高一各科寒假作业与答案

数学

作业一函数的图象与性质

L单调性的判断

例1：(1)函数〃x)=log|(Y—4)的单调递增区间是()

2

A.(0,+oo)B.(-oo,0)C,(2,+oo)D.(-00,-2)

(2)>=--+2国+3的单调递增区间为.

【答案】(1)D；(2)(7,-1],[0,1]

【解析】(D因为y=logj,f>0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间,

2

即求函数，=/-4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(TO,-2).

(2)由题意知，当xN()时，y=-d+2x+3=-(x-l)2+4；当x<0时，y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,

二次函数的图象如图.

由图象可知，函数？=-/+2国+3在(-00,-1],[0,1]上是增函数.

2.利用单调性求最值

例2：函数y=x+Jx-1的最小值为.

【答案】1

【解析】易知函数>=X+A/^二T在U,—)上为增函数，，尤=1时，

3.利用单调性比较大小、解抽象函数不等式

例3：(1)已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当天>士>1时，

[/(占)-/(占)}(与-xj<0恒成立，设“=/(-；),Z?=/(2),c=f(3),则b,c的大小关系为

()

A.c>a>bB.c>h>aC.a>c>bD.b>a>c

(2)定义在R上的奇函数y=〃x)在(0,+oo)上递增，且=则满足/log/>0的x的集合为

【答案】(1)D；(2){x|0<x<g或l<x<3>

【解析】(1)根据已知可得函数的图象关于直线x=l对称，且在(1,+00)上是减函数，

因为〃=/(一;)=,且2<|<3,所以力>a>c.

(2)由题意知/(口=0,=由/{bg/］>0得log/>1或一，<log/<0

<2；\2)<9J9229

解得0cx<1或l<x<3.

3

4.奇偶性

例4：已知偶函数在区间［0,go)上单调递增，则满足〃2天-1)</(£|的x的取值范围是()

A・S)B'［?1}C.停I)D.［圜

【答案】A

【解析】因为〃尤)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又“X)在［0,+oo)上单调递增，

/(2x-l)</^j,所以|2x_l|<g,所以g<x<|.

5.轴对称

例5：已知定义域为R的函数)，=〃x)在［0,7］上只有1和3两个零点，且y=f(x+2)与y=f(x+7)都

是偶函数，则函数y="x)在［0,2013］上的零点个数为()

A.404B.804C.806D.402

【答案】C

【解析】/(x+2),〃x+7)为偶函数.•.〃X+2)=/(T+2),f(x+7)=f(-x+7),.•J(x)关于

x=2,x=7轴对称，.•J(x)为周期函数，且T=2.(7-2)=10,

二将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010)[2010,2013]

/(x)关于x=2,x=7轴对称二〃x)=/(4-x),/(x)=/(14-x)

/⑴="6)=0,/(8)=/(14-8)=/(6)=0,/(3)=/(4-3)=/(1)=0

二在[0,10)中只含有四个零点，而[0,10)[10,20)[2000,2010)共201组

所以N=201x4=804；在[2010,2013]中,含有零点/(2011)=〃1)=0,42013)=43)=0共两个，

所以一共有806个零点

6.中心对称

例6：函数“X)的定义域为R,若〃x+l)与.f(x-l)都是奇函数，则()

A.是偶函数B./(x)是奇函数

C../(x)=/(x+2)D.〃x+3)是奇函数

【答案】D

【解析】从已知条件入手可先看“力的性质，由/(x+1),/(x-1)为奇函数分别可得到：

/(x+l)=-/(-x+l),/(x-l)=-/(-x-l),所以〃x)关于(1,0),(-1,0)中心对称，双对称出周期可求

得7=2-口-(-1)]=4,所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A,B.

对于D选项，因为7=4,所以〃x+5)=f(x+l)=-〃-x+l),进而可推出关于(3,0)中心对称，

所以〃x+3)为/(x)图像向左平移3个单位，即关于(0,0)对称，所以〃x+3)为奇函数，D正确.

7.周期性的应用

例7：已知〃x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)=f(x-l),

则“2017)+“2019)的值为()

A.-1B.1C.0D.无法计算

【答案】C

【解析】由题意，得g(-x)=f(-x-l),:〃x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，

，g(-x)=-g(x),/(-%)=/(%)>/./(%-1)=-/U+1)>

〃x)=-/(x+2),〃x)=/(x+4),，〃x)的周期为4,

A/(2017)=/(l),/(2019)=/(3)=/(-1),

又•••.f(l)=f(-l)=g(0)=0,〃2017)+.f(2019)=0.

一、选择题

1.若函数〃x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+oo),则。的值为()

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】C

【解析】由图象易知函数/(x)=|2x+“|的单调增区间是-多长°)，令-1=3,a=-6.

2.已知函数y=log式以-1)在(1,2)上是增函数，则实数”的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,2]C.11,-KO)D.[2,-K»)

【答案】C

【解析】要使y=Iog2(at-D在(1,2)上是增函数，则”>0且4-120,即aNl.

3.设函数〃x)=In(l+x)-ln(l-x),则是()

A.奇函数，且在(0,1)内是增函数

B.奇函数，且在(0,1)内是减函数

C.偶函数，且在(0,1)内是增函数

D.偶函数，且在(0,1)内是减函数

【答案】A

【解析】易知"X)的定义域为(-1,1),S./(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)=-f(x),则y=/(x)为奇函数,

又y=ln(l+x)与y=-In(l-x)在(0,1)上是增函数，所以/(x)=ln(l+x)-ln(l-x)在(0,1)上是增函数.

4.已知函数y=/(x)的图象关于x=l对称，且在(1,y)上单调递增，设〃=/1；)，b=f(2),

c=/(3),则a,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

【答案】B

【解析】•.•函数图象关于x=l对称，卜又y=〃x)在(l,+oo)上单调递增，

/(2)</(|)<.f(3),BPb<a<c,故选B.

5.已知〃x)是奇函数，g(x)是偶函数，且/(-l)+g⑴=2,/(l)+g(-l)=4,则g⑴等于()

A.4B.3C.2I).1

【答案】B

【解析】由已知得=g(-l)=g⑴，则有匕，+型二?解得且⑴=3,故选民

、〃l)+g⑴=4

6.函数=卜osx兀且x*0)的图象可能为()

【答案】D

【解析】因为/(-》)=卜》+，)05(-*)=-(犬-，卜0$》=-/(》)，fWxW兀且xwO,所以函数为奇

函数，排除A,B.当X=7t时，f(x)=^7T--'jcosK<0,排除C,故选D.

7.奇函数f(x)的定义域为R，若/(x+1)为偶函数，且/⑴=2,则〃4)+〃5)的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【解析】：f(x+l)为偶函数，；.f(-x+l)=f(x+l),则/'(-x)=/(x+2),

又y=〃x)为奇函数，则/(T)=—〃X)=/(X+2),且〃0)=0.

从而/(x+4)=-/(x+2)=f(x),y=〃x)的周期为4.

/(4)+/(5)=/(0)+/(1)=0+2=2,故选A.

8.函数“X)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y=e’关于y轴对称，则〃x)的解析式为()

A./(x)=eA+,B.〃x)=e*TC./(x)=e-v+lD./(x)=e"<-'

【答案】D

【解析】与y=e'的图象关于y轴对称的函数为y=e-，.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位,

得y=e-的图象.〃x)的图象由y=e-r的图象向左平移一个单位得到..•.〃x)=eTe>=e-*T.

9.使Iog2(-x)<x+l成立的X的取值范围是()

A.(-1,0)B.[-1,0)C.(-2,0)D.[-2,0)

【答案】A

【解析】在同一坐标系内作出y=log2(-x),y=x+l的图象，知满足条件的xe(-l,0),故选A.

10.已知偶函数“X)对于任意XGR都有/(x+l)=-/(x),且〃x)在区间［0,1］上是单调递增的，

则/(-6.5),/(-I),f(0)的大小关系是()

A./(0)</(-6.5)</(-1)B./(-6.5)</(0)</(-1)

C./(-1)</(-6.5)</(0)D./(-1)</(0)</(-6.5)

【答案】A

【解析】由/(x+l)=-/(x),得f(x+2)=-/(x+l)="x),.•.函数的周期是2.

•.•函数为偶函数，f(F5)=/(T).5)=f(0.5),/(-1)=/(1).

,/“X)在区间［0,1］上是单调递增的，；./(0)</(0.5)</(1),即〃0)</(-6.5)</(-1).

11.对任意的实数x都有/(x+2)-f(x)=2f(l),若y=/(x-l)的图象关于x=l对称，且/⑼=2,

则〃2015)+/(2016)=()

A.0B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】y=/(x-l)的图象关于x=l对称，则函数y=/(x)的图象关于x=0对称，

即函数〃x)是偶函数，令x=—l,则/(一1+2)-_/.(一1)=2〃1),

A,/(1)-./(1)=2/(1)=0,即/(1)=0,则/(x+2)-/(x)=2/(l)=0,

即/(x+2)=〃x),则函数的周期是2,又"0)=2,

则”2015)+f(2016)=.f⑴+.〃0)=0+2=2.

12.已知函数/(x)=e*-I,g(x)=-x?+4x-3,若存在f(a)=g(b),则实数b的取值范围为(

A.[0,3]B.(1,3)

C.[2-0,2+0]D.(2-0,2+0)

【答案】D

【解析】由题可知/(x)=e-l>-l,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+l<l,

若f(a)=g(b),则g®w(-l,l],即一从+4匕—3>—1,即/一41+2<0,

解得2-g<b<2+壶.所以实数方的取值范围为(2-血,2+&),故选D.

二、填空题

1x>0

13.设函数〃x)=，0x=0g(x)=x2f(x-l),则函数g(x)的递减区间是

-1x<0

【答案】[0,1)

x>1

【解析】由题意知g(x)=0x=\,函数的图象如图所示的实线部分,

x<\

根据图象,

g(x)的减区间是［0,1).

14.若函数f(x)(xeR)是周期为4的奇函数，且在［0,2］上的解析式为〃x)=1x(17)0<x<l

sinJex1<x<2

【答案】-

16

【解析】由于函数“力是周期为4的奇函数，所以

圉+偿=d2x4斓+加

15.设函数f(x)=|x+4|,^(x)=x-l,对于任意的xwR,不等式g(x)恒成立，则实数［的取

值范围是.

【答案】［-1,+00)

【解析】如图作出函数〃x》x+4|与g(x)=x-l的图象，观察图象可知：当且仅当-441,即时,

不等式〃x)2g(x)恒成立，因此a的取值范围是［-1,-KO).

16.设定义在R上的函数/(%)同时满足以下条件：①/(%)+/(-%)=0；②/(x)=/(x+2)；③当0<x<l

时,〃x)=2"-l,则„+++f⑵+/图=-

【答案】正

【解析】依题意知：函数/X*)为奇函数且周期为2,

•・•佃+m+<|+f⑵+/图

=唱+〃1)+《尚+/(0)+6)

=/({!+/⑴-佃+/(。)+/({|

=/[1]+/(1)+/(0)=2^-1+2'-1+2°-1=72.

三、解答题

17.已知函数f(x)=ln(x+3-2),其中“是大于0的常数.

X

(1)求函数“X)的定义域；

(2)当aw(l,4)时,求函数〃x)在［2,”)上的最小值；

(3)若对任意xe［2,+oo)恒有/(x)＞0,试确定a的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)In-；(3)(2,^o).

2

x22x+a

【解析】(1)由X+3-2>(),W~>0,

XX

当。＞1时，龙2-2工+。＞0恒成立，定义域为(0,”),

当4=1时，定义域为{x|x>0且xwl},

当0<。<1时,定义域为{x10<x<1->1+\j\-a}.

2

(2)设g(x)=x+—2,当々£(1,4),x£[2,+oo)时，Jg'(x)=1-=='">0.

XXX

因此g(x)在⑵+00)上是增函数，・・・/(力在⑵”0)上是增函数,则/(0向=/(2)=1吟.

(3)对任意XE[2,+OO),恒有〃x)>0.即％+3-2>1对XE[2,4*OO)恒成立.

x

a>3x-x2.令/z(x)=,XG[2,+OO).

由于/心)=一1一'|1+'在[2,+00)上是减函数，，"(X)max="(2)=2.

故。>2时，恒有/(司〉0.因此实数。的取值范围为(2,田).

18.设〃无)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且/(1+幻=/(1一外，当—IWXWO时，/(x)=-x.

(1)判定〃力的奇偶性；

(2)试求出函数〃可在区间[T⑵上的表达式.

-XXG[-1,0]

【答案】(1)/(1)是偶函数；(2)〃司=7xe(O,l).

[r+2xe[l,2]

【解析】(1)*//(I+x)=/(I-x),/(-x)=f(2+x).

又/(x+2)=/(x),/(—K)=〃x).又f(x)的定义域为R,工是偶函数.

(2)当X£[O,1]时，一工€[-1,0],贝IJ"同=/(_%)=X；

进而当1<xK2时,—1—2<0,/(x)=/(尤一2)=—(x—2)=—x+2.

-xxe[-l,O]

故xxe(O,l).

-x+2XG[1,2]

作业二函数零点

1.零点的判断与证明

例1：已知定义在(l,+oo)上的函数f(x)=x-lnx-2,

求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3,4).

【答案】见解析

【解析】r(x)=i_』=七i,XG(1,+OO),/,(X)>O,/./(X)在(l,+8)单调递增,

XX

/(3)=l-ln3<0,/(4)=2-ln2>0,/(3)/(4)<0,.♦.玉°e(3,4),使得〃%)=0

因为f(x)单调，所以/(x)的零点唯一.

2.零点的个数问题

例2：已知函数/(x)满足〃x)=〃3x),当xe[l,3),/(x)=lnx,若在区间[1,9)内,

函数g(x)=/(x)-以有三个不同零点，则实数。的取值范围是()

【答案】B

f(x)=/(3x)n〃x)=/图,当xe[3,9)时,小)=/图=呜,

【解析】

Inx1<x<3

所以f(x)=,X，而g(x)=〃x)-ax有三个不同零点oy=f(x)与y=ox有三个不同交点,

In—3<x<9

I3

如图所示，可得直线y=ar应在图中两条虚线之间，所以可解得：—<a<—

93e

3.零点的性质

例3：已知定义在R上的函数〃力满足：〃x)=FS代!°』)、，且〃x+2)=〃x),g(x)=23,

2-xXG[-1,0)X+2

则方程/(x)=g(x)在区间[-5川上的所有实根之和为()

A.—5B.—6C.—7D.—8

【答案】C

【解析】先做图观察实根的特点，在卜1,1)中，通过作图可发现“X)在(-1,1)关于(0,2)中心对称，

由〃x+2)=/(x)可得〃力是周期为2的周期函数，则在下一个周期(-3,-1)中，"力关于(-2,2)中心

对称，以此类推。

从而做出了(力的图像(此处要注意区间端点值在何处取到)，再看g(x)图像，g(x)=23=2+—,

可视为将y=L的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，

X

所以对称中心移至(-2,2),刚好与〃x)对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点不＜马＜七，

其中刍=-3,%与血关于(-2,2)中心对称，所以有玉+七=-4。所以XI+w+F=-7.故选C.

4.复合函数的零点

例4：已知函数〃X)=,-4X+3],若方程上⑴于+纱(x)+c=O恰有七个不相同的实根，则实数人的取

值范围是()

A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(0,1)D.(0,2)

【答案】B

【解析】考虑通过图像变换作出“X)的图像(如图)，因为[“X)了+好(x)+c=0最多只能解出2个/(X),

若要出七个根,则工(x)=l,y；(x)G(0,1),所以-方=/(%)+%(x)«l,2),解得:fee(-2,-1).

一、选择题

1.设“x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】：〃l)=lnl+l-2=-1<0,/(2)=ln2>0,,

•••函数/(x)=lnx+x-2的图象是连续的，且为增函数，

/(力的零点所在的区间是(1,2).故选B.

2.已知。是函数f(x)=2，-log]x的零点，若则/(与)的值满足()

2

A./(xo)=OB./(x0)>0

C./(x0)<0D.f(x0)的符号不确定

【答案】C

【解析】y(x)在(0,+00)上是增函数,若0<玉,<〃，则/(Xo)</(a)=0.

3.函数f(x)=2x-“的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)I).(0,2)

【答案】C

【解析】因为“X)在(0,共0)上是增函数，则由题意得”1)•/⑵=(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3,

故选C.

4.若a<6<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-6)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()

A.(4,6)和(。,0)内B.(7。,4)和(a,。)内

C.(6,c)和(c,+oo)内D.(Y»,a)和(c,+oo)内

【答案】A

【解析】a<b<c,，f(a)=(a-h)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,/(c)=(c-a)(c-/>)>0,

由函数零点存在性定理可知，在区间3力)，(仇c)内分别存在零点，又函数/(x)是二次函数，

最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内，故选A.

5.设函数是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=er+x-3,则/(x)的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为函数/(力是定义域为R的奇函数，所以，(0)=0,即0是函数/(x)的一个零点，当x>0时,

令/(x)=e“+x-3=0,则e*=-x+3，分别画出函数％=e"和必=一3+3的图如

如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数/(x)有一个零点,

根据对称性知，当x<0时函数/(x)也有一个零点.

综上所述，的零点个数为3.故选C.

i+x-2xMO的零点个数为()

6.函数〃力=

-1+lnxx>0

A.3B.2C.7D.0

【答案】B

【解析】方法一：由/(x)=0得归。或「,>。，解得x=—2或户e,

'7(x2+x-2=0[x2+x-2=0

因此函数〃x)共有2个零点.

方法二：函数〃力的图象如图所示，由图象知函数〃x)共有2个零点.

1x<0

7.已知函数/(x)=1,则使方程x+〃x)=，“有解的实数，〃的取值范围是()

—x>0

A.(1,2)B.(TO,-2]

C.(YO,1)(2,+oo)D.(-00,1J[2,-KO)

【答案】D

【解析】当xWO时，x+/(x)=m,HPx+l=/n,解得当x>0时，x+/(x)=机，即x+'=m,

X

解得机22,即实数m的取值范围是(7,1][2,+oo).故选D.

8.若函数"x)=3or+l-2a在区间内存在一个零点，则。的取值范围是()

A.(g,4-00)B.(-oo,-l)

C.D.(-oo,-l)

【答案】B

【解析】当。=0时，外力=1与x轴无交点，不合题意，所以。/0；函数〃x)=3ox+l-2a在区间(―1,1)

内是单调函数，所以即(54-1)3+1)>0,解得〃<-1或故选B.

9.已知函数〃x)=.0,则使函数g(x)=f(x)+x-机有零点的实数机的取值范围是()

[eAx>0

A.[0,1)B.(-oo,l)

C.(-oo,l](2,+oo)D.(-oo,0J(1,-BX))

【答案】D

【解析】函数g(x)=〃x)+x-/"的零点就是方程“X)+X=〃7的根，画出〃(x)=〃x)+x=1的

er+xx>0

大致图象(图略).观察它与直线y=加的交点，得知当加40或加>1时，有交点，即函数g(x)="x)+x-〃?

有零点.故选D.

10.已知〃x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数>=/(2/+1)+/(2-不)只有一个零点，则实数几

的值是()

1173

A.-B.-C.——D.--

4888

【答案】C

【解析】令y=/(2x2+l)+/(A-x)=O,则/(2X2+1)=-/(2-X)=f(x-A),因为f(x)是R上的单调函

数，所以2/+1=*-；1,只有一个实根，即2f-x+l+2=0只有一个实根，则4=1-8(1+彳)=0,解得

11.已知当xe[O,l]时，函数y=(〃?x-l)2的图象与>=«+"?的图象有且只有一个交点，则正实数"?的取

值范围是()

A.(0,1][2百,+8)B.(0,1][3,+oo)

C.(0,72][26,+8)D.(0,夜][3,+8)

【答案】B

【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数/。)=(如-1)2=/(..')与g(X)=6+，”的大致图象.分

两种情形：

(1)当0<m41时，->1,如图①，当xe[0,l]时，与g(x)的图象有一个交点，符合题意.

m

(2)当加>1时,0<-<1,如图②,要使与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,

m

只需g(l)4f(l),即1+机((机-1)2,解得加23或机40(舍去).

综上所述，，we(0,1][3,+oo).故选B.

12.已知函数丫=/(»和丫=8(*)在[-2,2]的图像如下,给出下列四个命题:

(1)方程/[g(x)]=0有且只有6个根

(2)方程g[〃切=0有且只有3个根

(3)方程/[7(x)]=0有且只有5个根

(4)方程g[g(x)]=0有且只有4个根

则正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计1Hx的总数.

(1)中可得,g2(x)=0,g3(x)w(l,2),进而g](x)有2个对应的X,g?(x)有2个，gjx)

有2个，总计6个，(1)正确;

(2)中可得力(x)e(-2,-l),右(力«0,1),进而工(x)有1个对应的x,&(x)有3个，总计4个,

(2)错误;

(3)中可得力(力«-2,-1),力(x)=0,力(x)e(l,2),进而工(x)有1个对应的x,力(x)有3个，/(x)

有1个，总计5个，(3)正确;

(4)中可得：g/x)€(-2,-l),g2(x)e(0，l)，进而gi(x)有2个对应的x,g?(x)有2个，共计4个，(4)

正确

则综上所述，正确的命题共有3个.

二、填空题

13.函数〃x)=2—|logo5x|的零点个数为

【答案】2

【解析】由〃X)=0,得|10go5X|=d，作出函数)1和＞2=(；)的图象,

由上图知两函数图象有2个交点，故函数/（x）有2个零点.

14.设函数y=V与%的图象的交点为（X。,%）,若/W（","+1）,,则看所在的区间是

【答案】（1,2）

【解析】令〃月=丁-（；）,则〃％）=0,易知”力为增函数，且/⑴<0,/⑵>0,.../所在的

区间是（1,2）.

15.函数/（》）=卜"2X"。的零点个数是______.

[2x-6+Inxx>0

【答案】2

【解析】当X40时，令/-2=0,解得x=-0（正根舍去），所以在（7）,0]上有一个零点;

当x>0时，r（x）=2+，>0恒成立，所以〃x）在（0,+oo）上是增函数.又因为42）=-2+ln2<0,

X

/（3）=ln3>0,所以〃x）在（0,”）上有一个零点，综上，函数“X）的零点个数为2.

16.已知函数/（月=|/+3%|,xeR,若方程/（x）-a|x-l|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值

范围是•

【答案】（0,1）（9,+oo）

【解析】设y=/（》）=|*2+3x|,y2-a\x-\\,

在同一直角坐标系中作出y=52+3x|,%=“次-1|的图象如图所示.

由图可知〃x）-a|x-l|=0有4个互异的实数根等价于y=|/+3x|与必的图象有4个不同的交

v=—v—3X

点且4个交点的横坐标都小于1,所以/、有两组不同解,

y=a[l-x）

消去y得9+（3-〃）x+a=。有两个不等实根,

所以』=(3-a)2-4a>0,BPa2-10a+9>0,

解得a<l或a>9.又由图象得a>0,0<a<l或a>9.

三、解答题

17.关于x的二次方程/+(,”-1次+1=0在区间［0,2］上有解，求实数机的取值范围.

【答案】(-00,—1］

【解析】显然x=0不是方程产+。〃-1忒+1=0的解,

0<x42时，方程可变形为i=",

X

又•••y=x+-在(0,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增，

X

y=x+!在(0,2］上的取值范围是2+00),1-加22,.♦.机4—1,

故m的取值范围是(-8,-1］.

18.设函数f(x)=|l—(x>0).

(1)作出函数〃x)的图象；

(2)当0<a<b且〃a)=〃b)时,求的值；

ab

(3)若方程/(*)=山有两个不相等的正根，求m的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)2；(3)0<m<l.

【解析】(1)如图所示.

故“X)在(0,1］上是减函数，而在上是增函数.

由0<a<b且/(a)=/Q),得0<°<1<力且,一1=1—L,二工+工=2.

abah

(3)由函数〃力的图象可知，当0<〃2<1时，方程〃制=也有两个不相等的正根.

作业三三角函数

1.求三角函数值

例1：已知0＜A＜；＜a＜手，713手3兀+夕]=\，求sin(a+0的值.

cos~~a=一,sin

54

［答案］56

65

3

【解析］a+/3=-7t+J3-

「.sin(a+夕)=sinH兀+/7一

一[cos《+夕卜OS71a］+sin(牛+4小心-4

••八q兀,3兀兀兀八3兀q,3兀

•0</<一<a<—，..—<—a<0,—p~\----<71,

442444

It3兀12

~~a

413,

123__4556

sin(a+/?)=-

13,5-51365

2.三角函数的值域与最值

兀

例2：已知函数〃x)=cos!2x-yi+2sinlxsin(x+；卜

(1)求函数/(x)的最小正周期和图像的对称轴方程;

(2)求函数“力在区间行的值域•

［44

【答案】(1)T=R,对称轴方程：=-+—(A:GZ)；(2)

X32v7

兀

【解析】(1)/(%)=cos^2x--^l+2sin^.rsinx+-

I4

4皿+旦32隹iw&sx立sinx+也

COSX

222222

=­cos2龙+—sin2尤+sin2九一cos2x

22

=-cos2x+—sin2x-cos2x=—sin2x-』cos2x

2222

sin（2x一看

元E/7.

:.T=n对称轴方程：2x——=—4-/TT=>X=

62

7Cnc兀715兀

(2)/(x)=sin(2x-^J,Vxe/.2x---G

12263'~6~

44

二./(元)=sin(2x—弓

G

3.三角函数的性质

例3：函数/(x)=Gsin2x+cos2x()

7171

A.在J：用上单调递减B.在上单调递增

693

C.在上单调递减D.在上单调递增

【答案】D

.c1cIc.rc兀、

【解析】/(x)=\/3sin2x+cos2x=2sin2x4—cos2x=2sin|2AtH—,

226

n—I-7C_7T-,7T.7T

单调递增区间:+2fat<2x+—<—+2kn=>---bfat<x<—+kjt(keZ)

26236

单调递减区间：-+2lai<2x+-<—+2lat=>-+lat<x<—+kn(kGZ)

26263

.•・符合条件的只有D.

一、单选题

=一a〕=!，则cos[4+2a]的值为（）

【答案】B

-2a)]=-cos]-2a)=-cos>2^

【解析】由题得cos[—+2aUcos7t--a

l3J

=-l-2sin2^-o,j=_(]_2x")=q.

故答案为B.

2.函数f(x)=2sin-2X+£的一个单调递增区间是（）

兀nn5TT71717T27C

A.B.C.，-D.

6'i3y~6366,T

【答案】B

【解析】:/(x)=2sin^-2x+^j,f(,r)=-2sin^2x-,

令—+2ATI<2X-—<—4-2An,A:GZ,—+hc<x<—+kTi,kGZ.

26236

取A=0,得函数〃x）的一个单调递增区间是.故选B.

36

3.已知tan。4——--=4,则cos2(P+二]=()

tan。I4)

D.

5432

【答案】B

【解析】由tang+—!一=4,zsin^cos。)sin2+cos20.

得B----+-----=4,即nn------------=4，

tan。cos0sin。sin0cos0

1+cos(26+3

1-sin201-2sin9cos。

.*•sin%ose=一,

4222

1-2x1

-----^=-,故选B.

2---4

4.关于函数/（x）=3sin2x-|+l（xeR）,下列命题正确的是（）

A.由/（再）=/（占）=1可得玉一工2是兀的整数倍

B.y=的表达式可改写成f(x)=3cos(2x+^J+l

C.y=/(x)的图象关于点[亍对称

D.y=/(x)的图象关于直线》=若对称

【答案】D

【解析】函数f(x)=3sin(2x-W)+l(xeR),周期为7=夸=兀，

对于A：由/(为)=,“匕)=1,可能再与々关于其中一条对称轴是对称的，此时玉不是兀的整数倍，故

错误

对于B：由诱导公式，3sin(2x-g)+l=3cos+l=3cos(2尤-臂1+1,故错误

对于C：令》=与，可得/(1)=3411(2'1_1]+1=3，(一3)-1=-|,故错误，

对于D：当》=一强时，可得/[W)=3sin(q-；]+l=Tx3+l=-2,〃x)的图象关于直线x=-展