高考数学概率与统计知识点

中学数学之概率与统计

求等可能性事务、互斥事务和相互独立事务的概率

解此类题目常应用以下学问：

cardgm

(1)等可能性事务(古典概型)的概率：P(A)=E/)=7；

等可能事务概率的计算步骤：

计算一次试验的基本领件总数〃；

设所求事务A,并计算事务A包含的基本领件的个数叫

依公式"求值；

答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事务有一个发生的概率：P(A+B)=P(A)+P(B);

特例:对立事务的概率：P(A)+P(A)=P(A+A)=1.

(3)相互独立事务同时发生的概率：P(A・B)=P(A)-P(B);

特例：独立重复试验的概率：(k)=C，B(>P):其中P为事务A在一次

试验中发生的概率，此式为二项式［(l)］n绽开的第1项.

(4)解决概率问题要留意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

'等可能事件

互斥事件

"独立事件

第一步，确定事务性质卜次独立重复试睑

即所给的问题归结为四类事务中的某一种.

［和事件

其次步，推断事务的运算I积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事务.

等可能事件：尸(同)=彳

.互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)

独立事件：P(AB)=P(A)-P(B)

第三步，运用公式In次独立重复试验记(1-”“求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

例1.在五个数字L2,3,4,5中，。

例2.若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

(结果用数值表示).

n_c；_3_3

飞；-5x4-10'

［解答过程］0.3提示：F

例2.一个总体含有100个个体，以简洁随机抽样方式从该总体中抽取一

个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为

_LP=-L=-L

［解答过程］20,提示：-100-20,

例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，

至少有3人出现发热反应的概率为.(精确到0.01)

［考查目的］本题主要考查运用组合、概率的基本学问和分类计数原理解

决问题的实力，以与推理和运算实力.

［解答提示］至少有3人出现发热反应的概率为

C；-0.8010.202+C：-0.804-0.20+C；-0.80s=0.94

故填0.94.

离散型随机变量的分布列

L随机变量与相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常

用希腊字母1、n等表示.

②随机变量可能取的值，可以按肯定次序一一列出，这样的随机变量叫做

离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变

量.

2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量4可能取的值为为，占,，巧，,自取

简称V的分

由概率的性质可知，任一离散型随机

变量的分布列都具有下述两特性质:

(1)，=1,2,…；(2)勺+鸟+…刁

②常见的离散型随机变量的分布列:

(1)二项分布

〃次独立重复试验中，事务A发生的次数4是一个随机变量，其全部可能的

取值为0,1,2,-n,并且居=PC=)=c)寸,其中为印,q=1-P,随机

(2)几何分布

在独立重复试验中，某事务第一次发生时所作的试验的次数V是一个取值

为正整数的离散型随机变量，“<=«”表示在第k次独立重复试验时事务第

一次发生.

随机变量4的概率分布为：

自123・・・k・・・

・・・

PP•••

例1.

厂家在产品出厂前，需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时，商家按

合同规定也需随机抽取肯定数量的产品做检验，以确定是否接收这批产

品.

(I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中随意取出4件进行

检验,求至少有1件是合格的概率；

(II)若厂家发给商家20件产品中，其中有3件不合格,按合同规定该商

家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒

收，求出该商家检验出不合格产品数J的分布列与期望并求出该商家

拒收这批产品的概率.

［解答过程］(I)记"厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格

品”为事务A

用对立事务A来算，有尸⑷=1-p(可=1-。2'=。9984

(IDJ可能的取值为°，L2.

喉。)喑啜,

r23

P信=2)=4=上

')C?o190

012

136513

p

190190190

3

E〕Ox受+支生+2*二=

190190190io

记”商家任取2件产品检验，都合格”为事务B,则商家拒收这批产品的

概率

P=1-P（B）=1--=—

''19095.

27

所以商家拒收这批产品的概率为女.

例12.

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一

轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的

432

概率分别为入入5,且各轮问题能否正确回答互不影响.

（I）求该选手被淘汰的概率；

（II）该选手在选拔中回答问题的个数记为力求随机变量4的分布列与

数学期望.

（注：本小题结果可用分数表示）

［解答过程］解法一：（I）记”该选手能正确回答第i轮的问题”的事务

432

为*=1,2,3）,则尸（小二，尸（&）=丁尸⑷

••・该选手被淘汰的概率

尸=尸（耳+47+&&7）=p（不）+P（A）P（W）+P（A）P（4）P（A）

」+，2+久”3

555555125.

（II）4的可能值为123,—嗝此,

——428

P（^=2）=P（AA）=^（A）^（A）=-X-=—

4312

p记=3）=P（A&）=P（A）P（4）=-x-=—

•.4的分布列为

123

812

P

52525

57

£^=1X-!-+2XA+3X—=

5252525

解法二：（I）记“该选手能正确回答第，轮的问题”的事务为4（i=123）,

432

则户⑷F,⑷F尸⑷三

_432_101

,该选手被淘汰的概率P=I-P（A&4）=I-P（A）P（4）P（4）"-WM茂.

（II）同解法一.

（3）离散型随机变量的期望与方差

随机变量的数学期望和方差

（1）离散型随机变量的数学期望：+…；期望反映随机变量

取值的平均水平.

⑵离散型随机变量的方差：小=（X,-EhP,+&-Eg）2小+…+区-+…；

方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

⑶基本性质：E（a^+b）=aE^+h.。（喈+»=/”.

（4）若4〜B（n,p）,则Eg=np；DJ（这里1）；

E乙=1q

假如随机变量4听从几何分布，P«=S则抽=p2其中1.

例1.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所

得次品数分别为£、n,£和n的分布列如下：

£012n012

613532

PioToiopioTolo

则比较两名工人的技术水平的凹凸为

思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均

值，即期望；二是要看出次品数的波动状况，即方差值的大小.

解答过程：工人甲生产出次品数£的期望和方差分别为：

E£=OXA+］X—+2XA=O,7

101010,

Og=(0-0.7)2x9+(1-o.7)2*J_+(2_0.7)2x—=0.891

101010.

工人乙生产出次品数n的期望和方差分别为：

co7S32

E,=0x—+lx—+2x—=0.7Dn=(0-0.7)2x—+(1-0.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.664

z101010,101010

由££n知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D£>Dn,可

见乙的技术比较稳定.

小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定

与波动，集中与离散的程度.

例2.

某商场经销某商品，依据以往资料统计，顾客采纳的付款期数S的分布列

为

J12345

P0.40.20.20.10.1

商场经销一件该商品，采纳1期付款，其利润为200元；分2期或3期付

款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.〃表示经销

一件该商品的利润.

(I)求事务A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采纳1期付款”

的概率P(A)；

(II)求〃的分布列与期望助.

［解答过程］(I)由A表示事务“购买该商品的3位顾客中至少有1位

采纳1期付款”.

知.表示事务“购买该商品的3位顾客中无人采纳1期付款”

2

P(A)=(l-0.4)=0.216，P(A)=1-P(A)=1-0.216=0.784•

(ID〃的可能取值为200元，250元，300元.

P(〃=200)=Pe=l)=0.4,

P(JJ=250)=P您=2)+=3)=0.2+0.2=0.4,

=300)=1一尸①=200)一=250)=1-0.4—0.4=0.2.

〃的分布列为

200250300

P0.40.40.2

Er）=200x0.4+250x0.4+300x0.2=240（元）.

抽样方法与总体分布的估计

抽样方法

1.简洁随机抽样：设一个总体的个数为N,假如通过逐个抽取的方法从中

抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽

样为简洁随机抽样.常用抽签法和随机数表法.

2.系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，

然后依据预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所须要的样本,

这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.

3.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几

部分，然后依据各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.

总体分布的估计

由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分

布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.

总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.

当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值

与相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.

当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本

的频率分布.

总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分

布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.

典型例题

例1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：

3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品

有16件.那么此样本的容量

210

解答过程：A种型号的总体是正，则样本容量原5=8°.

例2.一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2,…，99,依编号依

次平均分成10个小组，组号依次为1,2,3,…，10.现用系统抽样方法

抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为优，那

么在第％组中抽取的号码个位数字与"，+4的个位数字相同，若机=6,则在第

7组中抽取的号码是

解答过程：第K组的号码为("A。，…，(&-1H0+9,当6时，第

k组抽取的号的个位数字为的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位

数字为3,所以抽取号码为63.

正态分布与线性回来

1.正态分布的概念与主要性质

(1)正态分布的概念

I..(7尸

假如连续型随机变量4的概率密度函数为后""，xeR其

中八"为常数，并且。>0,则称J听从正态分布，记为LN（〃，b?）.

（2）期望EJ=u,方差。

（3）正态分布的性质

正态曲线具有下列性质：

①曲线在x轴上方，并且关于直线x=u对称.

②曲线在口时处于最高点，由这一点向左右两边延长时，曲线渐渐降低.

③曲线的对称轴位置由H确定；曲线的形态由b确定，b越大，曲线越“矮

胖”；反之越“高瘦”.

三。原则即为

数值分布在（口一。，口+0）中的概率为0.6526

数值分布在（口一2。，u+2。）中的概率为0.9544

数值分布在（口一3。，口+3。）中的概率为0.9974

（4）标准正态分布

当〃=0,。=1时4听从标准的正态分布，记作4~N（0,1）

（5）两个重要的公式

①。（一x）=1—。（x）,②P（a<<^<b）=0S）—。（。）.

（6）M—2）与WM）二者联系.

若a则"号小。,】）.

②若,则尸（"。<3"与与一。（于）.

2.线性回来

简洁的说，线性回来就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方

法.

变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定

的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回来分析就是

处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以供应变量之间相关

关系的阅历公式.

详细说来，对n个样本数据(与斗)，(%，%),…，(%>“)，其回来直线方

b=V------,a=y-bx,

程，或阅历公式为：2汝+%其中自西2-崎尸,其中砂分别为士、

%的平均数.

例1.假如随机变量&〜N(口，。2),且EW=3,D&=1,则P(-KaW

1=等于()

A.20(1)-1B.0(4)