高中数学必修第一册 《指数函数与对数函数》期末复习专项训练（学生版+解析版）

高中数学必修第一册《指数函数与对数函数》期末复习专项训练

一、单选题

1.（2022•江苏省如皋中学高一期末）已知函数“到满足/（3'）=1。4无，则〃9）=（）

A.-1B.1C.2D.0

2.（2022•安徽•安庆市教育教学研究室高一期末）已知。=但2,〃=lg3,则log365=（）

2a+2h八1一〃

A.--B.-----

l-a2a+b

-2—2。—\-a

C.-D.------

a+b2。+2b

3.（2022•天津南开•高一期末）已知函数/（x）=ax-3（〃>0,且。#1）,/（m）=0,若（0,1）,则实数

〃的取值范围是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+8)

4.（2022•浙江省杭州第九中学高一期末）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：。=4+（4-％）/卜,

a为时间，单位分钟，练为环境温度，4为物体初始温度，。为冷却后温度），假设一杯开水温度a=100

环境温度4=20℃,常数々=0.2,大约经过多少分钟水温降为40℃（结果保留整数，参考数据：In2。0.7）

（）

A.9B.8C.7D.5

5.（2022•湖南常德•高一期末）已知毛，演分别是方程e*+x-2=0,lnx+x-2=0的根，则%+%=（）

A.1B.2C.72D.72+1

3

6.（2022•贵州六盘水•高一期末）在Llog3］，但100四个数中，最大的是（）

21

A-

830g39-D.IglOO

7.（2022•辽宁•高一期末）已知函数/（x）=|lg（x+l）|,若/（a）=/®（a<6）,则（）

A.(«-1)(/>-])>1B.(a-l)(^-l)=l

C.(«—1)(6—1)<1D.以上选项均有可能

8.（2022•辽宁•新民市第一高级中学高一期末）若函数/（X）为定义在R上的奇函数，且在（0,+"）为增函数,

又〃2）=0,则不等式Ing）［犷，（耳］〉。的解集为（）

A.（—2,0）50,2）B.S-2）（0,2）

C.(-2,0)(2,田)D.(—«?,—2)u(2,+e)

9.（2022•浙江•杭州高级中学高一期末）已知函数〃x）=log“（8-奴）满足0>1,若在区间［，2］上恒

成立，则实数。的取值范围是（）

A.（4,+oo）B.1|,.C.D.（1《卜（4,+00）

10.（2022•浙江•杭州高级中学高一期末）设函数Ax）是定义在R上的奇函数，对任意xeR,都有

〃l-x)=/(l+x),且当xw[0,l]时，/(x)=2'-l,若函数g(x)=〃x)—log〃(x+2)(a>0且axl)在㈠,7)

上恰有4个不同的零点，则实数。的取值范围是（）

(。，/卜(9收)

A.(0,扑(7，+8)B.

(°,£)59,+OO)

C.(0,目52)D.

11.(2022•天津南开•高一期末)三个数a=0.81、/>=log,1.41,c=2""之间的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

12.（2022•湖南•长沙一中高一期末）已知函数〃"=-丁+以-；（“—（a<1）,g（x）=lnx.若

/(x)J(x)>g(x)

在（o,+8）上有三个零点，则a的取值范围为（)

g(x),/(x)<5(x)

C.(0,1)

2

13.（2022•福建福州•高一期末）已知函数/&）=小二“’；；；：；，若存在实数不，七,不，满足

0<X]<x2<x3<3J@L/（Xj）=/（x2）=/（x3）,则（3+刍加”三）的取值范围是（）

「ii]F3r

AA・匕引BD-[i'l

C.1,11D.W

2J|_82j

e-r-2x<1

14.（2022嘿龙江•大庆中学高一期末）已知函数〃x）=}1n（x_']）j>]，则函数8（*）=/[“切-2/（可+1

的零点个数是（）

A.4B.5C.6D.7

15.（2022•广东广州•高一期末）已知实数。为€（1,内），且log2a+log〃3=log*+log“2,则（）

A.a<y/b<bB.4b<a<bC.b<-ja<aD.y[a<b<a

二、多选题

16.（2022•浙江•杭州四中高一期末）已知函数〃x）=〃啬（«>0,〃*1）,则下列说法正确的是（）

A.函数图象关于N轴对称

B.函数的图像关于（0,0）中心对称

C.当时，函数在（0,+0上单调递增

D.当时，函数有最大值，且最大值为片

、1—r

17.（2022•浙江•杭十四中高一期末）关于函数/。）=m丁一，下列说法中正确的有（）

A.的定义域为（田,-1）51,位）

B.y（x）为奇函数

C.〃x）在定义域上是减函数

D.对任意芯，X,6（-1,1）,都有/（X|）+/（X2）=/a]

18.（2022•广西钦州•高一期末）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择,

其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（）

A.当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱

B.当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可

C.打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多

D.甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元

19.（2022•广东•高一期末）已知函数〃x）=，、'八，若关于*的方程〃x）=MAwR）有四个不同

|ln%—2|,x>0

的实数解，它们从小到大依次记为士,々,工3，匕，则（）

A.0<A:<lB.xt+x2=-1

C.e<x,<e2D.0<<e4

20.（2022•广东惠州•高一期末）若10。=4,*25,则（）

A.a+h=2B.b-a=l

C.">81g?2D.b-a>\g6

三、填空题

21.（2022•山西•长治市第四中学校高一期末）函数f（x）=4+log,,（x-1）（°>0且*1）的图象恒过定点

22.（2022•云南德宏•高一期末）求值：（2，-哨，=.

23.（2022•天津南开•高一期末）函数/（x）=log2（2-/）的单调减区间是.

24.（2022•浙江省杭州第二中学高一期末）函数/（x）=lnr+x-6的零点为e（〃,〃+l）,〃eZ,则〃的值为

4

25.(2022•上海长宁•高一期末)已知lg2=a,lg3=6,用a,表示k>g/5=.

26.(2022•江苏省如皋中学高一期末)设k为实数，函数/(力=2,+--%在［0,1］上有零点，则实数k的取值

范围为.

27.(2022•湖北黄石•高一期末)若*3,8"=9,则.

a

28.(2022•江西横峰中学高一期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且〃x+4)=〃x),当x«0,2)时,

/(x)=2\则〃-9)=.

29.(2022・浙江大学附属中学高一期末)已知/(x)是在定义域(0,y)上的单调函数，且对任意xe(O,+a))都

满足：/(/(x)-21og^)=4,则满足不等式/(x)-2<log2(3x)的x的取值范围是.

30.(2022•湖北咸宁•高一期末)已知函数/(x)=:八恰有2个零点，贝匹=___________.

ar+x+a,x<0

四、解答题

31.(2022•天津南开•高一期末)计算

log72

⑵log3V27+lgl25+lg8+7

32.(2022•贵州六盘水•高一期末)已知函数/(；0=讹'-2"+1(e=2.71828是自然对数的底数).

e-1

(1)讨论/*)的单调性；

(2)是否存在实数a使得/(*)的图象关于点(0,1)对称？若存在，请求出实数a,若不存在，请说明理由.

33.(2022•福建省福州高级中学高一期末)已知函数/(x)=4'+h2*+l,g(x)=4*+2,+1.

(1)若对于任意的xeR,f(x)>0恒成立，求实数k的取值范围；

(2)若〃")=零，且〃⑴的最小值为-2,求实数A的值.

g(x)

6

34.(2022•浙江省杭州学军中学高一期末)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷

洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度M单位：毫克/立方米)随着时间N单位：天)变化的关系如下：当

时，丫=兽-1；当4VxM10时，》=5-4乂若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次

8-x2

投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，

它才能起到净化空气的作用.

(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒“(14”44)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持

续有效净化，试求〃的最小值.(精确到0」，参考数据：夜取L4)

35.(2022•浙江•杭州高级中学高一期末)已知实数。大于0,定义域为R的函数&)=汇+9+1是偶函数.

a3

(1)求实数。的值并判断并证明函数/(X)在(0,+8)上的单调性；

(2)对任意的feR,不等式〃2一1»〃一2,”)恒成立，求实数机的取值范围.

高中数学必修第一册《指数函数与对数函数》期末复习专项训练

一、单选题

1.(2022•江苏省如皋中学高一期末)已知函数满足/(3,)=lo&x,则〃9)=()

A.-1B.1C.2D.0

【答案】B

【分析】令3*=9,解得x=2,再把x=2代入原式即可求解

【详解】令3*=9,解得x=2,

所以〃9)=1鸣2=1,

故选：B

2.(2022•安徽•安庆市教育教学研究室高一期末)己知a=lg2,0=lg3,则1%65=()

2a+2hl-a

AB.

1-a2a+b

2-2〃\—a

cD.

a+b2a+2b

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案.

【详解】因为。=lg2,6=lg3,所以

log,(5==―1--2_=〜

361g362(lg2+lg3)2a+2b-

故选：D.

3.(2022•天津南开•高一期末)已知函数/'(x)-ax-3(«>0,月一时1)，f(xo)=0,若(0,1),则实数

a的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+«>)

【答案】D

【分析】利用零点存在定理求解.

【详解】解：因为函数/(x)=ax-3(6/>0,且存1)单调，

所以函数在区间(0,1)上至多有一个零点，

因为/(xo)=0,且&G(0,1),

8

所以=(1-3)•(a-3)<0,

解得fl>3,

所以实数a的取值范围是(3,+8),

故选：D

4.(2022•浙江省杭州第九中学高一期末)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：6=4+(a-q)e-k,

a为时间，单位分钟，4为环境温度，仇为物体初始温度，。为冷却后温度)，假设一杯开水温度4=100。，

环境温度4=20℃,常数左=0.2,大约经过多少分钟水温降为40C(结果保留整数，参考数据：ln2”0.7)

()

A.9B.8C.7D.5

【答案】C

【分析】根据冷却模型公式可以将数据代入直接就算即可

【详解】由题意可知40=20+(l(X)-2())e<"

所以-02=In2

4

所以，=101112^7

故选：C

5.(2022•湖南常德•高一期末)已知为，演分别是方程e*+x-2=0,lnx+x-2=0的根，则为+々=()

A.1B.2C.72D.72+1

【答案】B

【分析】由题意可得4,巧分别是函数y=e，，y=lnx的图象与直线y=-x+2交点的横坐标，由于y=e，的

图象与y=lnx图象关于直线y=x对称，而直线y=-x+2也关于直线y=x对称，所以两交点的中点就是直

线y=-x+2与y=x的交点，求出交点坐标，再利用中点坐标公式可求出%+Z的值

【详解】由题意可得々是函数y=e，的图象与直线y=-x+2交点A的横坐标，巧是函数y=lnx图象与直线

y=-x+2交点B的横坐标，

因为y=e，的图象与y=lnx图象关于直线y=x对称，而直线y=-x+2也关于直线y=x对称，

所以线段的中点就是直线y=-X+2与y=X的交点,

由仁二，得匕;即线段的的中点为(口),

所以行生.=1,得占+&=2,

故选：B

6.(2022•贵州六盘水•高一期末)在/,(6)"，log31,IglOO四个数中，最大的是()

A.8|B.借)'C.log31D.IglOO

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求值比较大小即可.

log3^=-log39=-2,lgl00=2,

所以四个数中最大的是「，

故选：A.

7.(2022•辽宁•高一期末)已知函数/(x)=|lg(x+l)|,若=则()

A.(a-1)(6-1)>1B.1)=1

C.D.以上选项均有可能

【答案】C

【分析】作出函数/(x)=|g(x+l)|的图象结合=可得到。力的取值范围以及“力之间的关系

式，整理变形即可判断出答案.

【详解】作出函数〃x)=|lg(x+l)|的图象,如图：

10

由题意可知，Tg(a+l)=lg0+l),且由图象可知，出?<0,

所以即lg(a+l)+lg(。+l)=lg(a+l)(6+l)=0,

所以(a+l)(b+l)=l,即o6+a+6=0,a+b--ab)

EP^a—\)(b—\)=ab—a—b+\=\+2ab<\,

故选：C

8.(2022•辽宁•新民市第一高级中学高一期末)若函数/(x)为定义在R上的奇函数，且在(0,+8)为增函数，

又/1(2)=0,则不等式叱>[")]>0的解集为()

A.(-2,0)o(0,2)B.(^>,-2)_(0,2)

C.(—2,0，(2,+oo)D.(―co,—2)U(2,+8)

【答案】A

【分析】分析出函数/(%)在(-8,0)上的单调性，可得出/(-2)=-42)=0,分x<0、x>0两种情况解原

不等式，即可得出原不等式的解集.

【详解】因为函数，(x)为定义在R卜一的奇函数，且在(0,+。)为增函数，

则该函数在(-8,0)上也为增函数，且〃-2)=-〃2)=0,

由可得由x)<0.

当x<0时,则f(x)>0=〃_2),解得—2<x<0；

当x>0时，则〃x)<0=〃2),解得0<x<2.

综上所述，不等式In([•[")]>0的解集为(-2,0)u(O,2).

故选：A.

9.(2022•浙江•杭州高级中学高一期末)已知函数〃x)=log.(8-奴)满足0>1,若/(x)>l在区间[L2]上恒

成立，则实数。的取值范围是()

A.(4,+oo)B.件，C.D.(,)54+00)

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，依题意/(2)>1恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：因为f(x)=log〃(8-or)且又y=8-公单调递减，y=lo瓦X在定义域上单调递增，

所以〃力=108“(8-办)在定义域上单调递减，

因为/(x)>1在区间[L2]上恒成立，所以/(2)=logfl(8-2«)>1=log,,a恒成立，

所以｛,,解得l<"；,1,-；

[a>l3V2>)

故选：C

10.(2022•浙江•杭州高级中学高一期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意xeR,都有

〃l—x)=〃l+x),且当xe[0,l]时，/(x)=2T,若函数g(x)=〃x)-log.(x+2)(a>0且中1)在(-1,7)

上恰有4个不同的零点，则实数。的取值范围是()

A.3)57,+8)B.(0,力(9,+8)

C.(0,扑(7,+8)D./卜(9,+8)

【答案】c

【分析】分析可知，函数了⑺的周期为4,作出函数的图像，依题意可得数y=/(x)与y=iog,,(x+2)的

图像在(-1,7)上有4个不同的交点，然后分及0<〃<1讨论即可.

【详解】解：函数/(X)是定义在R上的奇函数，当xe[o,l]时，f(x)=2，-l,

.,.当xe[-1,0]时，—xe[0,1],所以/*)=-/(-*)=-2''+1,

即当xe[-l,0]时/(x)=-2-，+I,

又对任意xeR,都有H1-X)=>(1+x),则〃x)关于x=l对称，fi/(-x)=/(2+x)=-/(%),

.-.f(x)=f(x+4),即函数/(x)的周期为4,

又由函数g(x)=f(X)-10g“(x+2)(a>0且aW1)在(T,7)上恰有4个不同的零点，

得函数y=/(幻与y=bg“(x+2)的图像在(T7)上有4个不同的交点，又61)=〃5)=1

〃T)=〃3)=f⑺=-1,

12

当。>1时，由图可得1084(5+2)<1=108",解得a>7；

故选：C.

11.（2022•天津南开•高一期末）三个数。=0.8代=log,1.41,c=2网之间的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值;

,1,求解即可.

【详解】由题意a=0.8f>0.82=0.64>0.5，up1<a<1,

2

b=Iog21.41<log2>/2=i,即0<6<一,

22

C=20-31>2°=1.

综上：c>a>b

故选：A

12.(2022•湖南•长沙一中高一期末)已知函数(a<l),g(x)=lnx.若

"(x)J(x)Mg(x)在(O,+8)上有三个零点，则a的取值范围为()

C.(0,1)

【答案】A

【分析】分x=l，x>l，0<x<l讨论可得，可得1为旗x)的一个零点，函数〃x)在(0,1)上有两个零点,

然后利用二次函数的性质即得.

【详解】①当％=1时，因为g(l)=0,所以1为g(x)一个零点，

X/(l)=«-l-l(a-l)2,因为a<l,所以

所以Ml)=g(l)=。，

所以1为〃(力的一个零点.

②当x>l时，g(x)>0,/?(%)>g(x)>0,

所以妆X)在(1,4W)上无零点.

③当0<*<1时，g(x)<0,g(尤)在(0,1)上无零点,

所以Mx).在(0,1)上的零点个数是〃力在(0,1)上的零点个数，

11

因为〃0)=_工(所1)9一<0，/(l)=a-l--(«-l)92<0.

函数f(x)在(0,1)上有两个零点，即函数人(另在(0,1)上有两个零点,

所以1>0,0<^<1,又a<l,

即g<a<l时，/(x)在(0,1)上有两个零点；

综上，a的取值范围为加.

故选：A.

14

13.（2022•福建福州•高一期末）已知函数二”’；；；：；，若存在实数知七，不，满足

0<Xj<x2<x3<3K/(X1)=f(x2)=f(x3),则a+wM/G)的取值范围是()

11

A.-f-

42.

53

C.-,1D.-t-

282

【答案】B

【分析】分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到％+/=2,得

1-占=（3小，则所求式子即关于七的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可.

【详解】分别画出y=|x-l|与y='的图象，如图所示

所以X+%2=2,1-Xj=X2-1=(g),得寸|出）夕I

则（%+%2）%，（玉）=21<‘・出叽

令f=(；)，得fw[J

又），=2（1-"=-2/+力，对称轴为『=所以丁=-2入2,在此；三上单调递增，由于则V的取值范围为

31-

8-2-

--

已一工_2x<]

14.(2022•黑龙江•大庆中学高一期末)已知函数则函数8(“)=/[/(切一2〃刈+1

的零点个数是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【详解】令r=/(x),g(x)=0,则/⑺—2f+l=0,即〃/)=2f—1,

分别作出函数y=f(t)和直线y=2t-l的图象，如图所示，

r

由图象可得有两个交点，横坐标设为*

则4=0,1<Z2<2,

对于f=〃x),分别作出函数y=〃x)和直线y=，2的图象,如图所示,

-2-1W!2345t

-2-

由图象可得，

当〃x)=%=0时，即方程〃x)=O有两个不相等的根，

16

当L=/(*)时，函数y=l(x)和直线有三个交点,

即方程G=/(可有三个不相等的根，

综上可得g(x)=o的实根个数为5,

即函数g(x)=/[/(切一2〃x)+l的零点个数是5.

故选：B.

15.(2022•广东广州•高一期末)已知实数。力«1,内)，JLlog2a+IogA3=log,/?+log,,2,则()

A.a<>fb<bB.4b<a<bC.h<4a<aD.y[a<b<a

【答案】B

【详解】由log2a+log,,3=log2Z>+log„2，变形可知log2«-log„2<log2b_10gzi2,

利用换底公式等价变形，得log?a--<log2/7-丁二，

log,alog,/?

由函数/(x)=x-J在(0,+s)上单调递增知，log2a〈log?》，即排除C,D；

其次，因为log2b>log3b,得log?〃+Iog〃3>108?/?+log.2,g|Jlog2a-logo2>log3b-log43,

同样利用/(x)=x-J的单调性知，log2a>log.",

又因为Iog3h=log6〃>log2折，得log?a>log?〃，即a>扬，所以扬

故选：B.

二、多选题

16.(2022•浙江•杭州四中高一期末)已知函数m(a>0,awl),则下列说法正确的是()

A.函数图象关于V轴对称

B.函数的图像关于(0,0)中心对称

C.当时，函数在(0,一)上单调递增

D.当0<。<1时，函数有最大值，且最大值为不

【答案】AD

【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,山复合函数的单调性可判断C,D.

【详解】/同=’?的定义域为｛小工。｝，当户0时，则/(_加。浮故/㈤是偶函数，因此

图象关于丫轴对称，故A正确，B错误,

当1>0时・，〃河=4岸=々后，令〃=%+:,则/（〃）=〃"，

当。>1时，/（“）=优单调递增，〃=4+，在Ovxvl上单调递减，在x>l上单调递增，山复合函数的单调

X

S+]I

性可知:〃x）=aT=a-在0<工<1上单调递减，在上单调递增，故C错误，

当0<。<1时，当x>0时，

由于〃“）=a”单调递减，〃=在0<x<l上单调递减，在x>l上单调递增，故〃力=0?=在0<x<l

上单调递增，在x>l上单调递减，故当x=l时，f（x）取最大值，且最大值为"1）=片，

当工<0时;山丁/⑴是偶函数，故最大值为/（一1）=/,故D正确，

故选：AD

17.（2022•浙江•杭十四中高一期末）关于函数f*）=lnF，下列说法中正确的有（）

A.“X）的定义域为（7,-1）51,用）

B./（X）为奇函数

C./（X）在定义域上是减函数

D.对任意为，x,e（-l,l）,都有+]

\1+XlX2）

【答案】BCD

【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断

t详解】对于A,由£>0得故〃x）的定义域为（TD,故A错误，

1_1_V

对于B,/（X）的定义域为（TD,f（-x）=\n--=-/«,则/（X）为奇函数,故B正确，

对于C,烹=-1+£，由复合函数的单调性知f（x）在（-1,1）上是减函数，故C正确，

对于D,任意玉，^€（-1,1）,芒已《（一I/），

]M+丁2

〃6"々）=端怨：当,产?|=ln（：：'：）=一[尸产）,故D正确，

（1+石）（1+工2）11+%元2）|।Xl+X2（1+无]）（1+工2）

1+石元2

故选：BCD

18

18.（2022•广西钦州•高一期末）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择,

其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（）

A.当打车里程为8km时・，乘客选择甲方案更省钱

B.当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可

C.打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多

D.甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元

【答案】ABC

【分析】根据图象一一判断即可.

【详解.】解：时于A,当3cx<10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘

客选择甲方案更省钱，故A正确；

对于B,当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；

对于C,打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为常-=1（元），乙方案每千米增加的费用为—=9

（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；

对于D,由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），

故D错误.

故选:ABC.

、x2+2x+l,x<0/、/、

19.（2022•广东•高一期末）已知函数/z（Xx）=%门-2|x>0，若关于的方程"可=左小eR）有四个不同

的实数解，它们从小到大依次记为西，々，七，王，则（）

A.0<A:<lB.xt+x2=-l

24

C.e<x3<eD,0<xlx,x,x4<e

【答案】CD

【详解】关于x的方程f（x）=MA：€R）有四个不同的实数解，等价于外力与>=上有四个不同交点，

在平面直角坐标系中，作出了（X）与y=G如下图所示，

\侬

…\___________-----------

由图形可知：OvZvl,A错误；

关于工二一1对称，，王+工2=-2,B错误；

2

当0cxV，时，令〃x）=l,解得：x=e,.*.e<x3<e,C正确；

2

|ln七一2]二|111%—2],x3<e<x4,/.2-Inx3=Inx4-2,

4

/.Inx3+Inx4=Inx3x4=4,x3x4=e,

X|

x,<x2<0,x,x2=（-x,）•（-x2）<f"=乂"：/）=1,又MW〉。，

I2JI2）

0<冗/213元4<5,D正确.

故选：CD.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将方程根的个数

问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性来依次进行求解.

20

20.（2022•广东惠州•高一期末）若10"=4,10〃=25,则（）

A.a+b=2B.b-a=l

C.">81g?2D.b-a>\g6

【答案】ACD

【详解】由题设，10"+〃=100，即a+%=2,A正确；

252524

即b-〃=lg—>lgT=lg6,B错误，D正确；

444

由a=21g2,b=21g5,则必=41g21g5>41g21g4=8欧2,C正确;

故选：ACD

三、填空题

21.（2022•山西•长治市第四中学校高一期末）函数〃x）=4+log“（x-l）（a>0且"1）的图象恒过定点

【答案】（2,4）

【详解】解：因为函数/■（x）=4+log“（x-l）（a>0且a#l）,

令x-l=l,解得x=2,所以f（2）=4+log“l=4,即函数恒过点（2,4）；

故答案为:（2,4）

22.（2022•云南德宏•高一期末）求值：（2^-）2-log,^-=.

9

【答案】

2

【详解】（2暴-陶'=[（|）]^-log33Y+3=|,

故答案为：|9

23.（2022•天津南开•高一期末）函数f（x）=log2（2-x2）的单调减区间是.

【答案】（0，x/2）

【详解】解：令£=2-/>0,

解得-应<x<五,

又f在（0,月上递减,>=log2f在上（0,正）递增，

所以函数f（x）=log2（2-1）的单调减区间是（0,夜），

24.（2022•浙江省杭州第二中学高一期末）函数"x）=lnx+x-6的零点+,贝M的值为

【答案】4

【详解】函数y=lnx,（x>0）,y=x-6都是单调递增函数,

故/（x）=hu+x-6,x>0是单调递增函数，

X/（4）=ln4-2<lne2-2=0,/（5）=ln5-l>0,

故〃x）=lnx+x-6,x>0的零点在x°w（4,5）,

故〃=4,

故答案为：4

25.（2022•上海长宁•高一期末）已知lg2=a,lg3="用。，匕表示log/5=

b-a+T

【答案】

2b+a

【详解】由题意,些=星吧=鲂±迫=3

18lgl8Ig2+21g3Ig2+21g32b+a

b-a+l

故答案为:

2b+a

26.（2022•江苏省如皋中学高一期末）设女为实数，函数"x）=2，+/-k在［0,1］上有零点，则实数k的取值

范围为_________

【答案】［L3］

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】因为/（同=2，+f-%在［0』单调递增，且有零点,

/（0）=l-A:<0

所以《解得1443,

/（l）=2+l-A:>0

故答案为：［1,3］

27.（2022•湖北黄石•高一期末）若*3,8〃=9,贝/=

a

【答案】I2

【分析】先山八3,8%=9求出。力，即可求出结果.

【详解】因为8〃=9，

22

2

2

所以8=logK9=log233=-log23,

又Z=3,

所以4=10g23,

所以"迪

alog233

故答案为：g

28.(2022•江西横峰中学高一期末)已知是定义在R上的奇函数，且〃x+4)=〃x),当xe(0,2)时，

/(%)=2\则/(-9)=.

【答案】-2

【详解】解:因为〃x+4)=〃x),

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，

又因f(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(一9)=一〃9)=一〃1)=-2.

故答案为：—2-

29.(2022淅江大学附属中学高一期末)已知〃x)是在定义域(0,+。)上的单调函数，且对任意x«0,M)都

满足：/(/(x)-21og2x)=4,则满足不等式/(x)-2<log2(3x)的x的取值范围是.

【答案】(0,3)

【分析】由换元法求出f(x)的解析式，再解原不等式

【详解】由题意得“x)-21og2x为正常数，令/(x)—21og2X=r,f>0,pil]/(x)=2log2x+r,

K/(0=21og2r+r=4,解得f=2,

fx>0

原不等式为21og/Vlog)(3x),可得｛,,解得0<x<3,

\x-<3x

故答案为：(0,3)

30.（2022•湖北咸宁•高一期末）已知函数〃力=八恰有2个零点，贝心=__________.

ax~+x+a,x<0

【答案】y##0.5

【详解】当xNO时，令〃x）=e'-1=0,解得x=0,故在［0,+8）上恰有1个零点，即方程泼+*+“=0

有1个负根.

当.=0时，解得了=0,显然不满足题意；当先0时，因为方程加+x+a=0有1个负根，所以A=1-4/NO.

当△=1一4/=0，即a=±《时，其中当a=：时，!x2+x+《=o,解得户一1,符合题意；当。:-1时-，

22222

-ix2+x-l=0,解得x=l,不符合题意；

22

当△=1一4“2>0时，设方程办2+》+4=0有2个根X”々，因为为々=1>0,所以X1,々同号，

即方程以2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意.综上，a=^.

故答案为：0.5.

四、解答题

31.（2022•天津南开•高一期末）计算

2

(2)log3>/27+lgl25+lg8+7喻

【答案】⑴\⑵6.5

1O

（2）

2

log3^+lgl25+lg8+7^=iog33^+lg（125x8）+2=1+>gl000+2=1+3+2=6.5

32.（2022•贵州六盘水•高一期末）已知函数/CO—'""十】（e=2.71828是自然对数的底数）.

e-1

（1）讨论/（*）的单调性；

（2）是否存在实数。使得/"）的图象关于点（0,1）对称？若存在，请求出实数”，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）答案详见解析

（2）存在，且。=1.

24

【详解】(1)e，-lwO,x#O,所以〃x)的定义域为｛x|xw。｝,

-2a+1q(e*—l)—a+l\—ci

f(x)=—----------------=a+-------

e'-le'-lel

根据复合函数单调性同增异减可知:

当。=1时，〃x)=l(x*O),没有单调性.

当4<1,1一4>0时，“