2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线【课件】

第八章平面解析几何第6节双曲线ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个______叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)若________，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为__________；(3)若________，则集合P为空集.1.双曲线的定义定点a<c两条射线a>c2.双曲线的标准方程和几何性质×××√√解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.ADA.若C为椭圆，则1＜t＜3B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜23.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(

)A设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，4由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.13又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).(3，0)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2C所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，解析不妨设点P在双曲线的右支上，(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.在△F1PF2中，由余弦定理，得∴|PF1|·|PF2|＝8，解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为___________________.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.解析由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.24设双曲线标准方程为因为双曲线过点P(2，1)，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，解析设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，角度1求双曲线的渐近线解析∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，C又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得解析不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，C又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，角度2求双曲线的离心率A所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，2所以∠BOF2＝2∠BF1O.又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，B∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).D即b＝2a，b2＝4a2，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，所以|MF1|＝4a，|MF2|＝2a.CA∴C的焦距的最小值为2×4＝8.B∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，BC可得△MNA是边长为b的等边三角形，即有∠MAN＝60°.故选BC.解析在△PF1F2中，由正弦定理知所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，椭圆、双曲线中的“二级结论”D法二由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知渐近线的斜率k＝±2.在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，A即(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，法二依题意知b＝4，FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3∴c2＝a2＋1.DB解析由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，A在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得C解析由题意得，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以|C1C2|＝4，设动圆P的半径为r.因为r1＋r2＜4，所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切.BC①若均内切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r－r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切，则|PC1|＝r＋r1，|PC2|＝r＋r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同.③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r＋r2，|PC2|－|PC1|＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，|PC1|－|PC2|＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.解析等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；6.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(

) A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C.点P的横坐标为±1ACD所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；则点P的横坐标为±1，故C正确；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，解析设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，解析如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，又M，N均为圆A上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN为等边三角形，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，解设点A的坐标为(x0，y0)，依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得所以(3e2－2)(e2－2)＝0，ADP在第一象限内，若|F1P|＝|F1F2|，则|F1P|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c－2a，若|PF2|＝|F1F2|，则|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，由|PF1|＞|PF2|，知△PF1F2不可能是等边三