第1章 集合与常用逻辑用语（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第1章集合与常用逻辑用语（基础、典型、新文化、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022•云南昆明•高一期末）已知集合用={-1,1,2,3},N={-1,1},下列结论成立的是（）

A.MQNB.N={-1}

C.=MD.&N={1,2,3}

【答案】C

【分析】利用集合的交、并、补运算进行判断.

【详解】因为M={—1,1,2,3},N={-1,1},所以N=故A错；

MN={-1,1},故B错；gN={2,3},故D错.

故选：C.

2.（2022.浙江省义乌中学高一期末）已知集合人={川犬=3〃+1,”wN},集合3={3,4,5,6,7,8,10},则A8

中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据交集的定义求出AB,即可得出答案.

【详解】解：因为集合4={川了=3“+1,”wN},集合3={3,4,5,6,7,8,10},

所以Ac3={4,7,10},

所以AB中元素的个数为3个.

故选：C.

3.（2022•云南昆明•高一期末）若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,4},8={1,3,5},则A。8）=（）

A.{1,2,3,4,5}B.{3,5}C.{2,4}D.{2,3,4,5,6}

【答案】C

【分析】根据集合的交补集运算求解即可

【详解】由题意,。6={2,4,6},故A他3)={2,4}

故选：C

4.(2022.河南新乡.高一期末)设全集。={—2,—1,1,2},集合A={-1,2},8=-3x+2=o},则电(AB)=

()

A.{1}B.{-2}C.{-2,1}D.0

【答案】B

【分析】先求集合B,然后利用并集和补集定义进行运算即可.

【详解】B={X|X2-3%+2=0}={1,2},集合A={-1,2},所以AU3={-1,1,2},

全集。={-2,—1,1,2},B)={—2}.

故选：B

5.(2022.湖南.高一期末)设集合M={x|x=2","eZ},N=1X|X=2/?4-1,HGZ1,P={x|x=4〃,〃eZ},则

()

A.MUPB.PUMC.NCPK0D.MN亍0

【答案】B

【分析】利用交集的定义和相等集合的定义即可直接得出结果.

【详解】因为M={x|x=2〃，〃eZ},

N={x|x=2〃+1,〃eZ},

P=^x=4n,«eZ|,

所以MHP,P(jM,NP=0,MN=0.

故选：B

6.(2022•江苏南通•高一期末)设集合A={x|-5W烂2},B={x|lx+3]<3},则AUB=()

A.f-5,0)B.(-6,2]C.(-6,0)D.[-5,2)

【答案】B

【分析】解出集合B,由集合的并集运算求解即可.

【详解】解：由1尤+3|<3可得一3<X+3<3,解得一6<X<0,

所以B={x|-6<x<0},

所以AUB={A|-5<x<2}u{x|-6<x<0}={x|-6<x<2},

故选：B.

7.(2022.海南.嘉积中学高一期末)已知集合4=3|》<-2或x>3},{-3,-2,-1,0,1,2,3},则(QA)B=

()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2,3}

C.{-2-1,0,1}D.{-3,-2,-1,0,1,2}

【答案】B

【分析】先求QA,再由交集的运算的定义求他A)B.

【详解】因为A={x|x<-2或x>3},

所以4A={x|-24x43},又3={-3,—2,-1,0,1,2,3},

所以(QA)B={-2,-1,0,1,2,3),

故选：B.

8.(2022.四川达州.高一期末(理))已知集合A={x[-2<x<5},B={x|-3<x<3},则AB=()

A.{-3,-2-1,0,12,3,4}B.{-1,0,1,2,3}

C.[-3,5)D.(-2,3]

【答案】D

【分析】利用交集的定义直接求解即可

【详解】因为A={x[—2<x<5},B={x\-3<x<3],

所以A8=(-2,3],

故选：D

9.(2021.江西•丰城九中高一阶段练习)荀子曰：“故不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海这

句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积蹉步”

是“至千里”的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据描述知：要达成目标必须一点一点积累，结合必要条件的定义判断关系.

【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累,

所以“积度步''是“至千里”的必要条件.

故选：B

10.（2022♦江苏・高一）设命题>4,则一尸为（）

A.VneN,n2>4B.Bn£N,n2<4

C.X/neN,n2<4D.3ne/V,w2=4

【答案】C

【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，需要注意格式的写法和对•其结论的否定.

【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，即的

否定格式为：VxeMJp（x）,所以B,D的量词格式错误，

而A选项未对结论进行否定，其正确的写法为<4,

故选：C.

11.（2022.黑龙江.大庆外国语学校高一阶段练习）命题“引eR,x?-2x+2,0”的否定是（）

A.R,x2-2x+2..OB.3xeR,x2-2x+2>0

C.VxeR,x2-2x+2>0D.VxeR,x2-2%+2,,0

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】解：命题"hwR,x?-2x+2,0”为存在量词命题，其否定为：VxeR,x2-2x+2>0;

故选：C

二、多选题

12.（2022•江苏•高一）若{1,2}q8{1,2,3,4},则B=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

【答案】ABC

【分析】根据题意可知集合8最少包含I，2两个元素，最多包含1,2,3或1,2,4三个元素.

【详解】V{1,2}cB{1,2,3,4},

2}或8={1,2,3}或8={1,2,4).

故选：ABC.

13.（2022•全国•高一）下列关系式错误的是（）

A.0e{O}B.{2}c{l,2}C.D.OeZ

【答案】AC

【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.

【详解】A选项由于符号e用于元素与集合间，0是任何集合的子集，所以应为0g{O},A错误：

B选项根据子集的定义可知正确；

C选项由于符号=用于集合与集合间，C错误；

D选项Z是整数集，所以OeZ正确.

故选：AC.

三、解答题

14.（2021•广东•梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设人={-1,2,4-1,42},8={9,4-5,1-。},已知

Ac3={9},求a的值，并写出集合A、B.

【答案】a=10；A={<2,9,100},3={9,5,-9}.

【分析】根据AcB={9}可知964,据此求出。的值即可得答案.

【详解】：AcB={9},.•.9dA,，。一1=9或°2=9,

。=10或。=±3,

当a=3时，a-1=2,不满足集合元素的互异性，

当。=一3时，a-1-4,不满足集合元素的互异性，

当a=l（）时，a-5=5,l-a=-9,满足条件，

故斫10,此时A={T,2,9,100},B=,9,5,-91.

15.（2022•全国•高一专题练习）求集合A={xlx?一*_2=0}的子集和真子集.

【答案】子集是0，{T}，{2},{-1,2},真子集是0,{-1},{2}

【分析】根据二次方程的解法可得A={-1,2},根据子集和真子集的定义求解即可

【详解】集合A={小2-X-2=0}={-1,2},

集合A={-1,2}的子集是0,{T},{2},{-1,2},共4个;

集合A={-1,2}的真子集是0,{-1b{2},共3个.

16.(2022・全国•高一专题练习)设集合4={菱形},3={矩形},判断正方形与A3的关系.

【答案】正方形eAuB

【分析】求出AB,然后根据元素与集合的关系判断.

【详解】A8={菱形或矩形},正方形是四个内角为直角的菱形，也是四边相等的矩形，

所以正方形={菱形或矩形}

17.(2021・湖北•车城高中高一阶段练习)设集合U={x|x44},A={x|-1<x<2},8={x|lW}.求：

⑴AB；

⑵&A)&

⑶(楸)c(VB\

【答案】⑴{x|lW2}；

⑵{x|x4-l或14x44}；

⑶{x|x4-l或3<x44}.

【分析】(1)(2)(3)根据集合交并补计算方法计算即可.

(1)Ac3={x|14x42}；

(2)."=如4-1或2vx44},

(2A)uB=3x4-1或}；

(3),4A={x|x4—l或2vx44},距8={x^V1或3<.曰},

物i)l(㈤={x|x4-l或3<x44).

18.(2021•广东•阳春市第二中学高一阶段练习)(1)己知。=R,且4=闺口<%<4},3={x|xVl或x*3},

求AB-

(2)^>4={xeZ|-6<x<6},3={1,2,3},C={3,4,5,6},求A(Q,(3C)).

【答案】(DAc8={x|-4<xSl或34x<4}；(2)A弧伊C))={-6,-5,-4,-3-2-1,0}.

【分析】（I）利用集合的交运算即可求解AB：

（2）根据已知集合的描述，应用集合的交并补混合运算求A（6.（3C））.

【详解】（1）Ac3={x|-4<x<4}c{x|xVl或xN3}={x|-4<xWl或3Vx<4}.

（2）由题意,A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},且3={1,2,3},C={3,4,5,6},

所以3uC={l,2,3,4,5,6},则a（8C）={-6,-5,-4-3,-2-1,0}.

所以A（dA（BC））={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.

【典型】

一、单选题

1.（2022•山东潍坊•高一期末）命题“任意xeR,都有的否定为（）

A.存在x°eR,使得*40

B.不存在xeR,使得"40

C.存在x°eR,使得源>0

D.对任意xeR,都有e*40

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论，即得答案.

【详解】命题“任意xeR,都有">0”的否定为“存在%£R,使得140”，

故选：A

2.（2022・湖南•高一课时练习）下列语句不是全称量词命题的是（）

A.任何一个实数乘以零都等于零

B.自然数都是正整数

C.高二（一）班绝大多数同学是团员

D.每一个学生都充满阳光

【答案】C

【分析】根据全称量词的定义进行判定.

【详解】A中的量词为“任意一个”，是全称量词；B中的量词为“都是”，是全称量词：D中的量词为“每一

个“，是全称量词；

C中的量词为“绝大多数”，是存在量词命题，不是全称量词.

故选：c.

3.（2022•广东深圳•高一期末）已知集合4={-2,1},B={x|«x=2},若A8=8,则实数。值的集合为（）

A.{-1}B.{2}C.{-1,2}D.{-1,0,2）

【答案】D

【分析】AB=B.可以得到B=求出集合4的子集，这样就可以求出实数。值集合.

【详解】4门8=5=3=4,/1={-2,1}的子集有0,{—2},{1},{-2,1},

当8时，显然有。=0；当8={-2}时，-〃=2=。=一1；

当8={1}时，〃.l=2=a=2；

当8={-2,1},不存在。符合题意，

实数〃值集合为{-1,0,2},

故选:D.

【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集,

本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.

4.（2022•北京・清华附中高一阶段练习）已知集合&={刈》-340},5={0,2,4},则AB=（）

A.{0,2}B.{0,2,4）C.{x|x<3}D.{x|0<x<3}

【答案】A

【解析】利用交集的定义运算求解即可.

【详解】集合A={x|x—3<0}={X|X<3},B={0,2,4},则AB={0,2}

故选：A

5.（2022・全国•高一期末）己知全集。=R，集合A={x|0<x<8,xeR}和8={x|-3<x<5,xcZ}关系的韦恩

图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有

A.3个B.4个C.5个D.无数个

【答案】A

【分析】由图可知，阴影部分表示集合「（AI5）,根据题意，求出集合B,利用集合的交运算求出集合AB,

再利用补集的定义求出集合C©（AI8）即可判断.

【详解】由题意知，集合8={-2,—1,0,1,2,3,4},

因为集合A={x[0<x<8,xwR},

由集合的交运算可得，ACB={1，2,3,4},

故阴影部分所表示集合为a（Ac3）={-2,-l,0},

其中的元素共有三个.

故选：A

【点睛】本题考查韦恩图和集合的交补运算；考查识图能力和运算求解能力；属于基础题.

6.（2022・广西南宁.高一期末）已知集合A={6,8,9},贝ij（）

A.6GAB.7eAC.8把AD.9任A

【答案】A

【分析】根据元素与集合的关系，求解即可.

【详解】集合A={6,8,9}

6GA,7任A,8eA,9eA

故选：A

【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于容易题.

b1L1

7.（2022•全国•高一专题练习）已知集合〃=3%=5+工,&€2}4=3》=^+5，氏€M）,若々€加，则与与

N的关系是（）

A.或B.x<>eNC.x<>走ND.不能确定

【答案】A

【分析】用列举法表示集合M,N,最后可以选出正确答案.

【详解】M={x|x=：+]keZ}=[I

24[44444J

N={x|x=[+；,k€N"}=1?』,q，m，1,当与但X。任N,

3

当天=全£M，有七eN.

故选：A

【点睛】本题考查了列举法表示集合，考查了元素与集合的关系，属于基础题.

8.(2022・山东济宁•高一期末)x>2是x2-2x>0的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式/-2x>0得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性.

【详解】由解得：x<0或x>2,卜H>2}：卜,〈0或q2},

因此，%>2是*2一2*>0的充分不必要条件，故选A.

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：

(1)AUB,贝广xeA”是“xeB”的充分不必要条件；

(2)AYB,则“xeA”是“xeB”的必要不充分条件;

(3)A=8，则“xeA”是“xeB”的充要条件.

二、填空题

9.(2022.全国•高一专题练习)已知集合4=卜|炉—7x78=0},8={水'-1=0}.若AuB=A,则实数

的值组成的集合为.

【答案】{。，-割)

【分析】计算集合4={-2,9},根据AuB=A得到BqA,代值计算即可.

【详解】A={^X2-7X-18=0}={-2,9}

由AuB=A,知BqA,则8=0,{-2},{9}

当5=0时，所以a=0

当5={—2}时，，所以_2a—l=0=a=_；

当8={9}时，所以9a-l=0=>“=1

9

所以〃

故答案为：

10.（2022•甘肃.甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）。=1”是“/-3犬+2=0”的条件.

【答案】充分不必要

【分析】解方程f_3x+2=0,即可判断出。=1”是“9-3犬+2=0”的充分不必要条件关系.

【详解】解方程d-3x+2=0,得x=l或x=2,

因此，“x=l”是“Y—3x+2=0”的充分不必要条件.

故答案为充分不必要.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力，属于基础

题.

三、解答题

11.（2022•青海海东♦高一期末）已知集合人={削a<x<2。},3={x|x4Y或x23}.

⑴当a=2时，求

（2）若4求。的取值范围.

【答案】（1）{引一4<》<4}；Q）[—]

【分析】（1）由补集和并集的定义可运算求得结果；

（2）分别在A=0和A*0两种情况卜，根据交集为空集可构造不等式求得结果.

（1）由题意得A={H2cx<4},8={x|x4-4或xN3},

.,.46={才-4vxv3},故AD&6）={X-4<X<4}.

⑵当。40时。，A=0,符合题意，

3

当a>0时，山2aW3,得0〈。工一，

2

故”的取值范围为.

12.（2022•全国•高一专题练习）已知集合4="|%2—依+“2—19=0},B={x|x2-5x+6=0},是否存在a使

A,B同时满足下列三个条件：

（1）AKB；

（2）AUB=8；

⑶OUAHB.

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

【答案】不存在实数。使得A,B满足条件，理由见解析.

【分析】先求得集合8={2,3},再根据(1)(2)(3)得到AOB,AH0,4={2}或{3}.分类讨论，注意

检验，即可得到结论.

【详解】假设存在。使得A,8满足条件，

由题意得8={2,3}.

"：AUB=B,及

由条件(1)A声B,可知4GB.

XV0UAnB,：.A^0,即4={2}或{3}.

当4={2}时，代入得/—2a—15=0,即a=-3或a=5.

经检验：”=—3时，A=[2,-5),与人={2}矛盾，舍去；

a=5时，A={2,3},与4={2}矛盾，舍去.

当4={3}时，代入得/—3a—10=0,即a=5或.=—2.

经检验：a=—2时，A={3,—5},与4={3}矛盾，舍去；

。=50■寸，A={2,3},与4={3}矛盾，舍去.

综上所述，不存在实数。使得48满足条件.

13.(2022♦陕西安康•高一期末)已知集合4={x[l<x<3},集合3={x|2〃?<x<1-机}.

(1)当机=-1时，求AB-

(2)若4=8,求实数小的取值范围.

【答案】⑴{x|-2<x<3}:(2){m\m<-2}.

【解析】(1)先分别求出A,8,然后根据集合的并集的概念求解出A8的结果；

(2)根据Au5得到8X0,由此列出不等式组求解出，〃的取值范围.

【详解】⑴当机=-1时，B={x\-2<x<2],

Aufi-|x|-2<x<3}；

(2)VAcB,：.B^0,则有：

2m<\—m

-2/n<1,解之得：m<-2.

1-7?7>3

.••实数用的取值范围是

【点睛】本题考查集合的并集运算以及根据集合的包含关系求解参数范围，难度一般.根据集合间的包含关

系求解参数范围时，要注意分析集合为空集的可能.

14.（2022.新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一开学考试）设集合A={x|OMx+aG},B={x|a-1<x<0},

其中awR,求AB.

【答案】。<0或时，A03=0；

°=0或°=1时，AB={0}

0<a<g时，AB={x|-a<x<0}

时，AB={x|a-1<x<0}

【分析】B=0时，A8=0；时，分五种情况a—l=0；-a>0：-a=0：a-1<-a<0--a<a-\

进行讨论，画数轴求解，即可.

【详解】当a-l>0即。>1时，8=0时，A5=0；

当a-l=0即a=l时，A={x|-l<x<0},8={0},则A8={0}

当。-1<0即a<l时，l-a>0

若一a>0即a<0时，如卜,图所示，AB=0.

o-10yl-a

若一a=0即a=0时，如下图所示，A={x|0<x<l},^={x|-l<x<0},则AB={0}

若。一1〈一。<0即0<a<g时，如下图所示，AB={x|-«<x<0}.

若一一1即时，如下图所示，ApB={x|a-l<x<0}.

综上所述：

。<0或。>1时，A\B=0；

。=0或。=1时，AB={0}

0<a<：时，AB={x|-a<x<0}

14a<1时，，AB={x|tz-l<x<0}

2

【点睛】本题通过求交集运算，考查分类讨论思想，注意分类的标准.属于难度较大的一道题.

【新文化】

一、单选题

1.（2022•河北石家庄•高一期末）祖晒原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“暴势

既同，则积不容异”."幕"是截面积，’‘势''是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积

相等，体积相等.设A,8为两个等高的几何体，p：A、8的体积相等，q：A、8在同一高处的截面积相等.根

据祖胞原理可知，p是〃的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据P与。的推出关系判断

【详解】已知48为两个等高的几何体，由祖胞原理知9=>〃，而。不能推出4，可举反例，两个相同的

圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则P是4的

必要不充分条件

故选：C

2.（2022•湖南•长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”,

其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断,

最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】山题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件

的定义即可判断

【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但

是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；

即如果已知"还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件

故选：B

3.（2022•内蒙古赤峰•高一期末）某国近日开展了大规模COV7CM9核酸检测，并将数据整理如图所示，其

中集合S表示（）

感染者未发病者

A.无症状感染者B.发病者C.未感染者D.轻症感染者

【答案】A

【分析】由5=413即可判断S的含义.

【详解】解：由图可知，集合S是集合4与集合8的交集，

所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，

故选：A.

二、多选题

4.（2022.黑龙江绥化.高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪•直到1872年，德国数学家

戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严

格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危

机•所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MuN=Q,McN=0,

"中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割

下列选项中，可能成立的是（）

A.M没有最大元素，N有一个最小元素

B.历没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】ABD

【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果.

【详解】令知=口1》<10,》€。},N={x|xN10,xeQ},显然集合河中没有最大元素，集合N中有一个最

小元素，即选项A可能；

☆M={x|x<&,xeQ},N={x\x>y/2,xeQ),显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素,

即选项B可能；

假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；

令"={x|x410,xe。},N={x|x>10,xeQ},显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，

即选项D可能.

故选：ABD.

【压轴】

一、单选题

1.(2021•河南・南阳中学高一阶段练习)在整数集Z中，被4除所得余数上的所有整数组成一个“类"，记为上],

即闪={4〃+4〃eZ},*=0,1,2,3.给出如下四个结论:①2015叩]；(2)-2e[2]；(§)Z=[0]31]32]33上

④“整数〃，人属于同一‘类的充要条件是〃40]”.其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确

的选项.

【详解】因为2015=503x4+3,故2015W3],故①错误，

而-2=4+2,故-2e[2],故②正确.

若整数a,b属于同一“类”,设此类为卜](厂£{0,1,2,3}),

贝lja=4，〃+r,匕=4〃+r,故a-b=4(，”一〃)即a—匕G[0],

若a-匕w[0],故Q-力为4的倍数，故a,b除以4的余数相同，故。，b属于同一“类”，

故整数。，6属于同一“类”的充要条件为a-be[0],故④正确.

由“类”的定义可得网31]32]33]aZ,

任意ceZ,设c除以4的余数为r(re{0,l,2,3}),则c«r|,

故CWO[31]52]33]，所以Zu网口田口闭口⑶，

故[0]31]32[33]=Z，故③正确.

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个

集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.

2.（2021•全国•高一专题练习）对于非空数集M,定义/（M）表示该集合中所有元素的和.给定集合

5={2,3,4,5},定义集合7={/（A）|AaS,A=0},则集合T的元素的个数为（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】分别考虑集合A为单元素集、双元素集、三元素集、四元素集，然后分别计算出『（A）的取值，由

此确定出集合T中的元素的个数.

【详解】当集合A为单元素集时，可取{2},{3},{4},{5},此时/（A）可取2,3,4,5；

当集合A为双元素集时,可取{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},此时“A）可取5,6,7,8,9；

当集合A为三元素集时,可取{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},此时/（A）可取9,10,11,12,

当集合A为四元素集时，可取{2,3,45},此时/（A）可取14,

综上可知/（A）可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,共12个值，所以7的元素个数为12,

故选：B.

【点睛】本题考查集合中的新定义问题，对学生的理解与分析问题的能力要求较高，难度较难.解答新定义

的集合问题，首先要明确集合中表示元素的含义，其次才是解答问题.

二、多选题

3.（202卜江西•进贤县第一中学高一阶段练习）对任意ABuR,定义A㊉8={小eAuB,x£AcB}.例如,

若人={1,2,3},8={2,3,4},则A㊉8={1,4},下列命题中为真命题的是（）

A.若ABqR且A㊉3=3,则A=0B.若且A㊉3=0,则A=B

C.若ABaR且A㊉BqA,则AgBD.若则（痴）㊉8=R（A㊉8）

【答案】ABD

【分析】根据定义A㊉B={x|x€Au3,xmAc3},得到人㊉台二[(疵4)cfi][Ac(宓)],对四个选项一一

验证.

【详解】根据定义人㊉台;[(那4)c可[Ac(/)].

对于A：若A㊉8=8,则

&A)B=B,Ac(a8)=0.(蝌)C3=3=8u(/).Ac0/)=0nAu3,.\A=0,故A正确；

对于B：若A㊉8=0,贝I](54)8=0,Ac(&3)=0,Ac8=AnAuB.Ac8=8=A,，A=8,故B

正确；

对于C：若A㊉B=则A㊉BuA.Ac脩8)1A.则8aA.故C错；

对于D：左边(雅4)㊉8=(A8)(­?/)，右边

旗A㊉8)=[[(糜4)c8][Ac(/)]}=(48)U(懈/)所以左=右.故D正确.

故选：ABD.

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：

(1)仔细阅读，理解新定义的内涵：

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

三、填空题

4.(2021.全国.高一单元测试)设A是非空数集，若对任意苍”A,都有x+yeA,孙eA,则称A具有性质

P.给出以下命题：

①若A具有性质P,则A可以是有限集；

②若A，&具有性质P,且AC&H0,则Ac4具有性质P；

③若A，4具有性质P,则A具有性质尸；

④若A具有性质P,且AWR,则不具有性质只

其中所有真命题的序号是.

【答案】①②④

【分析】举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0

是关键.

【详解】对于①，取集合A={0,1}具有性质尸，故A可以是有限集，故①正确；

对于②，取x,yeAc4,则xeA，又A，&具有性质P,+A，町eA,

x+ye&,盯.•.x+yeAc4,AyeAc&,所以Ac4具有性质P,故②正确：

对于③，取A={x|x=2Z,左eZ},A,={x\x=3k,k&Z},2eAt,3e4,但2+3任A,故③错误；

对于④，若A具有性质P,且A/R，假设\A也具有性质P,

设OeA,在aA中任取一个x,xxO,此时可证得-xeA,否则若-xe^A,由于也具有性质P,则

x+(-x)=0e^A,与OeA矛盾，故-xeA,

由于A具有性质P,\A也具有性质P,

所以(-x)2eA,x2e^A,

而(-x)2=f,这与AcaA=0矛盾，

故当0eA且A具有性质PB寸，则。A不具有性质P,

同理当0《备4时，也可以类似推出矛盾，故④正确.

故答案为：①②④

【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特

殊一般思想，属于难题.

四、解答题

5.(2022•北京朝阳•高一期末)若集合A=A5U…纥，其中用%约为非空集合,

B；Bj=0(l<i<j<n),则称集合{线也，…，纥}为集合A的一个〃划分.

⑴写出集合4={1,2,3}的所有不同的2划分；

(2)设{片,与}为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意xe与，任意、€层，都有x<y.则下列四种情况

哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；

①片中的元素存在最大值，当中的元素不存在最小值；

②4中的元素不存在最大值，生中的元素存在最小值；

③4中的元素不存在最大值，殳中的元素不存在最小值；

④用中的元素存在最大值，层中的元素存在最小值.

(3)设集合A={1,2,3,…,16},对于集合A的任意一个3划分{4,马四}，证明:存在唯{1,2,3},存在a,be月,

使得

【答案】⑴{{1,2},⑶},{{1,3},{2}},{{2,3},{1}}

(2)①可能成立，例子见解析；②可能成立，例子见解析；③可能成立，例子见解析；④不可能成立，证明

过程见解析；

(3)证明过程见解析.

【分析】(D根据题意写出含有3个元素的2划分即可：

(2)①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证明；

(3)用反证法进行证明，

⑴集合A={1,2,3}的所有不同的2划分为{{1,2},{3}},{{1,3},{2}},{{2,3},{1}}

(2)①可能成立，举例如下：S,={xee|x<l},4={xe0x>l}；

②可能成立，举例如下：B,={xee|x<l},B,={xe<2|x>l);

③可能成立，举例如下：B^{xeQ\x<y/2],4={xeQ|x>0}；

④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设用中元素的最大值为S,4中元素的最小值为，，由题可知:

s<t,所以s<上也<f,

2

因为s为用中元素的最大值，所以辞任隹，

因为r为为中元素的最小值，所以手^与，

因为所以中KQ,

这与学eQ矛盾，

所以假设不成立，即④不可能成立；

(3)由于集合4中有16个元素，所以4,B”名中至少有一个集合至少包含6个元素，

不妨设瓦中至少包含6个元素，

设4也也也也也€A，且4V4<b3<b4<b5<b6，

假设对任意iw{1,2,3},对任意。力e耳,都有b—a任与,

那么d-4也一仇,d-d也一%也一么«用,

又因为4也-4也-4也-包也eA,

所以d-么也一为也一4也一仇也一ae&u&,

则B2,J中必有一个集合至少包含包-仿也一4也-4也-々也-4中的3个元素，

不妨设这3个元素为4,%，/©<a2<a3,

山假设可知：/-4，。3-。2，%-4|任修，

对任意i,j(\<j<i<3),存在m,n(l<m<n<5),

都有4-%=d-超-4+N=々-粼任鸟,

又因为4-4,43-a2，%-4€尾!，而生-4-(a,-4”%-4，与假设矛盾，

所以假设不成立，

所以存在於{1,2,3},存在eB,,使得6-aeB,

【点睛】对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法

是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论.

6.(2022•北京朝阳•高一期末)已知非空数集A={4,%,,%}(〃wN),设S(A)为集合A中所有元素之和，

集合P(A)是由集合A的所有子集组成的集合.

(1)若集合A={0,l},写出s(A)和集合尸(A)；

(2)若集合A中的元素都是正整数，且对任意的正整数4=1、2、3、L、5(A),都存在集合BwP(A),使

得s(8)=3则称集合A具有性质

①若集合A={1,2,4,8},判断集合A是否具有性质"，并说明理由；

②若集合A具有性质M,且s(A)=100,求〃的最小值及此时A中元素的最大值的所有可能取值.

【答案】⑴S(A)=1,P(A)={0,{O},{1},{O,1}};

⑵①有，理由见解析；②〃的最小值为7,所有可能取值是37、38、39、L、50.

【分析】(1)根据题中定义可写出s(A)与尸(A)；

（2）（i）求得s（A）=15,取4=1、2、3、L、15,找出对应的集合B,使得s（B）=k,即可得出结论；

（ii）设4={4，/，不妨设<«„,根据题中定义分析出6=1、%=2,%416,

4432,%464,a,>37,然后验证当k=0、1、2、L、13时，集合{1,2,4,8,16,19+左,50-％}符合题意,

即可得解.

⑴解：由题中定义可得S（A）=1,P（A）={0,{O},{1},{O,1}}.

（2）解：（i）集合A具有性质理由如下：

因为A={1,2,4,8},所以s（A）=l+2+4+8=15.

当％=1时，取集合B={1},则s（8）=k；

当％=2时，取集合8={2},则s（8）=Z；

当％=3时，取集合8={1,2},则s（8）=Z；

当A=4时，取集合8={4},则s（8）=k；

当左=5时，取集合8={1,4},则s（8）=Z；

当％=6时，取集合8={2,4},则s（8）=Z：

当4=7时,取集合3={1,2,4},贝心（5）=左;

当％=8时，取集合8={8},则s（8）=&；

当％=9时，取集合3={1,8},则s（5）=Z；

当％=10时,取集合8={2,8},则s（B）=H；

当％=11时，取集合8={1,2,8},则s（8）=Z：

当％=12时，取集合8={4,8},则s（8）=&；

当&=13时，取集合8={1,取8},则s（B）=A；

当％=14时，取集合8={2,4,8},则s（B）=Z；

当次=15时,取集合8={1,2,4,8},则s（8）=%；

综上可得，集合A具有性质";

(ii)设集合A={q,%,,a„},不妨设q<a2V<.

因为4(=1,2,3,,〃)为正整数,所以421,422.

因为存在B使得S(B)=1,所以此时B中不能包含元素/、%、L、4且8工0,

所以B={aJ.所以q=l.

因为存在B使得s(B)=2,所以此时B中不能包含元素4及由、包、L、。“且3x0,

所以3={%},所以a2=2.

若g25,则425、L、a„>5,而q+/=3,

所以不存在BcP(A),使得s(8)=4,所以由44.

若429,贝！］为29、L、an>9,而％+/+°3《7,

所以不存在BeP(A),使得s(B)=8,所以448.

同理可知出416,a6<32,%464.

若“W6,则5(4)41+2+4+8+16+32=63,所以〃27.

当”=7时，若％N4+%++&+2,

则取左=4+出++4+1，可知不存在BwP(A),使得s(8)=存

所以％4q+a2++4z6+l=100-a7+l,解得%450.

又因为100-a,=q+%++a6<63,所以为*37.

经检验，当％=0、1、2、L、13时，集合{124,8,16,19+*。—甘符合题意.

所以"的最小值为7,且集合A中元素的最大值的所有可能取值是37、38、39、L、50.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等

式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.

7.(2022・全国•高一单元测试)设A是实数集的非空子集，称集合3=且"工丫}为集合A的生成

集.

⑴当A={2,3,5}时，写出集合A的生成集2；

(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A,使其生成集3={2,3,5,6/0,16},并说明理由.

【答案】(1)8={6,10,15},(2)7。⑶不存在，理由见解析

【分析】(1)利用集合的生成集定义直接求解.

(2)设人:也,七,4,%,6}，且0<6<的</<。4<%,利用生成集的定义即可求解；

(3)不存在，理由反证法说明.

(1)QA={2,3,5),.-.B={6,10,15)

(2)设4={4，%，6，%,。5}，不妨设<a2<a3<a4<a5,

因为a}a2<ata3<aya4<ata5<a2a5<a3as<a4a5,所以8中元素个数大于等于7个，

又4=口,22,23,2\25},B={23,24,25,26,27,28,29),此时B中元素个数大于等于7个，

所以生成集B中元素个数的最小值为7.

(3)不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合4={4力,0,〃},使其生成集8={2,3,5,6,10,16},

不妨设0<a</2<c<d，则集合A的生成集5={a/?,ac,a",6c,6",cz/}

则必有ab=2,c