全国自考复变函数论试题和答案

2011年10月全国自考复变函数论试题和答案

2011年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

复变函数论试卷

（课程代码02011）

本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

总分题号二三四五

核分人题分248103523

复查人得分

复查总分一____________总复行人（签名）

一、单项选择题（每小题2分，共24分）

得分评卷人复查人在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并

将其代碣写在题干后面的括号内。不选、错选或多

选者，该题无分。

1Arg(1-i)=[]

A.fB为整数)

C~fD-孑+2A"（4为整数）

2,下列方程中____给出的曲线是圆（2是实参数）【】

Az=（1+Bz=rcost+irsint

C,z=/+—Dz=，+4

l?

3.下列函数中,在z平面上处处解析的函数是【】

A/（z）=zBf（z）=y

C/（z）=zDf\z）=zRez

4函数/G）在z平面上【】

A处处可微，处处解析B.处处不可微，处处不解析

C仅在直线y二”上可微，处处不解析D仅在z=0处可微，处处不解析

复变函数论试卷第1页（共8页）

5£n(-1)=[I

A.TTiBiri+2kni(k为整数)

77.D争+2妹i（A为整数）

C2l

6若C为单位圆周Izl=1,则下列积分中值不为零的是【】

A.f—B[-j—----

kcoszJc?+2z+2

C[-D[也

k2T+5z+6JcZ

7.骞级数£5■的收敛半径为

【1

A2B1

C—2D3

8函数zsiiu在零点？=0的阶数是[]

A.1B2

C3D4

9.若。为/（z）的孤立奇点，目我何仁）=8,则：=。是/"）的【】

J-

A解析点B极点

C.本性奇点D.可去奇点

10若z=a是函数f(z)的二阶极点，则Re叭:)=[】

t-ta

ALim(z-a)2/(z)BLim(z-a)2/*(5)

x—Mla-Hf

CLiml{z-a)/(z)DLim[2(z-a)/(z)+(z-a)'/'(z)]

11方程/-5--2*+l=0在单位圆IJ<1内根的个数为【】

B3

C5D8

12.1+i关于单位圆周Izl=1的对称点是

B

C.y(l+i)Dy(l-i)

复变函数论试卷第2页（共8页）

得分评卷入复查人

二、填空题(每小题2分，共8分)

13方程z3=-8在复数域中共有个根

14若/(z)=u(x,T)+加(孙y)在点z=工+小斛析，则/'(z)=:

15.若"z)在区域。内解析，在方=O+C上连续，则有=

16.z=0是函数f(z)=z-sinz的阶零点.

得分评卷人复查人

三、判断题(每小题2分，共10分)

你认为正确的在题后括号内划“，”，反之划“X”。

17任何一个半平面都包含«()

18.若/(z)在区域。内处处可微，则/(z)在。内解析()

19函数/«)=，是以2*为周期的周期函数.()

20因为函数〃z)=十在圆域Iz-1I</内解析，所以它是该圆域内的整函数

)

21-察级数的和函数在其收敛圆周上至少有一奇点.)

得分评卷入复查人

四、计算题(每小题7分，共35分)

22.计算积分L(z-)•+廿)&,积分路径C是连接由0到1+i的直线段

复变函数论试卷第3页(共8X)

23计算积分/三号」心,C：IzI=2.

24.将函数三|按％-1的籍展开，并指明其收敛范围

**

复变函数论试卷第4页（共8页）

25计算积分嘉L2电

26求将上半z平面/侬>0共形变换成单位圆IR<1的线性变换3=L⑺，使合

条件=O,Lr(i)>0

复变函数论试卷第5页(共8页)

得分评卷人复森人

五、证明题（共23分）

27证明复平面上的圆周可以写成加£+所+瓦+C=0

其中4c为实数,4*0,6为复数，且IBI?>AC（7分）

复变函数论试卷第6贝（共8页）

28.判断函数/(z)=eM(xcosy-j-siny)+ie*(ycosy+xsiny)在z平面上的可微性和

解析性（8分）

复变函数论试卷第7页（共8页）

29.证明方程/f=z（A>1）在单位圆iz\<1内恰有一个根，且为实根（8分）

复变函数论试卷第8页（共8页）

2011年10月全国自考复变函数论参考答案

--*I页选择题(每小题2分，共24分)Q2M

1D2B3A4C5B6D1B8B9B10D

11C12C

二.填空题(每小殛2分，共8分)

133Hu,+iv,15—1163

■,2xiJ,_z

三、判断题(银小题2分，共10分)

WX18VJ9V20X21V

四、计算题(每小题7分，共35分)

22解由了从。到1+i的离线段为

C:y=N,04xg1.......................2分

丁足选x为参数TJz=x+jy=x+UN(l+i)x,得

^(x-y+xx5)d!z=1(x-x+ix2)</(l+i)x..........4分

=«】+[)卜'办

・Q一】)...................6分

3o

=-g(l-i)•…:.........................;...........................7分

23解:/(z)=2z2-z+l在全z平面上解析……........2分

二/(z)=2zi-z+l右圈域M<2内解析,在国42上连续，z=】处忖<2内一电.

由同g积分公式...................一….4分

(2z2-Z+1,、2J/八

I■—，一.Uz工2开J(2z-2+11•*•―•♦••.................>.-KAy

<z—1'47

=2^ri(2-1+1)=4TII..............................-7分

。解—7"U-1)-7~—...........................................・•2分

z+12+(z-l)

=?£（-三）=E（T旨D-..........6分

由1f3Vl知收敛覆的为|z-l|v2............7分

25解:/（2）=-二在2平面上只有两个一级极点2=七，由定理知——2分

1+Z

由了两个有白均在囱网上1=2的内部，由团数（残数）定理得

41-二由=工力n[Res〃z）+R^/（z）]........6分

&”-b

=，=sinf••••••••••…•・7分

2i

26解将上下平面Imz>0变成单付圆网<1,并将上学z平面上一点i变为眼心

0=0的线性变换为0=e"^_-»•—―-..........,2分

z+i

jr/T

乂由r（i）>0知夕一X=o.RP/?=-.......................6分

22

故所求线性变摸为0=iT....................................-7分

2+1

五.证明题（其中27鹿7分.2829每小题8分，共23分）

21证明设81的一般方科为4（，+y2）+3x+，y+C=0⑴♦“1分

其中〃工0,且4MG。为超数.当B'+O'>4/C时，即为实圆因*=交

>=:二土，x'+y',五代入方程(D有

2i

I1

4一-+—(6+Di)z+C=()••・,..................3分

22

MP/"+A7+"z+C=0,其中4c为实数，A^Q.尸=，5+Di),且

=!(6]+D,)>L4AC—AC...............$分

44

反之，设有方程4z5+