八年级数学反比例函数及动点问题专项练习

八年级数学反比例函数及动点问题专项练习

考点一、反比例函数的图像

(K>0)(K<0)

(K>0)

考点二、反比例函数的性质

1.

一般地，如果两个变量之间的关系可以表示成

y=勺伍为常数,k丰0的形式那么称y是X的反比例函数.

X

2.形状反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线；

3.位置当k>0时，两支双曲线分别位于第一，三象限内;当k<0时，两支双曲线分别位于第二，四象

限内；

4.增减性反比例函数的图象，当k>0时，在每一象限内,y随X的增大而减小;

当k<0时，在每一象限内,y随x的增大而增大.

5.图象的发展趋势反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴，画图象时,要体现

出这个特点.

6.对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.

7.任意一组变量的乘积是一个定值，即xy=k.

温馨提示：反比例函数的涉及内容

1.i当路程s一定时，时间t与速度v的函数关系

t=s/v

2.过当矩形面积S一定时，长a与宽b的函数关系

a=s/b

3.iii当三角形面积S一定时，三角形的底边y与高x

的函数关系

y=2s/x

动点问题(重点)

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类

开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。

“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观

念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

解决动点问题的关键是“动中求静

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”

等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在

变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数

学本质。

考点一：建立动点问题的函数解析式(或函数图像)

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容。动点问题反映的是

一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关

系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系。

考点二：动态几何型题目

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主

线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考

查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。

动态几何特点一一问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的

关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点

问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、

平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

考点三：双动点问题

动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，其中以灵活多变而著称的双动点

问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;

解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化

中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.

自主测试

1.已知正比例函数y=h3用)与反比例函数y=4&和)的图象有一个交点的坐标为G2,-1),则它的

X

另一个交点的坐标是()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

2.在1/p面直角坐标系叨亨数)=去+左，>o)的图像大致是［V

卡十方T)

4

3已知点A(-2,yi)、B(-1,yz)、C(3,y)都在反比例函数y=—的图象上，则

3x

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3()

4.若点(3,4)是反比例函数y=......-图象上一点，则此函数图象必须经过点().A(2,6)B

x

(2,-6)C(4,-3)D.(3,-4)

5.反比例函数y=二的图象位于()

X

A、第一、二象限B、第一、三象限C、第二、三象限D、第二、四象限

6.已知力F所作的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S之间关系的图象大致是()

k

7.反比例函数y=-(k>0)在第一象限内的图象如图，

x

点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P,如果AMOP的面积为1,

那么k的值是()

(A)1(B)2(C)4(D)V2

8.若双曲线y=经过点A(m,-2m),则m的值为()

X

A.也B.3C.±V3D.±3

9.在电压一定的情况下，电流I(A)与电阻R(Q)之间满足如图所示的反比例函数关系，则I关于

R的函数表达式为o

10.如果反比例函数的图象经过点(1,-2),那么这个反比例函数的解析式为。

11.两个反比例函数)，=3,9在第一象限内的图象如图所示，点P,P1,尸3,…，P2OO5在反比例

XX

函数y=9图象上，它们的横坐标分别是汨，X2,X3,....X2005,纵坐标分别是1,3,5,共2005

X

3

个连续奇数，过点P,Pl,P3,…，P2005分别作y轴的平行线，与丫=士的图象交点依次是Q3,

X

yi),Qi(及，”)，。3(X3,yi),,Qioo5(X2005,”005),贝yi005=.

12.如图，△POASP2A|A2,AP3A2A3,……QPnAiAn都是等腰直角三角形,点P1,P2,P3,……,Pn在函数

4

y=—(X>0)的图象上，斜边OA1,A1A2,A2A3,……,An_lAn都在X轴上，则点A)的坐标是

X

,点A2的坐标是,点A2006的坐标是.

归类精析

［归类示例一］反比例函数图像的确定

【例1】

解析：A、•.•由反比例函数的图象在一、三象限可知，k>0,V0,.•.一次函数y=kx-k的

图象经过一、三、四象限，故本选项错误；

B、•••由反比例函数的图象在二、四象限可知，k<0,A-k>0,.•.一次函数y=kx-k的图象经过

一、二、四象限，故本选项正确；

C、：由反比例函数的图象在二、四象限可知，k<0,.•.*>(),.•.一次函数y=kx-k的图象经

过一、二、四象限，故本选项错误；

D、I•由反比例函数的图象在一、三象限可知，k>0,.•.*<(),.•.一次函数y=kx-k的图象经

过一、二、四象限，故本选项错误.

方法归纳掌握反比例函数的图像是解题的关键

［归类示例二］反比例函数在实际生活中的反应

【例21已知甲，乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为aL,那么从

甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是().

解析：根据题意有y=as/vy、v之间的函数关系为反比例函数且y、v>0

方法归纳根据实际问题，写出函数关系式

［归类示例三］三角函数在等式中的运用

【例3】3、如图所示，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，其

中点A的坐标为(白，2也)。

(1)分别写出这两个函数的表达式。

(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？

(3)若点C坐标是(Y,0).请求ABOC的面积。

(4)试着在坐标轴上找点D,使AAODg△BOC。

解析：结合两个函数解析式

【例4】

已知如图：点(1,3)在函数y*(工>0)的图象上，矩形ABC耶边

冷轴上，废对角线助的*一亭中点，函数!/哼(工

O\BGcX

>0)的图象又经过人E两点，点砸横坐标为m,解答下列问题：

(1)求碓J值；

(2)求点维横坐标；(用m表示)

(3)当/48。=45。时，求m的值.

解析:

(1)由函数厂区图象过点(1,3)则可把点(1,3)坐标代入产区中，得h3;

xx

(2)连接4c,贝(］力彼E,过崛EG_LB微BC辛慈

••忘喉侬仔m,丑曲线弓上，

.♦.而侬^/=3,

m

•••E为BD中点，

.,.由平行四边形性质得出E为力舛点，

；.BG=GC='BC,

£»

：.AB=2EG=^~,

m

即A点的纵坐标是6,

m

代入双曲的=&得：A的横坐标是1n,

X2l

,0B=*m,

即8G=GC=m-与m=/m,

・,・点C(1m,0).

(3)当NABD=45。时，AB=AD,则有,即而=6,

m

解之m产后,m2=-j6(舍去)，

【例】如图，在反比例函数

5y=(X>0)的图象上，有点Pl,P2,P3,P4)

它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面

积从左到右依次为Si,S2)S3,求:(1)si的值;(2)s6的值;(3)sl+s2+s3+...+sn的值.(用含n

的代数式来表示)

解析:

(1)由题可得Pi(l,2)»2(2,1)

所以Si=lx(2-1)=1;

(2)由题知Ps(5,|)»6(6申,P7(7f|)

1?1

S6=(6-5)x(U；

3721

(3)由题意可以得出Sn=(n-n+1)x22)=2-?-2^

nn+1nn+1

械Si+S2+S3+...+Sn=2(i」+L-L+…+L_2_)=_2n_.

223nn+1n+1

方法归纳：依次求点、依次找出规律

【例6】为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空

气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min

燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为：,自变量x的取值范围是:药物燃烧

后y关于x的函数关系式为.

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于L6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始,至少需

要经过多少分钟后，

学生才能回到教室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低

于3mg且持续时间不低于lOmin时，才能有效杀

灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?

解析：

3

必=正

（1）药物燃烧时，y关于X的函数关系式为4；药物燃烧后，y关于X的函数关系式为：

48

乃=一

x;

48

⑵依题意L6...x<1.6xN30

因此至少需要经过30min后，学生才能回到教室；

、2—x>3

⑶当》二$时4x之4

竺23

当为之3时...xx<164<x<16

VI6-4-12>10.•.此次消毒有效。

【例7】（2016苏州）18.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别（&°）、（02两，

C是AB的中点，过C作,轴的垂线垂足为D.动点P从点D出发，沿DC向C匀速运动，过点P

做“轴的垂线，垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐

标为.

解：•••点A、B的坐标分别为(8,0)，(0,243)

.■•BO=2A[3>AO=8

由CD_LBO,C是AB的中点，可得BD=DO=gBO=3=PE，

CD=-AO=4

2

设DP=a，贝”CP=4-a

当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，设BP与CE交于点F，则NFCP=NDBP

又「EP-LCP，PD1BD

•••ZEPC=ZPDB=90°

AEPC1^APDB

即

PEPC34-a

解得ai=l，a2=3(舍去)

・・・DP=1

又・・・PE=B

•••p(1，3

故答案为：(1.J3)

方法归纳：运用直线间的联系是解题的关键

练习题

Q

1、如图，反比例函数y=-2与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点.

x

(1)求4、B两点的坐标;

(2)求AAOB的面积.

攵/\

2、如图所示，点A、B在反比例函数y=—的图象上，且点A、B的横坐标分别为a,2a(。＞0)。

x

轴，垂足为C,且A40C的面积为2。

⑴求该反比例函数的解析式。

⑵若点（一。,%）、（-2”,为）在该反比例函数的图象上，试比较必与力的大小。

⑶求A4O8的面积。

3.某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内

修建•个60平方米的矩形健身房A8CD该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为

平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米.

设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8人12.当投入资金为4800元时，问利用旧

墙壁的总长度为多少米？

AB

-M-

----------C

11米

±__________________________

V-------20米-----------►

4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为BC边上的任意一点(点P与B