2017学年山西大学附中高三（下）5月月考数学试卷（理科）

2016-2017学年山西大学附中高三(下)5月月考数学试卷(理

科)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.(5分)已知集合A={x|(g)\,1},B={X|X2-2X-8,,0},则4B=()

A.{x|-德*0)B.{x|段长4}C.{x|嘴/4}D.{x\x,,-2}

2.(5分)若复数z-Z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且乙=2-》,则复数刍■在复

z2

平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.(5分)已知a=(—2,1),b=(k,-3),c=(l,2),若(a-2b)_Lc,则|b|=()

A.3百B.3夜C.2后D.V10

4.(5分)下列关于命题的说法错误的是()

A.命题“若d—3x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若xw2,则/一3工+2*0”

B.“a=2”是“函数/(x)=log,,x在区间(0,+00)上为增函数”的充分不必要条件

C.若命题p:最wN,2">1000,则2">1000

D.命题uHre(—oo,0)»2v<3'是假命题

5.(5分)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图的

程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行改程序框图(图中“aMODb”

表示。除以6的余数)，若输入的“，。分别为675,125,则输出的〃=()

A.0B.25C.50D.75

6.（5分）已知P是A4BC所在平面内一点，尸B+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在

AABC内，则黄豆落在APBC内的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

7.（5分）三角函数f（x）=asinx-£>cosx,若/g-x）=f（生+x）,则直线ar-by+c=0的

44

倾斜角为（）

A.-B.-C.—D.—

4334

8.（5分）一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）

帚祝3）

9.（5分）已知点4（1,2）示抛物线），2=4苫上一点，过点A作两条直线4）,AE分别交抛物

线于点。，E,若">,AE的斜率分别为七。，KAE,B.kAD+kAl;=O,则直线DE的

斜率为（）

A.1B.--C.-1D.不确定

2

10.（5分）已知点P为双曲线士一工=1（4>0力>0）右支上一点，K，尸，分别为双曲线的

ab~

左右焦点，且|耳月|=2,/为三角形尸与K的内心，若S万=5所，+为杆，成立，则/I

a

的值为（）

C.V2+1D.V2-1

=a〃cos女工，记5“为数

11.(5分)数列｛《,｝满足4=1,=5+1)%+〃(〃+1),且"

〃3

列｛2｝的前几项和,则§24=（）

A.294B.174C.470D.304

12.（5分）已知函数/（x）=ax+e/nx与g（x）=---的图象有三个不同的公共点，其中e为

x-elnx

自然对数的底数，则实数。的取值范围为（）

A.a<-eB.a>\C.a>eD.av-3或Q>1

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）

13.（5分）若。=J：（sinx+cosx）rfr,则二项式（。五一十展开式中V项的系数为.

X_y_2,022

14.（5分）设实数x,y满足x+2y-5..O,则〃=±之匕的取值范围是____.

b-2,,0个一

15.（5分）己知点尸为函数f（x）=e，的图象上任意一点，点。为圆（x-e2-l>+y2=i上任

意一点（e为自然对数的底），则线段尸。的长度的最小值为.

16.（5分）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(b2-tz2-c2)sinAcoaccos4-ua=\/2.则AABC面积的最大值

三、解答题：（本大题6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）已知数列｛七｝的前〃项和S“=2%-1.｛〃,｝是公差不为0的等差数列，其前三

项和为3,且4是d，么的等比中项.

⑴求知,b„；

（2）若3+0^2+…也♦•（〃一2），+2,求实数f的取值范围.

18.（12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000

名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：

（I）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

（H）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学

习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下

数据：

是否近视1-50951-1000合计

年级名次

近视413273

不近视91827

合计5050100

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？

（III）在（II）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一

步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50名的学生人数为

X,求X的分布列和数学期望.

P(K\.k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

附:

_n(ad-be)1

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

n=a+b+c+d.

19.(12分)如图，在梯形A8CD中，AB//CD,AD=/X：=CB=2,ZABC=60°,平面

ACEF_L平面ABC£>,四边形ACEF是菱形，ZCAF=60°.

(1)求证：8c，平面ACEF;

(2)求平面ABF与平面4)尸所成锐二面角的余弦值.

20.(12分)已知椭圆二+4=l(a>b>0)的离心率为渔，且过点(61).

。-b-3

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点C(-l,0)且斜率为％的直线/与椭圆相交于不同的两点A,B,试问在x轴上是

否存在点M,使MAM8+T—是与%无关的常数？若存在，求出点股的坐标；若不

3二+1

存在，请说明理由.

21.(12分)己知函数/(x)=二,g(x)=A(x-l).

Inx

(1)证明：FkqR,直线y=g(x)都不是曲线y=/(x)的切线；

(2)若e2],使得/(x),,g(x)+；成立，求实数k的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标

系与参数方程]

22.(10分)在平面直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为F=3+，cos0«为参数)，在以

[y=1+fsine

坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为0=4cos。.

(I)求/的普通方程和C的直角坐标方程；

(II)当夕€(0,%)时，/与C相交于P,Q两点，求|PQ|的最小值.

[选修4-5：不等式选讲]

23.设函数f(x)=|2x+3|+|x-l|.

(1)解不等式/(x)>4；

(2)若存在与€[-],1],使不等式〃+1>/(不)成立，求实数a的取值范围.

2016.2017学年山西大学附中高三（下）5月月考数学试

卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.（5分）已知集合A={x|（；），,,1},B={X|X2-2X-8„0},则AB=（）

A.{x|-德作0}B.{x|2B-4}C.{x|啜默4}D.{x\x„-2）

【考点】IE：交集及其运算

【专题】37：集合思想；40：定义法；59：不等式的解法及应用；5J：集合

【分析】解不等式求出集合A、B,根据交集的定义写出AB.

【解答】解：集合A={x|（；）'京!J}={x|x0},

B={x|f-2x-8强!!）}={x|-2*4},

则AB={x|喷34}.

故选：C.

【点评】本题考查了解不等式与求交集的运算问题，是基础题.

2.（5分）若复数z一4在复平面内对应的点关于y轴对称，且4=2-"则复数刍■在复

z2

平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义

【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N；数系的扩充和复数

【分析】由4=2-1,复数z「z,在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2,然后代入幺，

Z2

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数五在复平面内对应的点的坐标，则答案可

Z2

求.

【解答］解：Z1=2-i,复数z-z?在复平面内对应的点关于y轴对称，

z2=-2—i.

z.2-i（2-z）（-2+0—3+4i34.

—=---------------------------------------=---------------1—i，

z2-2-i（-2-0（-2+0555

则复数幺在复平面内对应的点的坐标为：(-2,-),位于第二象限.

z255

故选：B.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是

基础题.

3.(5分)己知4=(-2,1),b=(k,-3),c=(l,2),若(a-2卜)_Lc,则闻=()

A.375B.3夜C.2>/5D.>/10

【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系

【专题】11：计算题；34：方程思想；40：定义法；5A：平面向量及应用

【分析】利用平面向量坐标运算法则求出“-2%,再由向量垂直的性质求出人由此能求出

结果.

【解答】解：a=(-2,l),b=(k,-3),c=(l,2),

a-2b=(-2-2k,l),

(a-2h)-Lc,

c=-2-22+14=0,解得2=6,

b=(6,-3),

Ib|=J36+9=3N/5.

故选：A.

【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意

等比数列的性质的合理运用.

4.(5分)下列关于命题的说法错误的是()

A.命题“若Y_3X+2=0,则X=2”的逆否命题为“若XH2,则Y-3X+2H0”

B.“。=2”是“函数/(x)=k>g“x在区间(0,内)上为增函数”的充分不必要条件

C.若命题2”>1000,则2">1000

D.命题“3xw(—8,0),2'<3r"是假命题

【考点】2K：命题的真假判断与应用

【专题】38：对应思想；48：分析法；5L：简易逻辑

【分析】A,命题“若f-3x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若冲2,贝吐-3xR封”；

B,只要。>1时，函数/（x）=log«x在区间（0,E）上为增函数；

C,”>“的否定是”，，“；

D,根据指数函数图象可判定；

【解答】解：对于A,命题“若Y-3x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若xw2,则

x2-3x+2^0"正确；

对于8,只要时，函数/。）=1。8“工在区间（0,口）上为增函数，故正确；

对于C,若命题p：m〃wN,2">1000,则［p:V〃eN,2"„1000,故错；

对于3,根据基函数图象得"X€（YO,0）时，2，>3*”，故正确；

故选：C.

【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题.

5.（5分）“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图的

程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行改程序框图（图中“aMODb”

表示。除以6的余数），若输入的a,。分别为675,125,则输出的。=（）

A.0B.25C.50D.75

【考点】EF-.程序框图

【专题】38：对应思想；4R：转化法；5K：算法和程序框图

【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即

可.

【解答】解：输入a=675,6=125,c=50,

a=125>b=50>c=25,

a=25,b=0,c=0,

输出a=25,

故选：B.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正

确的答案，是基础题.

6.（5分）已知P是AABC所在平面内一点，PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在

AABC内，则黄豆落在APBC内的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

【考点】9£：向量数乘和线性运算；CF-.几何概型

【专题】11：计算题；51：概率与统计

【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是AABC边

上的中线AO的中点.再根据几何概型公式，将AP8C的面积与AA8C的面积相除可得本

题的答案.

【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形P8ZX7,则PB+PC=P。

PB+PC+2PA=0,

PB+PC=-2PA,得PD=-2PA

由此可得，P是AABC边3c上的中线AO的中点，

点P到BC的距离等于A到BC的距离的！.

2

S骋BC=2S&ABC,

将一粒黄豆随机撒在MBC内，黄豆落在"BC内的概率为P=&&=1

q?

故选：c.

B

D

【点评】本题给出点P满足的条件，求P点落在AP8C内的概率，着重考查了平面向量加

法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题.

7.（5分）三角函数f（x）=4sinx-bcosx,若/（工一幻=/（工+九），则直线or-by+c=0的

44

倾斜角为（）

A.-B.-C.—D.—

4334

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象；/2：直线的倾斜角

【专题】57：三角函数的图象与性质；58：直线与圆

【分析】由/（x）=asinx-Z>cosx,且/（工-）=（/—得至lla=-〃，再由直线ox-by+c=0

44

求得直线的斜率，根据倾斜角的正切值等于斜率得答案.

【解答】解：由八四-幻=/（出+幻，知三角函数f（x）的图象关于》=生对称，

444

•**/（0）=/（y），/.67sinO-Z?cosO=6Zsin^-/?cosJ|-,即。二一〃，

二.直线方-分+C=的斜率A=0=-1,其倾斜角为子.

故选：D.

【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了直线的倾斜角，是基础题.

8.（5分）一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）

1

D.

c12

【考点】L!：由三视图求面积、体积

【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；5F：空间位置关系与距离；5Q：立

体几何

【分析】画出三视图对应的几何体的图形，判断凡何体的形状，利用三视图的数据求解几何

体的体积即可.

【解答】解：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，则其体积为：

V=—x2xlx2—X—x1x1x1=—.

2326

11

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能

力.

9.（5分）已知点A（l,2）示抛物线y?=4x上一点，过点A作两条直线AD,AE分别交抛物

线于点。，£,若4）,AE的斜率分别为砥〃，KAE,且砥0+心=0,则直线。E的

斜率为（）

A.1B.--C.-1D.不确定

2

【考点】K8：抛物线的性质

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，求出O,E的纵坐标，利用斜率公式，即可得

出结论.

【解答】解：设4）的斜率为则AE的斜率为。（为，%）,E（X2,%），

设用）的方程为y-2=k（x-l）,

联立卜=消去x、整理得：02_分_必+8=0,

=4%

。4

％=-2+：，

k

4

同理y2=-2-—,

弘+%=T，

直线DE的斜率为三二显=’一=-l.

x+12

故选：C.

【点评】本题是一道直线与抛物线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属

于中档题.

22

10.（5分）已知点P为双曲线二-二=l（a>0/>0）右支上一点，E，居分别为双曲线的

a~h~

.2

左右焦点，且|"居1=2,/为三角形尸耳人的内心，若S""S"A+/IS成立，则兀

a

的值为（）

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】5£>：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】设△尸耳鸟的内切圆半径为r,由|P用-|PR|=2〃，|£E|=2c,用的边

长和「表示出等式中的

三角形的面积，解此等式求出心

【解答】解：设△尸石鸟的内切圆半径为r,

由双曲线的定义得|尸耳|-|尸鸟|=2°,|耳心|=2°,

S&PF\=2।0片।厂'S^pF2=~।PF?I厂'S[FIFZ=/2cr

由题意得：；|/Y；"=g|尸鸟|r+4”,

」「用一1啊,,

2c

I小一，

-7

c

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，考查三角形面积的计算，考查利用待定系数法

求出参数的值.

11.(5分)数列｛“"｝满足q=l,nan+t=(«+l)a„+n(n+1),且〃=a“cos^^,记S“为数

列电｝的前〃项和,则"=()

A.294B.174C.470D.304

【考点】8£：数列的求和

【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列；57：三角函数的图象与

性质

【分析】，叼用=5+1)%+”5+1),可得乌以一%=1,利用等差数列的定义通项公式可得

n+\n

222

an=n,h„=Icos等，可得k=(3%-2)cos2c功=_10k-2),同理可得

1

砥7=-5制-1)92，

%=(3左涔kwN.即可得出.

［解答］解：nan+l=(n+Y)an+n(n+1),

...-4-+-i----为-=_ii,

n+1n

数列｛2｝是等差数列，公差与首项都为1.

n

,可得q=〃2.

n

,2n九

"a"cos干,

,2〃乃

/.b=n~2cos---，

"3

2

九2=(3&-2)cos2(3"-2)"=_1(3Z._2)2,

32

同理可得%T=-g(3A-l)2，

b3k=(3k)2,ksN*.

.,也-2+%T+%=-融-2)T(3I)2+(34=%-1'

则S24=9x(l+2+...+8)--x8=304.

故选：D.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性,

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

12.(5分)已知函数/(x)=or+e/"与g(x)=--的图象有三个不同的公共点，其中e为

x-elnx

自然对数的底数，则实数。的取值范围为()

A.a<-eB.a>\C.a>eD.a<-3或a>l

【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值

【专题】35：转化思想；44：数形结合法；53：导数的综合应用

【分析】由题意可知：令/(x)=g(x)，化简求得/+(4-1"-〃+1=0,根据力(x)的单调性

求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得。的取值范围.

【解答】解：由+=—厂一•，整理得：a+—=—^―,

x-elnxxtelnx

x

令h(x)=回竺，且，=h(x)9

x

贝|Jr+(4z-l)r-a+l=O,=f

求导〃(1)=里二"，令”(幻=0,解得：x=e,

x~

/.h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)单调递减，

则当xf+8时，h(x)—>0,如图所示，

由题意可知方程有一个根4在（0,1）内，另一个根弓=1或弓=0或G€（7,0），

当「2=1方程无意义，当弓=0时，4=1，4=0不满足题意;

..,»/..H__,[H(0)<0口rt]―〃+1<0

则，2€(7,0)，由二次函数的性质可r知：\，即《、，

[W(l)>0[1+(a-l)-“+1>0

解得：a>\,

故选：B.

【点评】本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函

数的性质，考查数形结合思想，属于难题.

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）

13.（5分）若a=「（sinx+cosxMr,则二项式（小/7-9p展开式中x2项的系数为_-192_.

【考点】67：定积分、微积分基本定理；DA：二项式定理

【专题】11：计算题

【分析】根据定积分的性质可以求出。的值，然后根据二项式展开的公式将二项式

（队后一+）6展开，令x的幕级数为2,求出r,从而求解.

【解答】解：〃=（）（sinx+cosx世=2,

J=（-1）'螳［26）6-"2）=（-1）禺26-廿，

y/x

令3-r=2,得r=l,因此，展开式中含丁项的系数是-192.

故答案为-192.

【点评】本题考查了简单定积分的计算以及求二项式展开式的指定项的基本方法.

X—y—2,,0

则”看主片的取值范围是」2乃］_.

14.(5分)设实数x,y满足<x+2y-5..O

xy3

y-2,,0

【考点】7C：简单线性规划

【专题】11:计算题

【分析】先根据约束条件画出区域图形，然后求出）的取值范围，最后根据〃的性质

Xt

解题即可.

X—y—2,,0

【解答】解：由约束条件x+2y-5..O得如图所示的阴影区域，

“2,0

由图可知，上的取值范围为七，2]

x3

当2=1时，〃取最小值2,当2=工时，〃取最大值更

xx33

故〃=《1£=上+土的取值范围是[2,3],

xyxy3

【点评】本题主要考查了简单线性规划，同时考查了函数的值域和数形结合的方法，属于基

础题.

15.（5分）已知点P为函数/。）=，的图象上任意一点，点。为圆（x-1y+>2=|上任

意一点（e为自然对数的底），则线段PQ的长度的最小值为-1

【考点】KE：曲线与方程

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；52：导数的概念及应用

【分析】由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（/+l,0）到函数〃x）=e■'图象上一点的距离的

最小值.设/（x）图象上一点（现叶），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积

为-1,可得e?'"—"+相—1=0,gM=e2x-e2+x-l,求出导数，判断单调性，可得零

点e,运用两点的距离公式计算即可得到所求值.

【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q(e2+1,0)到函数/(x)=e"图象上一点的距

离的最小值.

设/(%)图象上一点(%,一"),

由/(X)的导数为r(x)=e*,

即有切线的斜率为％=d",

可得一二一=-e-m,

in-e"

即有/，“—〃十机―1=0,

g(x)=e2x-e2+x-l,可得g'(x)=2e"+l>0,g(x)递增.

又g(1)=0,

可得x=1处点(l,e)到点。的距离最小，且为e5m,

则线段PQ的长度的最小值为e，e2+l-1,

故答案为eVTIl-l.

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查圆的对称性和两点的距离公式，

考查运算能力，属于中档题.

16.(5分)在锐角三角形A8C中，角4,B,C的对边分别为。，b,c,且

222

(b-a-c)sinAcost：accos^1,a=^2.则AABC面积的最大值叵士।.

~2~

【考点】HR：余弦定理

【专题】11：计算题；56：三角函数的求值；58：解三角形

【分析】利用余弦定理列出关系式，代入已知等式并利用诱导公式化简，求出sin2A的值,

进而确定出A的度数，再利用余弦定理列出关系式，根据不等式的基本性质求出租的最

大值，即可确定出三角形面积的最大值.

【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,B|Jb2-a2-c2=-2accosB,

代入已知等式得：-2〃ccosBsinAcosA=-accosB,

整理得：2sinAcosA=l,即sin2A=1,

/.A=45°,

a=\/2,

/.2=a2=b2+c2-2/?ccosA=b2+c2-.2bc一42bc，即be,,——^-j==2+&,

2-V2

iiR立土L即A4BC面积的最大值为克里

则%BC=Q%csinA,-x—x(2+>/2)=

22

故答案为：垦L

2

【点评】此题考查了余弦定理的应用，诱导公式，二倍角的三角函数值，以及基本不等式的

运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

三、解答题：（本大题6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）已知数列｛凡｝的前"项和S,=2q,-1.｛4｝是公差不为0的等差数列，其前三

项和为3,且以是打，用的等比中项.

⑴求明，"；

（2）若3+%&+…++也..（”-2），+2,求实数f的取值范围.

【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列

【分析】（1）由题意结合递推关系求得数列的通项公式即可：

（2）首先错位相减求得7；,然后结合恒成立的条件分类讨论即可求得最终结果.

【解答】解：（1）因为S,,=24-1①，

当”=1时，q=S[=2q—1,解得，4=1,

当时”..2时，5,i=2a,i—l,②

①-②,得见=2q,-2a,i，即4=2%,所以％=21,

由数列｛或｝的前三项和为3,得34=3,所以力2=1，

设数列｛£｝的公差为d，则4=l+d，b5=\+3d,

又因为考=她5,所以（l+d）2=1+3",

解得d=l或d=O（舍去），所以包=〃-1；

（2）由（1）,可知,%=2"T,b„=n-\,从而“也=（〃-l）x2"-‘，

令仿+…+"也，

贝ij：7；=lx2'+2x22+...+(〃-2)X2"2+(〃-1)X2"T,

2(=1X22+2X23+...+(〃-2)X2"T+5_1)X2",

两式做差可得：

-7；=2+22+23+...+2"-'-(/7-l)x2n

2-2"

-(/2-1)X2"

~1-2

=-(n-2)x2"-2

贝ij7；=(〃-2)2"+2,

故题设不等式可化为(“-2)x2"..(”-2)r,(*)

当”=1时，不等式(*)可化为-2..T,解得；A.2；

当”=2时，不等式(*)可化为0..0,此时feR；

当〃..3时，不等式(*)可化为r,,2",因为数列｛2"｝是递增数列，所以1,8,

综上，f的取值范围是[2,8].

【点评】本题考查数列通项公式的求解，恒成立问题，错位相减求和等，重点考查学生对基

础概念的理解和计算能力，属于中等题.

18.(12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000

名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：

(I)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

(H)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学

习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下

数据：

是否近视1-50951-1000合计

年级名次

近视413273

不近视91827

合计5050100

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？

(HI)在(II)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一

步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50名的学生人数为

X,求X的分布列和数学期望.

P(K2..k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

附:

K?_n(ad-be)'

(a+b){c+d)(a+c){b+d)

n=a+b+c+d.

【考点】BL：独立性检验

【专题】31：数形结合；49：综合法；5/：概率与统计

【分析】(I)由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以

的频率为1_().08=0.82,全年级5.0以上的人数为1000x0.82=820；

(II)求出(2,与临界值比较，K2»4.110>3.841.由此能求出在犯错误的概率不超过0.05

的前提下认为视力与学习成绩有关系.

(IH)依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人，X可取0、1、

2、3,分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望.

【解答】解：(I)由图可得：前三组的频率分别为：0.03,0.07,0.27,

.•.第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，

后四组频数成等差数列，

后四组的频数27,24,21,18,

所以视力在5.0以的频率为1-0.08=0.82,

所以全年级5.0以上的人数为1000x0.82=820；

(II)片=-〃(八了______=100X(41X18-32X9)^4110>3841

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x50x73x27

因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;

(III)由题意可知9人中年级名次在1-50名和951-1000名的人数分别为3人和6人,

；.X的取值为0,1,2,3,

C35

P(X=0)=—Y=—,

C；21

C2cl15

P(X=I)=9=R

C；28

P(X=2)=^-=3

14

"'=3)念=上

X的分布列为:

X0123

P51531

2?281484

.■.E(X)=0XA+1X—+2x—+3x—=1,

21281484

E(X)=1.

【点评】本题考查直方图，考查独立性检验的应用，考查求X的分布列和数学期望，考查

学生的计算能力，属于中档题.

19.(12分)如图，在梯形至。中，AB//CD,AD=DC=CB=2,Z4BC=60。，平面

AC£F_L平面A8C£>,四边形ACE尸是菱形，ZC4F=60°.

(1)求证：8C_L平面ACEF；

(2)求平面与平面4)尸所成锐二面角的余弦值.

E

【考点】LW：直线与平面垂直；MJ■.二面角的平面角及求法

【专题】35：转化思想；49：综合法；5G：空间角

【分析】（1）证明8C_LAC,由平面ACEF_L平面ABCD,平面ACEFC平面ABCD=AC,

得BC_L平面ACEF

（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出法向量即可.

【解答】解：（1）证法一：在梯形ABC。中，AB//CD,

AD=DC=CB=2,ZA8C=60°,ZADC=IX：B=\2OP,ZDCA=ZDAC=30P,...（2

分）

/.ZACB=90°.即3CLAC,...（3分）

又平面AC£F_L平面ASCD,平面ACErC平面/WCD=AC,

，8C_L平面ACEF...（5分）

（2）取G为中点.连CG

四边形ACE尸是菱形，NC4产=60。，.•.。6_1所即。61.4。

与（1）同理可知CG平面A8C。

如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，…（6分）

则有AQ&0,0）,5（0,2,0）,£＞（",-1,0）,尸（百,0,3）,

AB=（-2石,2,0）,4尸=（-石,0,3）,。尸=（0,1,3）…（7分）

设〃?=（%，X，zJ是平面AB/7的一个法向量,

「]AB=0r—yfix.+V,=0_/厂A<、,八、

则1，即1rt1>17,,取m二（有3,1）.…（9分）

AFm=0—V3x,+3Z[=0

设行区通口）是平面AOF的一个法向量，则r，"=。，即卜色#3Z2=0,取

（DFn=0[y2+3z2=0

n=（V3r3,.分）

设平面ABF与平面ADF所成锐二面角为0,则cos。=上皿=1,

即平面A3尸与平面4阴所成锐二面角的余弦值为工.…（12分）

13

【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题.

20.（12分）已知椭圆;+与=13>6>0）的离心率为逅，且过点（五,1）.

ab'3

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点C（-l,0）且斜率为左的直线/与椭圆相交于不同的两点A,8,试问在x轴上是

否存在点"，使K4M3+—1-是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不

3二+1

存在，请说明理由.

【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（1）利用椭圆的离心率为"，且过点（五,1）,求得椭圆的几何量，即可求椭圆的

3

方程；

（2〃）假设存在点M符合题意，设为y=k（x+l）,代入椭圆方程可得关于x的一元二次

方程，设4(%,y),B(X2,y2),M(m,O),由利用韦达定理，及MAM8+—-是与