi，BC

的中点，给出以下四个结论：①4CLMN；②4C〃平面MNPQ③4C与PM相交；④NC

与PM异面.其中不正确的结论是（

A.①

C.③

3.如图，在空间四边形ABCD中，M^AB,N®AD,若霁=筮，则直线与平面

BOC的位置关系是

4.如图，布，圆。所在的平面，A8是圆。的直径，C是圆。上的一点，E、尸分别

是点A在P8、PC上的正投影，给出的下列结论正确的是

QAFA.PB-,②EFLPB；③力尸_LBC；④4E_L平面PBC.

5.如图，在斜三棱柱A8C-A1BQ中，侧面ACCA与侧面C281G都是菱形，NACG

=ZCCiBi=60°,AC=2.

⑴求证：Afii±CCi；

(2)若求四棱锥A-BBCiC的体积.

6.(2015•四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；

(3)证明：直线。尸，平面BEG.

课后巩固训练

1.已知〃7,〃是两条不同直线，a,小y是三个不同平面，下列命题中正确的有()

A.若〃?〃a,n//a,则，〃〃“B.若a_Ly,少-Ly，则a〃£

C.若根〃a,m//f},则a〃尸D.若/nJ_a,n_La,则相〃〃

2.如图，在正方体ABCD-A山iCQi中，M,N,P,。分别是441，AiDt，CC\,BC

的中点，给出以下四个结论：®AiC±MN；②AC〃平面MNPQ③AC与PM相交；④NC

与PM异面.其中不正确的结论是()

A.①B.②

C.③D.④

3.如图，在空间四边形ABCD中，M^AB,NGAD,若匿=筮，则直线MN与平面

BDC的位置关系是

MB

4.如图，以，圆。所在的平面，AB是圆。的直径，C是圆。上的一点，E、尸分别

是点A在PB、PC上的正投影，给出的下列结论正确的是

®AF±PB-,②EFtPB；®AF±BC；④AE_L平面PBC.

5.如图，在斜三棱柱A8C-4BC中，侧面ACCA与侧面CBS©都是菱形，/ACG

=ZCCiBi=60°,AC=2.

(1)求证：ABi±CCi；

(2)若求四棱锥A-BBiGC的体积.

6.(2015•四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；

(3)证明：直线。平面BEG.

效果分析

高三二轮复习专题课一空间中的平行与垂直，在班级进行了试讲，通过试讲,

熟悉了课堂教学模式“练一一议一一讲”的具体操作方式。

首先明确学习目标，让学生知道本节课学习要达到的目标，然后让学生自己

先做学案，让学生初步了解本节具体内容，在课堂上先让学生分组讨论，通过议

一议，取长补短，发现错误，自己先尝试寻找错误原因，改正错误，寻找最优解。

其次在课堂上，学生仍然未能解决的问题，教师通过分析讲解，解疑答惑,

帮助学生解决学习上的困惑。