初中数学公式大全(一)

初中数学重要公式定律

一、有理数

1.相反数与绝对值

(D数a的相反数是一〃.若明6互为相反数，则a+

b=0;反之，若a+b=O,则a、6互为相反数.

ra(a>0),

(2)绝对值计算|a|=10(a=0),

、一a(aVO),

(a(a>0),ja(a>0),

或/…、或7/八、

\-a(a<ZO),(一a(a《O).

2.两个有理数大小的比较

(1)在数轴上,右边的数总比左边的数大.

(2)正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数.

(3)两个负数比较，绝对值大的负数反而小.

3.有理数的运算

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值

相加；

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值

加法

较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去

法则

较小的绝对值.互为相反数的两个数相加

得0；

③一个数与0相加，仍得这个数

减法减去一个数，等于加这个数的相反数，即a-b

法则=。+(—b)

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对

值相乘.任何数与0相乘，积仍得0;

②几个不等于0的有理数数相乘，积的符号

乘法

由负因数的个数决定：当负因数为奇数个时，

法则

积为负；当负因数为偶数个时，积为正.几个

有理数相乘，如果其中有一个因数为0,积就

为。

①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对

值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得

除法0；0不能作除数；

法则②除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒

数，即a+b=a•

D

①正数的任何次骞都是正数；负数的偶次幕

是正数，负数的奇次幕是负数；0的任何正整

乘方

数次哥都等于0；

法则

②互为相反数的两个数奇次赛互为相反数，

偶次塞相等

混合先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，

运算从左到右进行;有括号的，先算括号里面的

2

4.有理数运算律

交换律a+6=6+a

加法运算律

结合律(a+b)+c=a+(6+c)

交换律ab=ba

乘法运算律结合律(a6)c=a(6c)

分配律a(6+c)=a6+ac

5.科学记数法

把一个大于10的数记作aXIO"的形式，其中a大

于或等于1且小于10,即是正整数.

二、整式的加减

L合并同类项的法则

合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的和作

为系数，字母与字母的指数不变.

2.去括号法则

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去

掉，括号里各项的符号都不改变;括号前面是“一”号，把

括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号.

3.整式的加减法则

整式的加减实质就是去括号、合并同类项，若有括

号，就要先去掉括号，然后再合并同类项，直到结果中没

有同类项为止.

三、一元一次方程

1.等式的基本性质

(1)如果a=b,那么a+c=5+c,a—c=b-c.

(2)如果a=6,那么〃=6c；如果”=6,那么0=2~(c#O).

cc

2.解一元一次方程的步骤

变形名称具体做法依据注意事项

①不要漏乘不

把方程两边

含分母的项；

每项都乘各等式基

去分母②分子是一个

分母的最小本性质2

整体，去分母后

公倍数

应加括号

先去小括号，

①不要漏乘括

再去中括号，乘法分

号里的项；

去括号最后去大括配律，去

②注意“+”

号(或反之由括号法则

“一”的改变

外向内)

把含有未知数

的项都移到方

等式基①移项要变号；

移项程的一边，其他

本性质1②不要漏掉项

项都移到方程

的另一边

3.命题、定理、证明

定义判断一件事情的语句，叫做命题

真命题如果题设成立，那么结论一定成立的命题

假命题题设成立时，不能保证结论一定成立的命题

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明

互逆

是正确的，它也是一个定理，称这两个定理

定理

为互逆定理

六、实数

1.平方根和立方根

名称表示性质

一个正数有两个平方根，它们互为

平方根土后相反数；0的平方根是0；负数没有

平方根

正数的立方根是一个正数，负数的

立方根

立方根是一个负数,0的立方根是0

2.实数的性质

(1)数Q的相反数是一人这里a表示任意一个

实数.

(2)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的

绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

七、平面直角坐标系

①z轴上点的纵坐标为0;

坐标轴上

②y轴上点的横坐标为0;

点的坐标

直角坐③原点的横、纵坐标都为0;

特点

标系内④原点既在x轴上，又在y轴上

点的坐

各象限内①点在第一象限，则a>096>0；

标特点

点的坐标②点在第二象限，则a<0,b>Q；

特点③点在第三象限，则a<0,6V0；

P36）④点在第四象限，则a>0,b<Q

角平分①在一、三象限的角平分线上,a=6;

线上点P(a,b)②在二、四象限的角平分线上，

的特点a——b

平面①关于z轴对称，横坐标相同，纵

直角坐标互为相反数，即（。，一0

坐标系②关于y轴对称，横坐标互为相

P(a,d)

中对称反数，纵坐标相同，即（一

点的坐③关于坐标原点对称，横纵坐标

标特点都互为相反数，即（一以，一Q

与坐标

轴平行①与X轴平行的直线上的所有点的纵坐标

的直线相同,

上的点②与丁轴平行的直线上的所有点的横坐标

的坐标相同

特点

八、二元一次方程组

对于二元一次方程组,

2y=C2.

（1）当生#3（收出#0）时，方程组有唯一解.

（2）当生=3=&~（々2，仇"2#0）时，方程组有无数

。2。2

组解.

⑶当生=善工"（如也，C2#。）时,方程组无解.

。2勿。2

九、不等式与不等式组

1.不等式性质

性质1：不等式的两边同时加（或减）同一个数或同

一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即如果。〉人

那么a士加>6±利.

性质2：不等式的两边同时乘（或除）同一个正数,

不等号的方向不变，即如果。>6,且m>0,那么am>

bm或邑＞2.

mm

性质3：不等式的两边同时乘（或除）同一个负数,

不等号的方向改变，即如果。＞儿且加V0,那么

am＜Zbm或邑V2".

mm

2.一元一次不等式组的解集

不等式组

数轴表示解集口诀

x>a,I_

------------4jc>b同大取大

x>bab

zVa,

—《，—一x<ia同小取小

i%V6ab

x>a大小小大

ya<Zx<Zb

x<ibab中间找

\x<ia,小小大大

-----------T>-----》..A无解

[x>bcIb找不到

十、三角形

1.三角形的分类

八锐角不等边人

△三角形按三角形£\

边

,直角

，底边和腰不

为三角形分

类,相等的等腰

0驾形产「A

钝角

三角形J

等边△

【三角形

2.三角形三边关系

三角形中任意两边的和大于第三边，三角形中任意

两边的差小于第三边.

3•三角形内角和定理

三角形三个内角的和是180°.

4,直角三角形的性质与判定

性质：直角三角形的两个锐角互余.

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

5.三角形的外角性质

(1)三角形的外角和为360°.

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

的和.

(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个

内角.

6.多边形的内角和与外角和

(1%边形的内角和是(〃-2)X180°.

(2丘边形的外角和为360°.

H—、全等三角形

1.全等三角形的判定

方法内容符号适用范围

三条边分别对应相等的

定理1SSS所有三角形

两个三角形全等

两边及其夹角分别对应

定理2SAS所有三角形

相等的两个三角形全等

两角及其夹边分别对应

定理3ASA所有三角形

相等的两个三角形全等

两角及其中一个角的对

定理4边对应相等的两个三角AAS所有三角形

形全等

斜边和一条直角边对应

定理5相等的两个直角三角形HL直角三角形

全等

2.角平分线的性质及判定

(1)性质：角的平分线上的点到角的两边的距离

相等.

(2)判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角

的平分线上.

十二、轴对称

1.轴对称和线段垂直平分线的性质及判定

①关于某条直线对称的两个图形是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，那么

对称轴是任何一对对应点连线的垂直平

轴对称

分线,

的性质

③两个图形关于某条直线对称，如果它们

的对应线段或延长线相交，那么交点在对

称轴上

10

心a

若两个图形的对应点的连线被同一直线垂

轴对称

直平分，那么这两个图形关于这条直线

的判定

对称

性质:线段垂直平分线上的点与这条线段

线段的

两个端点的距离相等

垂直平

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，

分线

在这条线段的垂直平分线上

2,三角形的性质及判定

①等腰三角形是轴对称图形；

等腰三角②等腰三角形的两个底角相等；

形的性质③等腰三角形的顶角平分线、底边上的

中线、底边上的高相互重合

等腰三角如果一个三角形有两个角相等，那么这

形的判定两个角所对的边也相等

等边三角等边三角形的三个内角都相等，且都等

形的性质于60°

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

等边三角②三个角都相等的三角形是等边三角形；

形的判定③有一个角是60°的等腰三角形是等边三

角形

11

①在直角三角形中，30°角所对的直角边

直角三角等于斜边的一半；

形的性质②直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半

十三、整式的乘法与因式分解

1・零的有关法则

塞的运算法则:公式（利方是正整数）

同底数蹇

底数不变，指数相加d•a-CL

的乘法

塞的乘方底数不变，指数相乘(am)"=a""

把每一个因式分别

积的乘方乘方，再把所得的(a6)M=a"6"

褰相乘

同底数塞am=amn

底数不变，指数相减

的除法(a^O,m>n)

任何不为0•的数的

零指数骞a°=l(aH0)

0次寨都等于1

任何非0的数的

负整数a"=2(aX0)

一力次第，等于这个

指数骞av

数的P次暮的倒数

2.乘法公式

2

平方差公式(a+6)(Q-6)—6

完全平方公式(。士6)2=1±2〃6+62

3.因式分解

提公因式法ma+7«6+me=7n(a+b+c)

a2一y=(a+6)(a—6)

公式法

a2±2ad+62=(a±6)2

x2+(p+q)%+pq=(x+p)(Z+q)

z

十字相乘法ax+bx+c=(aii+ci)(a2x+c2)

(a=ai•a2,c=Q-c2,RCz+a2cl=6)

ax+ay-\-bx+by=x{a+b}+y(a+6)

分组分解法

=(a+6)(z+y)

十四、分式

L分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的

整式，分式的值不变.即鲁=崎，9=崎（其中

M是不等于。的整式）.

2.分式的运算法则

（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分

子，分母的积作为积的分母・即%?=襄

（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母

颠倒位置后，与被除式相乘.即包+幺=2,.=与

acaaad

（3）乘方法则：把分子、分母分别乘方.即（告尸=

O

n

土n（九为正整数）.

b

（4）加减法法则：①同分母的分式相加减，分母不

变，把分子相加减.即色士2=包；②异分母分式相

CCC

加减,先通分，变为同分母分式，再加减.即看±£=言

bd_ac士bd

士左=一^・

十五、二次根式

Q>/S>O(Q)O);②(后)2=a(a>0);

(a(a^O)

③"=|a|=9

二次根式—a(a<CO)；

的性质®^/ab=y/a・扬(a>0,6~0);

⑤,b>0)

乘法法则亚・网=，6>0）

亳=7¥（仑。出>。）

除法法则

2.中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的

一半.

十八、一次函数

■

图象

第*、—>%箪一二第一、二、第一二

经过

三象限四象限四象限四象限

象限

与y轴

交点的正半轴负半轴正半轴负半轴

位置

图象从左到右是上图象从左到右是下降

增减性升的，y随z的增大的O随工的增大而

而增大减小

自变量

工的取全体实数

值范围

十九、数据的分析

L平均数

（1）平均数：对于n个数百，/2，…，/，则x=—（xi

n

+B+…+/）就叫做这九个数的平均数.

（2）加权平均数:若兀个数了1，工2,工3,…，4的权分

PHe1nlz1IU1+K232+…nli

另IJ是Wi,w2,w3,—，以，贝II------TVV------叫

W]-rW2十.,•十w»,

做这〃个数的加权平均数.

2.数据的波动程度

（1）极差:一组数据的最大值与最小值的差.

（2）方差:一组数据中各数据与它们的平均数的差

的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用52来表

示，计算公式：5?=—［（Xi—X）2+（X—xY+…+

n2

（x„—x）2］.’

（3）标准差:样本方差的算术平方根表示样本的标

准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.公式：s=

-％）2+（士-+…+（工—X）23.

二十、一元二次方程

1.一元二次方程的解法

直接开形如〃=5,（z+a）2=b的方程，利用平方

平方法根的定义直接开平方求解

通过配方将方程化为（z+a）2=b的形式，

配方法

应用直接开平方的方法求解

①提公因式法：若ax2一任=0,则x（.ax—

因式6）=0,xi=0,s=—）

a

分解法

②十字相乘法:若/—（/>+口）］+pq=0,则

（X-g）=0,xi=p，4=q

ax2+6力+。=0（0*0）的根由系数a、6、c确

公式法定，求根公式为bi±（二4。。函一

4ac>0）

心匚

当zVO时,y随着当x<0时，y随着

x的增大而减小；x的增大而增大；当

增减性

当1>0时,y随着z>0时，y随着工

X的增大而增大的增大而减小

极值x=0时，*■小=。力=0时,）量大=0

抛物线的形状是由来确定的，一

般说来，|。|越大，抛物线的开口就越小；|。|越小，

抛物线的开口就越大

2.二次函数y=Q（。一数2+/a#0）的性质

y=a(R-1)2+上y=a(R—/i)2+左

抛物线

(a>0)(a<0)

顶点坐标(h,k)(h,k)

对称轴直线x=h直线x=A

位置由人和为的符号确定由人和氏的符号确定

开口方向向上向下

在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y

»随着z的增大而随着N的增大而增

增减性减小；在对称轴的大；在对称轴的右

右侧，丁随着x的侧,y随着z的增大

增大而增大而减小

最值当a=九时，y»小=k当Lh时，'量大=4

18

▲

3.二次函数y=ax2+bz+c(a#O)的性质

2

y^ax+6x+cy=ax2+6N+C

抛物线

(a>0)(a<0)

/__b_4ac-62\(b4ac-62\

顶点坐标\2a94a)(2a'4a)

对称轴直线z=_/直线1=一治

由ab和c的符号由和c的符号

位置9

确定确定

开口方向向上向下

在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y

y随着1的增大而随着z的增大而增

增减性,

减小；在对称轴的大；在对称轴的右

右侧，y随着土的侧4随着Z的增大

增大而增大而减小

当工=—/时，当Z=一及时，

La

最值；

4ac-624ac一〃

“小_4a“大一4a

有关抛物线y=axz+bx+c的符号问题：

(Da的符号：由抛物线的开口方向确定.

①开口向上㈡。＞0;

②开口向下㈡aV0.

(2)c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.

①交点在工轴上方㈡c>0；

②交点在x轴下方㈡cVO;

③经过坐标原点㈡。=0.

(3)6的符号：由对称轴的位置确定.

①对称轴在>轴左侧㈡同号；

②对称轴在y轴右侧㈡异号;

③对称轴是y轴㈡方=0.

4,二次函数解析式的确定

求抛物线的解析式主要有三种方法：

(1)一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为

j=ax2+bj：+c(aKO).

(2)顶点式：已知抛物线顶点坐标(衣,心，通常设抛

物线解析式为y=a(x—hy+^(a^O).

(3)交点式：已知抛物线与x轴的两个交点(口，0)、

(g,0),通常设解析式为y=a(x—x1)(a：—X2)(a^O).

5.二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y—ax2+bx-\rc的图象和z轴交点的横

坐标，便是对应的一元二次方程ax24-6x-i-c=0的解.

y==ax2+6%+cax2+5N+C=0

判别式

(。#0)(aWO)的根

与夕轴有两个不

有两个不同的解

b2—4ac>0同的交点(xi,0),

X—Xi，工=4

(亚，。)

与N轴有唯一的有两个相等的解

2

b—4ac=0交点（一/，0）b

皿="2=一五

62—4ac<0与X轴没有交点没有实数根

二十二、旋转

1.旋转

（1）旋转的性质

①对应点到旋转中心的距离相等；

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

③旋转前、后的图形全等.

（2）旋转三要素

①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.

2.中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等图形.

（2）关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经

过对称中心，并且被对称中心平分.

3.关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即

点PG,y）关于原点O的对称点是P'（一小一y）.

二十三、圆

L圆的有关性质

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的

圆的对称性直线都是它的对称轴.圆又是中心对称

图形，具有旋转不变性

21

①定理:垂直弦的直径平分这条弦，并且

垂径定理平分弦所对的两条弧；

及推论②推论：平分弦（不是直径）的直径垂直

于弦，并且平分弦所对的两条弧

①在同圆和等圆中，相等的圆心角所对

的弧相等，所对的弦也相等；

弧、弦、圆

②在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆

心角之间

心角相等，所对的弦相等；

的关系

③在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧

相等，所对的圆心角相等

①定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所

对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆周角

圆心角的一半；

定理

②推论：半圆（或直径）所对的圆周角是

直角，90°的圆周角所对的弦是直径

2.与圆有关的位置关系

（1）点与圆的位置关系

圆的半径为厂，点到圆心的距离为a,则有:

①点p在圆外㈡&＞厂；

②点P在圆上㈡厂；

③点P在圆内㈡dV厂.

22

(2)直线与圆的位置关系

关系相交相切相离

V„

图形p)

公共点

01

L1Vn

个数

圆心。

到直线

Z的距

d=rd〉r

离d与

半径厂

的关系

公共点

［交点切点

的名称

直线一

割线切线

名称

(3)圆与圆的位置关系

位置关系图形交点个数a与R、厂的关系

外离Ood>R+r

相离0

内含◎O04dVR一厂

A

二十四、概率初步

概率P⑷=||瞿|羸,表示事件发生的

可能性:①随机事件O<P(A)<1；②必然事件P(A)=1；

③不可能事件P(A)=O.

二十五、反比例函数

反比例函数_k

X

A的符号4>0k<0